10. 一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数.
（1）用含a，b，c的代数式分别表示原数与新数；
（2）计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？

解：（1）原数为$100a+10b+c$，新数为$100c+10b+a$.
（2）差能被11整除. 理由如下：
$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)$
$=100a+10b+c-100c-10b-a$
$=100a-a+10b-10b+c-100c$
$=99a-99c$
$=99(a-c)$
$=11×9(a-c)$，
故这个差能被11整除.

11. 如图4.2-3，某公园有一块长为$(2a-1)\mathrm{m}$，宽为$a\mathrm{ m}$的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是$x\mathrm{ m}$的小路，余下部分设计成花圃进行美化，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来.
（1）用代数式表示所用篱笆的总长度；
（2）若$a=6x=30$，篱笆的造价为每米60元，请计算全部篱笆的造价.

图4.2-3

解：（1）花圃的长为$(2a-1-2x)\mathrm{m}$，宽为$(a-x)\mathrm{m}$，所以篱笆的总长度为
$(2a-1-2x)+2(a-x)$
$=2a-1-2x+2a-2x$
$=(4a-4x-1)\mathrm{m}$.
（2）因为$a=6x=30$，所以$x=5$，
当$a=30$，$x=5$时，
$4a-4x-1$
$=4×30-4×5-1$
$=120-20-1$
$=99$，
$99×60=5940$（元），
故全部篱笆的造价是5940元.

12. 定义：若$a + b = 2$，则称$a$与$b$是关于2的梦想数.
(1) 3与是关于2的梦想数，$7 - x$与是关于2的梦想数（填一个含$x$的代数式）；
(2) 若$a = x^2 - 4x - 1$，$b = x^2 - 2(x^2 - 2x - 1) + 1$，判断$a$与$b$是不是关于2的梦想数，并说明理由；
(3) 若$c = kx + 1$，$d = x - 3$，且$c$与$d$是关于2的梦想数，若$x$为正整数，求整数$k$的值.

解：(1) $-1$ $x-5$
(2) $a$与$b$是关于2的梦想数.
理由：因为$a=x^2-4x-1$，$b=x^2-2(x^2-2x-1)+1$，
所以$a+b$
$=(x^2-4x-1)+[x^2-2(x^2-2x-1)+1]$
$=x^2-4x-1+x^2-2(x^2-2x-1)+1$
$=x^2-4x-1+x^2-2x^2+4x+2+1$
$=2$，
所以$a$与$b$是关于2的梦想数.
(3) 因为$c=kx+1$，$d=x-3$，且$c$与$d$是关于2的梦想数，所以$c+d=2$，所以$kx+1+x-3=2$，
所以$(k+1)x=4$，
因为$x$为正整数，
所以当$x=1$时，$k+1=4$，解得$k=3$，
当$x=2$时，$k+1=2$，解得$k=1$，
当$x=4$时，$k+1=1$，解得$k=0$，
所以整数$k$的值为0或1或3.