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1. 如图，抛物线$C_1:y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$的顶点为A，且与y轴交于点B，将抛物线$C_1$沿直线$y=a$对称后，得到抛物线$C_2$与y轴交于点C.
(1)求A，B两点坐标；
(2)若抛物线$C_2$上存在点D，使得$△ BCD$为等腰直角三角形，求出此时抛物线$C_2$的表达式.
(1)求A，B两点坐标；
(2)若抛物线$C_2$上存在点D，使得$△ BCD$为等腰直角三角形，求出此时抛物线$C_2$的表达式.
答案
1. (1)令x=0,得$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2=2$,$\therefore B(0,2)$.$\because y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$,$\therefore A(2,4)$.
(2)$\because$ 将抛物线$C_1$沿直线$y=a$对称后,得到抛物线$C_2$与y轴交于点C,$\therefore$ 抛物线$C_2$的顶点坐标为$(2,2a-4)$,二次项系数为$\dfrac{1}{2}$,$C(0,2a-2)$,$\therefore$ 抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2a-4$.
①当$∠ BCD=90°$,$BC=CD$时,如
,则$D(4,2a-2)$,$\therefore |2a-4|=4$,解得$a=0$或$a=4$,$\therefore$ 此时抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$;②当$∠ CBD=90°$,$BC=BD$时,如
,则$D(2+2\sqrt{3-a},2)$,$\therefore |2a-4|=2+2\sqrt{3-a}$,解得$a=3$或$a=2$(舍去)或$a=-1$,$\therefore$ 此时抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$;③当$∠ BDC=90°$,$BD=CD$时,$D(2-a,a)$或$(a-2,a)$,根据对称性,点D在$C_1$上也在$C_2$上,如
,$\therefore a=-\dfrac{1}{2}(2-a)^2+2(2-a)+2$或$a=-\dfrac{1}{2}(a-2)^2+2(a-2)+2$,解得$a=-4$或$a=2$(舍去)或$a=4$,抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$.综上所述,满足条件的抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$.解析
【分析】
(1) 求点B坐标：点B是抛物线$C_1$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$C_1$的解析式即可求出对应y值，得到B点坐标；求顶点A坐标：将抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式，即可直接得到顶点A的坐标。
(2) 首先根据轴对称的性质：抛物线沿直线$y=a$对称后，开口大小不变、方向相反，顶点、与y轴交点均关于直线$y=a$对称，先推导得到$C_2$的顶点坐标、解析式通式以及点C的坐标。再分三类讨论等腰直角$△ BCD$：①$∠ BCD$为直角，②$∠ CBD$为直角，③$∠ BDC$为直角，每类情况根据等腰直角三角形边和角的关系确定D点坐标，将D点坐标代入对应抛物线解析式求解a的值，排除不符合题意的解后，即可得到对应$C_2$的表达式。
【解析】
(1) 求点B坐标：令$x=0$，代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$，得$y=2$，$\therefore B(0,2)$。
将抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+2=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$，
$\therefore$顶点A的坐标为$(2,4)$。
(2) $\because$抛物线$C_1$沿直线$y=a$对称得到抛物线$C_2$，
$\therefore C_2$的二次项系数为$\dfrac{1}{2}$（开口大小不变，方向相反），$C_1$的顶点$A(2,4)$关于$y=a$的对称点为$C_2$的顶点，即$C_2$顶点坐标为$(2,2a-4)$；
点$B(0,2)$关于$y=a$的对称点为C，$\therefore C(0,2a-2)$；
因此抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2a-4$。
分三种情况讨论$△ BCD$为等腰直角三角形：
①当$∠ BCD=90°$，$BC=CD$时，如，此时BC沿y轴，CD水平向右与BC垂直，得$D(4,2a-2)$，代入$C_2$解析式得$|2a-4|=4$，解得$a=0$或$a=4$，
对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$；
②当$∠ CBD=90°$，$BC=BD$时，如，此时BC沿y轴，BD水平向右与BC垂直，得$D(2+2\sqrt{3-a},2)$，代入得$|2a-4|=2+2\sqrt{3-a}$，解得$a=3$或$a=2$（舍去）或$a=-1$，
对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$；
③当$∠ BDC=90°$，$BD=CD$时，$D(2-a,a)$或$(a-2,a)$，根据对称性点D同时在$C_1$、$C_2$上，如，将D代入$C_1$解析式得$a=-\dfrac{1}{2}(2-a)^2+2(2-a)+2$或$a=-\dfrac{1}{2}(a-2)^2+2(a-2)+2$，解得$a=-4$或$a=2$（舍去）或$a=4$，
对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$。
【答案】
(1) $A(2,4)$，$B(0,2)$；
(2) 满足条件的抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$。
【知识点】
二次函数的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题结合二次函数的对称变换和等腰直角三角形的存在性问题，核心考查分类讨论思想的应用，要求学生熟练掌握二次函数顶点式的转化、点的对称规律，能根据不同直角顶点的情况准确定位点的坐标，对逻辑分析能力和计算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求点B坐标：点B是抛物线$C_1$与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$C_1$的解析式即可求出对应y值，得到B点坐标；求顶点A坐标：将抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式，即可直接得到顶点A的坐标。
(2) 首先根据轴对称的性质：抛物线沿直线$y=a$对称后，开口大小不变、方向相反，顶点、与y轴交点均关于直线$y=a$对称，先推导得到$C_2$的顶点坐标、解析式通式以及点C的坐标。再分三类讨论等腰直角$△ BCD$：①$∠ BCD$为直角，②$∠ CBD$为直角，③$∠ BDC$为直角，每类情况根据等腰直角三角形边和角的关系确定D点坐标，将D点坐标代入对应抛物线解析式求解a的值，排除不符合题意的解后，即可得到对应$C_2$的表达式。
【解析】
(1) 求点B坐标：令$x=0$，代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$，得$y=2$，$\therefore B(0,2)$。
将抛物线$C_1$的一般式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+2=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+2=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$，
$\therefore$顶点A的坐标为$(2,4)$。
(2) $\because$抛物线$C_1$沿直线$y=a$对称得到抛物线$C_2$，
$\therefore C_2$的二次项系数为$\dfrac{1}{2}$（开口大小不变，方向相反），$C_1$的顶点$A(2,4)$关于$y=a$的对称点为$C_2$的顶点，即$C_2$顶点坐标为$(2,2a-4)$；
点$B(0,2)$关于$y=a$的对称点为C，$\therefore C(0,2a-2)$；
因此抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2a-4$。
分三种情况讨论$△ BCD$为等腰直角三角形：
①当$∠ BCD=90°$，$BC=CD$时，如
，此时BC沿y轴，CD水平向右与BC垂直，得$D(4,2a-2)$，代入$C_2$解析式得$|2a-4|=4$，解得$a=0$或$a=4$，对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$；
②当$∠ CBD=90°$，$BC=BD$时，如
，此时BC沿y轴，BD水平向右与BC垂直，得$D(2+2\sqrt{3-a},2)$，代入得$|2a-4|=2+2\sqrt{3-a}$，解得$a=3$或$a=2$（舍去）或$a=-1$，对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$；
③当$∠ BDC=90°$，$BD=CD$时，$D(2-a,a)$或$(a-2,a)$，根据对称性点D同时在$C_1$、$C_2$上，如
，将D代入$C_1$解析式得$a=-\dfrac{1}{2}(2-a)^2+2(2-a)+2$或$a=-\dfrac{1}{2}(a-2)^2+2(a-2)+2$，解得$a=-4$或$a=2$（舍去）或$a=4$，对应$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$。
【答案】
(1) $A(2,4)$，$B(0,2)$；
(2) 满足条件的抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+4$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-6$或$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-12$。
【知识点】
二次函数的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题结合二次函数的对称变换和等腰直角三角形的存在性问题，核心考查分类讨论思想的应用，要求学生熟练掌握二次函数顶点式的转化、点的对称规律，能根据不同直角顶点的情况准确定位点的坐标，对逻辑分析能力和计算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
2. （2025·牡丹江期中）如图，已知二次函数$y=-\frac{1}{6}x^2+bx+c$的图象经过点$A(0,6),B(8,6)$，矩形OABC的顶点C在x轴上，动点P从点C出发沿折线$C→B→A$运动，到达点A时停止，设点P运动的路程为$m(0＜m＜14)$。
（1）求二次函数的表达式。
（2）在点P的运动过程中，抛物线上是否存在点D，使$△ PDA$是等腰直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
＞＞进一步挑战进阶专题·P36 专题34 P37 专题35
（1）求二次函数的表达式。
（2）在点P的运动过程中，抛物线上是否存在点D，使$△ PDA$是等腰直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
＞＞进一步挑战进阶专题·P36 专题34 P37 专题35
答案
2. (1)把点$A(0,6),B(8,6)$代入函数表达式$y=-\dfrac{1}{6}x^2+bx+c$,得$\begin{cases} -\dfrac{64}{6}+8b+c=6, \\ c=6, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=\dfrac{4}{3}, \\ c=6, \end{cases}$$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x+6$.
(2)存在.点D的坐标为$(-4,-2)$或$(2,8)$或$(6,8)$. 解析:当点P在BC边上且AP为等腰直角三角形的斜边时,如
,过点D作$DM⊥ y$轴于点M,延长CB交MD的延长线于点N,则$∠ AMD=∠ DNP=90°$,$\therefore ∠ MAD+∠ MDA=90°$.$\because ∠ ADP=90°$,$\therefore ∠ PDN+∠ MDA=90°$,$\therefore ∠ MAD=∠ NDP$.在$△ AMD$和$△ DNP$中,$\begin{cases} ∠ AMD=∠ DNP, \\ ∠ MAD=∠ NDP, \\ AD=DP, \end{cases}$$\therefore △ AMD≌ △ DNP(\mathrm{AAS})$,$\therefore AM=DN$,$MD=NP$.设点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$,则$MD=t$,$AM=ND=8-t$.
$\because OM=OA+AM=6+8-t$,$\therefore 6+8-t=-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6$,整理得$t^2-14t+48=0$,解得$t_1=6$,$t_2=8$.当$t=8$时,$OM=OA+AM=6+8-t=6$,此时点D的坐标为$(8,6)$与点B重合,故应舍去,当$t=6$时,$OM=OA+AM=6+8-t=8$,此时点D的坐标为$(6,8)$.
当点P在AB边上且AD为等腰直角三角形的斜边时,如
.设点P的坐标为$(t,6)$,则点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$.$\because AP=DP$,$\therefore -\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6-6=t$,整理得$t^2-2t=0$,解得$t_1=0$,$t_2=2$,当$t=0$时,$-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6=6$,此时点D的坐标为$(0,6)$,与A点重合,故应舍去,当$t=2$时,$-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6=8$,此时点D的坐标为$(2,8)$.
当点P在BC边上且DP为等腰直角三角形的斜边时,如
,过点D作$DF⊥ y$轴于点F,则$∠ AFD=∠ ABP=90°$.又$∠ DAP=∠ BAO=90°$,$\therefore ∠ DAF+∠ OAP=∠ BAP+∠ OAP=90°$,则$∠ DAF=∠ PAB$.在$△ AFD$和$△ ABP$中,$\begin{cases} ∠ AFD=∠ ABP, \\ ∠ DAF=∠ PAB, \\ AD=AP, \end{cases}$$\therefore △ AFD≌ △ ABP(\mathrm{AAS})$,$\therefore AF=AB=8$.$\because AO=6$,$\therefore FO=2$,$\therefore$ 点D的纵坐标为$-2$,解方程$-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6=-2$,整理得$t^2-8t-48=0$,解得$t_1=12$,$t_2=-4$,当$t=12$时,此时点D与AP不能构成直角三角形,故应舍去,当$t=-4$时,对应的纵坐标为$(-4,-2)$.综上所述,点D的坐标为$(-4,-2)$或$(2,8)$或$(6,8)$.解析
【分析】
(1) 已知二次函数仅含b、c两个未知参数，且图像过A、B两点，利用待定系数法将两点坐标代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数，得到函数表达式。
(2) 探究等腰直角三角形的存在性，需分情况讨论：先按动点P的位置分为P在BC边、P在AB边两类，再结合等腰直角三角形的直角顶点（D、P、A三种可能），通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合点D在抛物线上的条件设坐标列方程求解，最后验证舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 把点$A(0,6),B(8,6)$代入函数表达式$y=-\dfrac{1}{6}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -\dfrac{64}{6}+8b+c=6, \\ c=6, \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=\dfrac{4}{3}, \\ c=6, \end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x+6$。
(2) 存在，分三种情况讨论：
① 当点P在BC边上且AP为等腰直角三角形的斜边时，如，过点D作$DM⊥ y$轴于点M，延长CB交MD的延长线于点N，则$∠ AMD=∠ DNP=90°$，$\therefore ∠ MAD+∠ MDA=90°$。
$\because ∠ ADP=90°$，$\therefore ∠ PDN+∠ MDA=90°$，$\therefore ∠ MAD=∠ NDP$。
在$△ AMD$和$△ DNP$中，$\begin{cases} ∠ AMD=∠ DNP, \\ ∠ MAD=∠ NDP, \\ AD=DP, \end{cases}$
$\therefore △ AMD≌ △ DNP(\mathrm{AAS})$，$\therefore AM=DN$，$MD=NP$。
设点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$，则$MD=t$，$AM=ND=8-t$。
$\because OM=OA+AM=6+8-t$，$\therefore 6+8-t=-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6$，
整理得$t^2-14t+48=0$，解得$t_1=6$，$t_2=8$。
当$t=8$时，点D坐标为$(8,6)$，与点B重合，舍去；当$t=6$时，$y=8$，点D坐标为$(6,8)$。
② 当点P在AB边上且AD为等腰直角三角形的斜边时，如。
设点P的坐标为$(t,6)$，则点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$。
$\because AP=DP$，$\therefore -\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6-6=t$，
整理得$t^2-2t=0$，解得$t_1=0$，$t_2=2$。
当$t=0$时，点D坐标为$(0,6)$，与A点重合，舍去；当$t=2$时，$y=8$，点D坐标为$(2,8)$。
③ 当点P在BC边上且DP为等腰直角三角形的斜边时，如，过点D作$DF⊥ y$轴于点F，则$∠ AFD=∠ ABP=90°$。
又$∠ DAP=90°$，$\therefore ∠ DAF+∠ OAP=∠ BAP+∠ OAP=90°$，则$∠ DAF=∠ PAB$。
在$△ AFD$和$△ ABP$中，$\begin{cases} ∠ AFD=∠ ABP, \\ ∠ DAF=∠ PAB, \\ AD=AP, \end{cases}$
$\therefore △ AFD≌ △ ABP(\mathrm{AAS})$，$\therefore AF=AB=8$。
$\because AO=6$，$\therefore FO=2$，即点D的纵坐标为$-2$，
解方程$-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6=-2$，整理得$t^2-8t-48=0$，解得$t_1=12$，$t_2=-4$。
当$t=12$时，无法构成符合要求的等腰直角三角形，舍去；当$t=-4$时，点D坐标为$(-4,-2)$。
综上，符合条件的点D坐标为$(-4,-2)$或$(2,8)$或$(6,8)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x+6}$
(2) 存在，点D的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$或$\boldsymbol{(2,8)}$或$\boldsymbol{(6,8)}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 等腰直角三角形性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于二次函数几何综合题，重点考查分类讨论思想的应用，解题时需按动点位置和直角顶点位置分类，通过构造全等三角形建立等量关系列方程求解，注意解出结果后要验证是否符合题意，舍去无效解。
【难度系数】
0.3
(1) 已知二次函数仅含b、c两个未知参数，且图像过A、B两点，利用待定系数法将两点坐标代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数，得到函数表达式。
(2) 探究等腰直角三角形的存在性，需分情况讨论：先按动点P的位置分为P在BC边、P在AB边两类，再结合等腰直角三角形的直角顶点（D、P、A三种可能），通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合点D在抛物线上的条件设坐标列方程求解，最后验证舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 把点$A(0,6),B(8,6)$代入函数表达式$y=-\dfrac{1}{6}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} -\dfrac{64}{6}+8b+c=6, \\ c=6, \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=\dfrac{4}{3}, \\ c=6, \end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x+6$。
(2) 存在，分三种情况讨论：
① 当点P在BC边上且AP为等腰直角三角形的斜边时，如
，过点D作$DM⊥ y$轴于点M，延长CB交MD的延长线于点N，则$∠ AMD=∠ DNP=90°$，$\therefore ∠ MAD+∠ MDA=90°$。$\because ∠ ADP=90°$，$\therefore ∠ PDN+∠ MDA=90°$，$\therefore ∠ MAD=∠ NDP$。
在$△ AMD$和$△ DNP$中，$\begin{cases} ∠ AMD=∠ DNP, \\ ∠ MAD=∠ NDP, \\ AD=DP, \end{cases}$
$\therefore △ AMD≌ △ DNP(\mathrm{AAS})$，$\therefore AM=DN$，$MD=NP$。
设点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$，则$MD=t$，$AM=ND=8-t$。
$\because OM=OA+AM=6+8-t$，$\therefore 6+8-t=-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6$，
整理得$t^2-14t+48=0$，解得$t_1=6$，$t_2=8$。
当$t=8$时，点D坐标为$(8,6)$，与点B重合，舍去；当$t=6$时，$y=8$，点D坐标为$(6,8)$。
② 当点P在AB边上且AD为等腰直角三角形的斜边时，如
。设点P的坐标为$(t,6)$，则点D的坐标为$(t,-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6)$。
$\because AP=DP$，$\therefore -\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6-6=t$，
整理得$t^2-2t=0$，解得$t_1=0$，$t_2=2$。
当$t=0$时，点D坐标为$(0,6)$，与A点重合，舍去；当$t=2$时，$y=8$，点D坐标为$(2,8)$。
③ 当点P在BC边上且DP为等腰直角三角形的斜边时，如
，过点D作$DF⊥ y$轴于点F，则$∠ AFD=∠ ABP=90°$。又$∠ DAP=90°$，$\therefore ∠ DAF+∠ OAP=∠ BAP+∠ OAP=90°$，则$∠ DAF=∠ PAB$。
在$△ AFD$和$△ ABP$中，$\begin{cases} ∠ AFD=∠ ABP, \\ ∠ DAF=∠ PAB, \\ AD=AP, \end{cases}$
$\therefore △ AFD≌ △ ABP(\mathrm{AAS})$，$\therefore AF=AB=8$。
$\because AO=6$，$\therefore FO=2$，即点D的纵坐标为$-2$，
解方程$-\dfrac{1}{6}t^2+\dfrac{4}{3}t+6=-2$，整理得$t^2-8t-48=0$，解得$t_1=12$，$t_2=-4$。
当$t=12$时，无法构成符合要求的等腰直角三角形，舍去；当$t=-4$时，点D坐标为$(-4,-2)$。
综上，符合条件的点D坐标为$(-4,-2)$或$(2,8)$或$(6,8)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{4}{3}x+6}$
(2) 存在，点D的坐标为$\boldsymbol{(-4,-2)}$或$\boldsymbol{(2,8)}$或$\boldsymbol{(6,8)}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 等腰直角三角形性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于二次函数几何综合题，重点考查分类讨论思想的应用，解题时需按动点位置和直角顶点位置分类，通过构造全等三角形建立等量关系列方程求解，注意解出结果后要验证是否符合题意，舍去无效解。
【难度系数】
0.3
