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1. 如图,已知二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$,直线$AC$与$y$轴交于点$C$,与抛物线交于点$D$,且$△ ABD$的面积为10.
(1)求抛物线和直线$AC$的函数表达式;
(2)设$P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点$Q$在抛物线的对称轴上,当$△ BPQ$为等边三角形时,求直线$AP$的函数表达式.
(1)求抛物线和直线$AC$的函数表达式;
(2)设$P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点$Q$在抛物线的对称轴上,当$△ BPQ$为等边三角形时,求直线$AP$的函数表达式.
答案
1. (1) 把 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$, 得
$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y = x^2 - 2x - 3$.
$\because A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=4$, 设点 $D$ 的纵坐标为 $h$,$\because △ ABD$的面积为 $10$,$\therefore \frac{1}{2}AB · h = 10$,$\therefore h=5$, 把 $h=5$ 代入 $y = x^2 - 2x - 3$, 得$x^2-2x-3=5$,$\therefore x_1=4$,$x_2=-2$(舍去),$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(4,5)$. 设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = kx + c$, 把$A(-1,0), D(4,5)$ 代入, 得$\begin{cases}-k+c=0,\\4k+c=5,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=1,\\c=1,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = x + 1$.
(2)在对称轴上取点 $M$,使 $AM=AB$. 又$\because AM=BM$,$\therefore AM=AB=BM$,$\therefore △ ABM$ 为等边三角形.
①当点 $P$ 在 $x$ 轴的上方时:设对称轴交 $x$ 轴于点 $K$,连结 $AP$ 交对称轴于点 $N$,如图所示.
$\because △ BPQ$ 是等边三角形,$\therefore BQ=BP$,$∠ QBP=60°$,易得$∠ ABQ=∠ MBP$,$\therefore △ ABQ ≌ △ MBP$,$\therefore AQ=MP$. 又$\because AQ=QB=BP$,$\therefore MP=BP$,又$\because AM=AB$,$\therefore AP$ 垂直平分 $MB$,$\therefore ∠ NAK=30°$,易得 $AK=2$,$\therefore N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$,设直线 $AP$ 的表达式为 $y=mx+n$, 把 $A(-1,0)$,$N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$代入,得$\begin{cases}-m+n=0,\\m+n=\frac{2\sqrt{3}}{3},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{3},\\n=\frac{\sqrt{3}}{3},\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
②当点 $P$ 在 $x$ 轴的下方时, 同理可得直线 $AP$ 的表达式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上所述,直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式：已知二次函数图象过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到抛物线解析式。接下来求直线AC的解析式：先计算AB的长度，结合△ABD的面积求出点D的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式求得D点横坐标（舍去不符合图象位置的负解），再将A、D两点坐标代入一次函数表达式，解方程组即可得到直线AC的解析式。
(2) 解决等边三角形存在性问题：首先确定抛物线对称轴为直线x=1，在对称轴上构造等边△ABM（利用抛物线对称性，对称轴上的点到A、B距离相等，令其等于AB长度即可得到等边三角形）。分两种情况讨论：①当P在x轴上方时，利用等边三角形的边角相等证明△ABQ≌△MBP，得到边的关系，推出AP垂直平分MB，得到∠PAK=30°，求出AP与对称轴的交点N的坐标，代入A、N两点坐标求直线AP解析式；②当P在x轴下方时，同理推导可得另一条直线AP的解析式，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 把 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$, 得
$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为 $y = x^2 - 2x - 3$.
∵ $A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=3 - (-1) = 4$, 设点 $D$ 的纵坐标为 $h$,
∵ $△ ABD$的面积为 $10$,$\therefore \frac{1}{2}AB · |h| = 10$, 结合图象得h＞0, $\therefore h=5$,
把 $y=5$ 代入 $y = x^2 - 2x - 3$, 得$x^2-2x-3=5$, 解得$x_1=4$,$x_2=-2$，因D在直线AC右侧，舍去$x=-2$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(4,5)$.
设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = kx + c$, 把$A(-1,0), D(4,5)$ 代入, 得
$\begin{cases}-k+c=0,\\4k+c=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\c=1,\end{cases}$
∴ 直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = x + 1$.
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，在对称轴上取点 $M$,使 $AM=AB=4$. 由抛物线对称性可知$AM=BM$,$\therefore AM=AB=BM$,$\therefore △ ABM$ 为等边三角形.
①当点 $P$ 在 $x$ 轴的上方时:设对称轴交 $x$ 轴于点 $K$,连结 $AP$ 交对称轴于点 $N$,如图所示.
∵ $△ BPQ$ 是等边三角形,$\therefore BQ=BP$,$∠ QBP=60°$,
∵ $∠ABM=∠QBP=60°$, $\therefore ∠ABM - ∠QBM = ∠QBP - ∠QBM$, 即$∠ ABQ=∠ MBP$,
在$△ ABQ$和$△ MBP$中，$\begin{cases}AB=MB \\ ∠ABQ=∠MBP \\ BQ=BP\end{cases}$, $\therefore △ ABQ ≌ △ MBP$ (SAS),
$\therefore AQ=MP$. 又$\because AQ=QB=BP$,$\therefore MP=BP$,
又$\because AM=AB$,$\therefore$ 点A、P都在MB的垂直平分线上，即$AP$ 垂直平分 $MB$,
$\therefore ∠ NAK=\frac{1}{2}∠BAM=30°$,易得 $AK=1 - (-1)=2$,
在$Rt△ AKN$中，$NK=AK·\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\therefore N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$,
设直线 $AP$ 的表达式为 $y=mx+n$, 把 $A(-1,0)$,$N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$代入,得
$\begin{cases}-m+n=0,\\m+n=\frac{2\sqrt{3}}{3},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{3},\\n=\frac{\sqrt{3}}{3},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
②当点 $P$ 在 $x$ 轴的下方时, 同理可得$∠NAK=30°$，此时$N$点纵坐标为$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入解得直线 $AP$ 的表达式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上所述,直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为 $\boldsymbol{y = x^2 - 2x - 3}$，直线$AC$的函数表达式为$\boldsymbol{y = x + 1}$；
(2) 直线$AP$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 或 $\boldsymbol{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，等边三角形性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题，既考查了函数解析式的求解方法，又结合了等边三角形、全等三角形的几何性质，解题时需注意分类讨论点P的位置，避免漏解，对数形结合的思维能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线解析式：已知二次函数图象过A(-1,0)、B(3,0)两点，将两点坐标代入二次函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到抛物线解析式。接下来求直线AC的解析式：先计算AB的长度，结合△ABD的面积求出点D的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式求得D点横坐标（舍去不符合图象位置的负解），再将A、D两点坐标代入一次函数表达式，解方程组即可得到直线AC的解析式。
(2) 解决等边三角形存在性问题：首先确定抛物线对称轴为直线x=1，在对称轴上构造等边△ABM（利用抛物线对称性，对称轴上的点到A、B距离相等，令其等于AB长度即可得到等边三角形）。分两种情况讨论：①当P在x轴上方时，利用等边三角形的边角相等证明△ABQ≌△MBP，得到边的关系，推出AP垂直平分MB，得到∠PAK=30°，求出AP与对称轴的交点N的坐标，代入A、N两点坐标求直线AP解析式；②当P在x轴下方时，同理推导可得另一条直线AP的解析式，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 把 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx - 3$, 得
$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$
∴ 抛物线的函数表达式为 $y = x^2 - 2x - 3$.
∵ $A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=3 - (-1) = 4$, 设点 $D$ 的纵坐标为 $h$,
∵ $△ ABD$的面积为 $10$,$\therefore \frac{1}{2}AB · |h| = 10$, 结合图象得h＞0, $\therefore h=5$,
把 $y=5$ 代入 $y = x^2 - 2x - 3$, 得$x^2-2x-3=5$, 解得$x_1=4$,$x_2=-2$，因D在直线AC右侧，舍去$x=-2$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(4,5)$.
设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = kx + c$, 把$A(-1,0), D(4,5)$ 代入, 得
$\begin{cases}-k+c=0,\\4k+c=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\c=1,\end{cases}$
∴ 直线 $AC$ 的函数表达式为 $y = x + 1$.
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，在对称轴上取点 $M$,使 $AM=AB=4$. 由抛物线对称性可知$AM=BM$,$\therefore AM=AB=BM$,$\therefore △ ABM$ 为等边三角形.
①当点 $P$ 在 $x$ 轴的上方时:设对称轴交 $x$ 轴于点 $K$,连结 $AP$ 交对称轴于点 $N$,如图所示.
∵ $△ BPQ$ 是等边三角形,$\therefore BQ=BP$,$∠ QBP=60°$,
∵ $∠ABM=∠QBP=60°$, $\therefore ∠ABM - ∠QBM = ∠QBP - ∠QBM$, 即$∠ ABQ=∠ MBP$,
在$△ ABQ$和$△ MBP$中，$\begin{cases}AB=MB \\ ∠ABQ=∠MBP \\ BQ=BP\end{cases}$, $\therefore △ ABQ ≌ △ MBP$ (SAS),
$\therefore AQ=MP$. 又$\because AQ=QB=BP$,$\therefore MP=BP$,
又$\because AM=AB$,$\therefore$ 点A、P都在MB的垂直平分线上，即$AP$ 垂直平分 $MB$,
$\therefore ∠ NAK=\frac{1}{2}∠BAM=30°$,易得 $AK=1 - (-1)=2$,
在$Rt△ AKN$中，$NK=AK·\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\therefore N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$,
设直线 $AP$ 的表达式为 $y=mx+n$, 把 $A(-1,0)$,$N(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$代入,得
$\begin{cases}-m+n=0,\\m+n=\frac{2\sqrt{3}}{3},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{3},\\n=\frac{\sqrt{3}}{3},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
②当点 $P$ 在 $x$ 轴的下方时, 同理可得$∠NAK=30°$，此时$N$点纵坐标为$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入解得直线 $AP$ 的表达式为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上所述,直线 $AP$ 的函数表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为 $\boldsymbol{y = x^2 - 2x - 3}$，直线$AC$的函数表达式为$\boldsymbol{y = x + 1}$；
(2) 直线$AP$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 或 $\boldsymbol{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，等边三角形性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题，既考查了函数解析式的求解方法，又结合了等边三角形、全等三角形的几何性质，解题时需注意分类讨论点P的位置，避免漏解，对数形结合的思维能力要求较高。
【难度系数】
0.3
2. ★★★ (2025·广安期中)抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与直线 $y=kx(k≠0)$ 交于 $A,B(2,3)$ 两点,顶点为 $(1,4)$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图,点 $C,E,F$ 为抛物线与坐标轴的交点,动点 $Q$ 从原点开始沿 $x$ 轴负半轴运动,连结 $FQ$,过点 $C$ 作 $CN⊥FQ$,垂足为 $N$,$CN$ 交 $y$ 轴于点 $P$,点 $M$ 是抛物线上一点,是否存在点 $M$,使得 $△ MPQ$ 为等边三角形? 若存在,直接写出点 $M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P37 专题35
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图,点 $C,E,F$ 为抛物线与坐标轴的交点,动点 $Q$ 从原点开始沿 $x$ 轴负半轴运动,连结 $FQ$,过点 $C$ 作 $CN⊥FQ$,垂足为 $N$,$CN$ 交 $y$ 轴于点 $P$,点 $M$ 是抛物线上一点,是否存在点 $M$,使得 $△ MPQ$ 为等边三角形? 若存在,直接写出点 $M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P37 专题35
答案
2. (1)把 $B(2,3)$,顶点$(1,4)$代入 $y=-x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}-4+2b+c=3,\\-1+b+c=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2) 存在. 点 $M$ 坐标为 $(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$ 或 $(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$. 解析:如图,
,对于抛物线 $y=-x^2+2x+3$, 令 $x=0$, 则 $y=3$,$\therefore F(0,3)$,$\therefore OF=3$, 令 $y=0$,则 $-x^2+2x+3=0$, 解得 $x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore E(-1,0)$,$C(3,0)$,$\therefore OC=3$,$\therefore OC=OF$.$\because CN ⊥ FQ$,$\therefore ∠ CNQ=90°$,$\therefore ∠ QCN+∠ NQC=90°$.$\because ∠ COP=90°$,$\therefore ∠ CNQ=∠ COP$,$∠ PCO+∠ CPO=90°$,$\therefore ∠ NQC=∠ CPO$, 即$∠ FQO=∠ CPO$. 在 $△ FOQ$ 与 $△ COP$ 中,$\begin{cases}∠ FQO=∠ CPO,\\∠ FOQ=∠ COP,\\OF=OC,\end{cases}$ $\therefore △ FOQ ≌ △ COP(\mathrm{AAS})$,$\therefore OQ=OP$. 设 $P(0,a)$, 则 $Q(-a,0)$, 设 $M(x,-x^2+2x+3)$,$\therefore PM^2=x^2+(-x^2+2x+3-a)^2$,$QM^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$, 当 $△ MPQ$ 为等边三角形时, $PM=QM$,$\therefore x^2+(-x^2+2x+3-a)^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$, 化简得 $x^2-3x-3=0$, 解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$,$x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$, 当 $x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$ 时, 则 $-x^2+2x+3=-(\frac{3+\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3+\sqrt{21}}{2} + 3 = -\frac{3+\sqrt{21}}{2}$,$\therefore M(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$, 当 $x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 时, 则 $-x^2+2x+3=-(\frac{3-\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3-\sqrt{21}}{2}+3=-\frac{3-\sqrt{21}}{2}$,$\therefore M(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$,$\therefore$ 存在点 $M$,使得$△ MPQ$ 为等边三角形,点 $M$ 的坐标为 $(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$ 或$(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$.解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线的二次项系数为-1，且给出了顶点坐标(1,4)和点B(2,3)两个点的坐标，直接将两个点代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 先求出抛物线与坐标轴的交点F、C的坐标，可得OC=OF=3；再根据CN⊥FQ的垂直关系推导角相等，证明△FOQ≌△COP，得到OQ=OP的线段关系；接下来设出P、Q的坐标，以及抛物线上点M的坐标，结合等边三角形PM=QM的性质列方程，化简后消去参数可求出点M的横坐标，代入抛物线解析式即可得到纵坐标，判断是否存在满足条件的点M。
【解析】
(1) 把 $B(2,3)$，顶点$(1,4)$代入 $y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-4+2b+c=3\\-1+b+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在。
对于抛物线 $y=-x^2+2x+3$，令 $x=0$，则 $y=3$，$\therefore F(0,3)$，$\therefore OF=3$；
令 $y=0$，则 $-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，$\therefore E(-1,0)$，$C(3,0)$，$\therefore OC=3$，可得 $OC=OF$。
$\because CN ⊥ FQ$，$\therefore ∠ CNQ=90°$，$\therefore ∠ QCN+∠ NQC=90°$。
$\because ∠ COP=90°$，$\therefore ∠ CNQ=∠ COP$，$∠ PCO+∠ CPO=90°$，
$\therefore ∠ NQC=∠ CPO$，即$∠ FQO=∠ CPO$。
在 $△ FOQ$ 与 $△ COP$ 中，
$\begin{cases}∠ FQO=∠ CPO\\∠ FOQ=∠ COP\\OF=OC\end{cases}$，
$\therefore △ FOQ ≌ △ COP(\mathrm{AAS})$，$\therefore OQ=OP$。
设 $P(0,a)$，则 $Q(-a,0)$，设 $M(x,-x^2+2x+3)$，
$\therefore PM^2=x^2+(-x^2+2x+3-a)^2$，$QM^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$，
当 $△ MPQ$ 为等边三角形时，$PM=QM$，
$\therefore x^2+(-x^2+2x+3-a)^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$，
化简得 $x^2-3x-3=0$，解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
当 $x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$ 时，$-x^2+2x+3=-(\frac{3+\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3+\sqrt{21}}{2} + 3 = -\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\therefore M(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$；
当 $x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 时，$-x^2+2x+3=-(\frac{3-\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3-\sqrt{21}}{2}+3=-\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\therefore M(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) 存在，点$M$的坐标为 $(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$ 或 $(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，既考查了二次函数的基础性质，又结合了全等三角形证明、等边三角形的性质，解题的突破口是通过全等三角形得到OQ与OP的等量关系，后续利用等边三角形的边长相等建立方程求解，对知识的综合运用能力有一定要求，计算时要注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.4
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线的二次项系数为-1，且给出了顶点坐标(1,4)和点B(2,3)两个点的坐标，直接将两个点代入抛物线一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到抛物线解析式。
(2) 先求出抛物线与坐标轴的交点F、C的坐标，可得OC=OF=3；再根据CN⊥FQ的垂直关系推导角相等，证明△FOQ≌△COP，得到OQ=OP的线段关系；接下来设出P、Q的坐标，以及抛物线上点M的坐标，结合等边三角形PM=QM的性质列方程，化简后消去参数可求出点M的横坐标，代入抛物线解析式即可得到纵坐标，判断是否存在满足条件的点M。
【解析】
(1) 把 $B(2,3)$，顶点$(1,4)$代入 $y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-4+2b+c=3\\-1+b+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 存在。
对于抛物线 $y=-x^2+2x+3$，令 $x=0$，则 $y=3$，$\therefore F(0,3)$，$\therefore OF=3$；
令 $y=0$，则 $-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，$\therefore E(-1,0)$，$C(3,0)$，$\therefore OC=3$，可得 $OC=OF$。
$\because CN ⊥ FQ$，$\therefore ∠ CNQ=90°$，$\therefore ∠ QCN+∠ NQC=90°$。
$\because ∠ COP=90°$，$\therefore ∠ CNQ=∠ COP$，$∠ PCO+∠ CPO=90°$，
$\therefore ∠ NQC=∠ CPO$，即$∠ FQO=∠ CPO$。
在 $△ FOQ$ 与 $△ COP$ 中，
$\begin{cases}∠ FQO=∠ CPO\\∠ FOQ=∠ COP\\OF=OC\end{cases}$，
$\therefore △ FOQ ≌ △ COP(\mathrm{AAS})$，$\therefore OQ=OP$。
设 $P(0,a)$，则 $Q(-a,0)$，设 $M(x,-x^2+2x+3)$，
$\therefore PM^2=x^2+(-x^2+2x+3-a)^2$，$QM^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$，
当 $△ MPQ$ 为等边三角形时，$PM=QM$，
$\therefore x^2+(-x^2+2x+3-a)^2=(-a-x)^2+[0-(-x^2+2x+3)]^2$，
化简得 $x^2-3x-3=0$，解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
当 $x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$ 时，$-x^2+2x+3=-(\frac{3+\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3+\sqrt{21}}{2} + 3 = -\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\therefore M(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$；
当 $x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$ 时，$-x^2+2x+3=-(\frac{3-\sqrt{21}}{2})^2 + 2 × \frac{3-\sqrt{21}}{2}+3=-\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\therefore M(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) 存在，点$M$的坐标为 $(\frac{3+\sqrt{21}}{2},-\frac{3+\sqrt{21}}{2})$ 或 $(\frac{3-\sqrt{21}}{2},-\frac{3-\sqrt{21}}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合题，既考查了二次函数的基础性质，又结合了全等三角形证明、等边三角形的性质，解题的突破口是通过全等三角形得到OQ与OP的等量关系，后续利用等边三角形的边长相等建立方程求解，对知识的综合运用能力有一定要求，计算时要注意根式运算的准确性。
【难度系数】
0.4
