登录
10.如图①，直线AB，CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE=$\frac{2}{3}$∠COE.
(1)求∠AOE的度数.
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜360°)到OF.
①如图②,当OF平分∠BOE时,求∠DOF的度数;
②若∠AOF=120°时,直接写出α的度数.
(1)求∠AOE的度数.
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜360°)到OF.
①如图②,当OF平分∠BOE时,求∠DOF的度数;
②若∠AOF=120°时,直接写出α的度数.
答案
10.(1)因为$∠AOE=\frac{2}{3}∠COE$,所以设$∠AOE=2x$,则$∠COE=3x$,$∠AOC=5x$.
因为$∠AOC=∠BOD=75°$,所以$5x=75°$,解得$x=15°$,则$2x=30°$.即$∠AOE=30°$.
(2)①因为$∠AOE=30°$,所以$∠BOE=180°-∠AOE=150°$.
因为 OF 平分$∠BOE$,所以$∠BOF=75°$.
因为$∠BOD=75°$,所以$∠DOF=∠BOD+∠BOF=150°$.
②$90°$或$210°$.提示:
当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到$OF_1$时,$α=∠AOF_1-∠AOE=90°$,
当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到$OF_2$时,$α=360°-∠AOF_2-∠AOE=210°$.
解析
【分析】
(1) 首先利用对顶角相等的性质，可得∠AOC与已知的∠BOD度数相等；再结合题目给出的∠AOE和∠COE的比例关系，设未知数表示两个角，根据∠AOC的度数列方程求解，即可得到∠AOE的度数。
(2) ①先根据邻补角和为180°，计算出∠BOE的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOF的度数，最后结合∠BOD的度数，通过角的和差关系计算∠DOF即可；②当OE绕点O旋转到满足∠AOF=120°的位置时，存在两种情况：OF在AB的下方、OF在AB的上方，分别结合旋转角的定义计算α即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由$∠ AOE=\frac{2}{3}∠ COE$，设$∠ AOE=2x$，则$∠ COE=3x$，因此$∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=5x$。
因为直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD=75°$，
所以$5x=75°$，解得$x=15°$，则$∠ AOE=2x=2×15°=30°$。
(2) ①因为$∠ AOE=30°$，$∠ AOE$与$∠ BOE$互为邻补角，所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-30°=150°$。
因为OF平分$∠ BOE$，所以$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
又因为$∠ BOD=75°$，所以$∠ DOF=∠ BOD+∠ BOF=75°+75°=150°$。
②分两种情况讨论：
第一种：当OF旋转到AB下方的$F_1$位置时，$α=∠ AOF_1-∠ AOE=120°-30°=90°$；
第二种：当OF旋转到AB上方的$F_2$位置时，$α=360°-(∠ AOF_2+∠ AOE)=360°-(120°+30°)=210°$。
综上，$α$的度数为$90°$或$210°$。
【答案】
(1) $∠ AOE=30°$
(2) ①$∠ DOF=150°$；②$α$的度数为$90°$或$210°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于角的计算综合题，解题时要熟练运用对顶角、邻补角、角平分线的相关性质，涉及旋转的动态问题时，要注意分情况讨论，避免因考虑不周全导致漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用对顶角相等的性质，可得∠AOC与已知的∠BOD度数相等；再结合题目给出的∠AOE和∠COE的比例关系，设未知数表示两个角，根据∠AOC的度数列方程求解，即可得到∠AOE的度数。
(2) ①先根据邻补角和为180°，计算出∠BOE的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOF的度数，最后结合∠BOD的度数，通过角的和差关系计算∠DOF即可；②当OE绕点O旋转到满足∠AOF=120°的位置时，存在两种情况：OF在AB的下方、OF在AB的上方，分别结合旋转角的定义计算α即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由$∠ AOE=\frac{2}{3}∠ COE$，设$∠ AOE=2x$，则$∠ COE=3x$，因此$∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=5x$。
因为直线AB、CD相交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD=75°$，
所以$5x=75°$，解得$x=15°$，则$∠ AOE=2x=2×15°=30°$。
(2) ①因为$∠ AOE=30°$，$∠ AOE$与$∠ BOE$互为邻补角，所以$∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-30°=150°$。
因为OF平分$∠ BOE$，所以$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
又因为$∠ BOD=75°$，所以$∠ DOF=∠ BOD+∠ BOF=75°+75°=150°$。
②分两种情况讨论：
第一种：当OF旋转到AB下方的$F_1$位置时，$α=∠ AOF_1-∠ AOE=120°-30°=90°$；
第二种：当OF旋转到AB上方的$F_2$位置时，$α=360°-(∠ AOF_2+∠ AOE)=360°-(120°+30°)=210°$。
综上，$α$的度数为$90°$或$210°$。
【答案】
(1) $∠ AOE=30°$
(2) ①$∠ DOF=150°$；②$α$的度数为$90°$或$210°$
【知识点】
对顶角相等；角平分线的定义；邻补角的性质
【点评】
本题属于角的计算综合题，解题时要熟练运用对顶角、邻补角、角平分线的相关性质，涉及旋转的动态问题时，要注意分情况讨论，避免因考虑不周全导致漏解。
【难度系数】
0.7
11.如图，∠AOB 是直角，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线.当锐角∠AOC 的大小发生变化时，∠MON 的大小是否发生变化？为什么？
答案
11.当锐角$∠AOC$ 的大小发生变化时,$∠MON$ 的大小不发生变化.
理由如下:设$∠AON=∠CON=x$,
所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x$,
所以$∠COM=\frac{1}{2}∠BOC=45°+x$,
所以$∠MON=∠COM-∠CON=x+45°-x=45°$,
所以$∠MON$ 的大小不变.
理由如下:设$∠AON=∠CON=x$,
所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x$,
所以$∠COM=\frac{1}{2}∠BOC=45°+x$,
所以$∠MON=∠COM-∠CON=x+45°-x=45°$,
所以$∠MON$ 的大小不变.
解析
【分析】
要判断∠MON的大小是否随∠AOC的变化而变化，我们可以结合已知条件思考：已知∠AOB是直角，OM、ON分别是∠BOC、∠AOC的平分线，我们可以先设出∠AOC被角平分线平分后的其中一个角为未知数，利用角平分线的性质表示出相关的角，再通过角的和差关系推导∠MON的度数，若最终结果不含与∠AOC相关的变量，就说明∠MON的大小是定值，不随∠AOC变化。
【解析】
解：当锐角∠AOC的大小发生变化时，∠MON的大小不发生变化，理由如下：
设∠AON=∠CON=x，
∵ON是∠AOC的平分线，
∴∠AOC=2∠CON=2x，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴$∠ COM=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(90°+2x)=45°+x$，
∴$∠ MON=∠ COM-∠ CON=(45°+x)-x=45°$，
∠MON的度数为固定的45°，与x的取值无关，因此其大小不随∠AOC的变化而变化。
【答案】
当锐角∠AOC的大小发生变化时，∠MON的大小不发生变化，恒为$45°$。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题是角的定值计算类典型题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质，通过设参数表示各角，再利用角的和差运算消去参数得到定值，该思路也可推广到同类线段、角的定值问题中。
【难度系数】
0.7
要判断∠MON的大小是否随∠AOC的变化而变化，我们可以结合已知条件思考：已知∠AOB是直角，OM、ON分别是∠BOC、∠AOC的平分线，我们可以先设出∠AOC被角平分线平分后的其中一个角为未知数，利用角平分线的性质表示出相关的角，再通过角的和差关系推导∠MON的度数，若最终结果不含与∠AOC相关的变量，就说明∠MON的大小是定值，不随∠AOC变化。
【解析】
解：当锐角∠AOC的大小发生变化时，∠MON的大小不发生变化，理由如下：
设∠AON=∠CON=x，
∵ON是∠AOC的平分线，
∴∠AOC=2∠CON=2x，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2x，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴$∠ COM=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(90°+2x)=45°+x$，
∴$∠ MON=∠ COM-∠ CON=(45°+x)-x=45°$，
∠MON的度数为固定的45°，与x的取值无关，因此其大小不随∠AOC的变化而变化。
【答案】
当锐角∠AOC的大小发生变化时，∠MON的大小不发生变化，恒为$45°$。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题是角的定值计算类典型题，解题的关键是灵活运用角平分线的性质，通过设参数表示各角，再利用角的和差运算消去参数得到定值，该思路也可推广到同类线段、角的定值问题中。
【难度系数】
0.7
