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7.如图,某长方形广场四角均设计一块半径为r的扇形花坛,广场长为a,宽为b,则广场空地的面积为(
A.$ab - \frac{1}{4}π r^2$
B.$ab$
C.$ab - \frac{1}{2}π r^2$
D.$ab - π r^2$
D
).A.$ab - \frac{1}{4}π r^2$
B.$ab$
C.$ab - \frac{1}{2}π r^2$
D.$ab - π r^2$
答案
D
解析
【分析】
要求广场空地的面积，思路是用整个长方形广场的总面积减去四个角扇形花坛的总面积。首先回忆长方形面积公式，再观察四个扇形的特征：长方形的内角都是直角，所以每个扇形的圆心角为90°，也就是每个扇形是半径为r的$\frac{1}{4}$圆，4个这样的扇形刚好可以拼成1个完整的半径为r的圆，因此只需计算出长方形面积和整圆的面积，再做差即可得到空地面积。
【解析】
第一步：计算长方形广场的面积，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，得长方形面积为$ab$。
第二步：计算四个扇形花坛的总面积，每个扇形是半径为$r$的$\frac{1}{4}$圆，4个扇形的面积和为$4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2$。
第三步：空地面积=长方形面积 - 四个扇形的总面积，即空地面积为$ab-π r^2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题是列代数式解决实际面积问题的典型题目，解题核心是利用割补法将四个分散的扇形转化为一个完整的圆，简化不规则图形面积的计算过程，避免分别计算每个扇形面积的繁琐。
【难度系数】
0.7
要求广场空地的面积，思路是用整个长方形广场的总面积减去四个角扇形花坛的总面积。首先回忆长方形面积公式，再观察四个扇形的特征：长方形的内角都是直角，所以每个扇形的圆心角为90°，也就是每个扇形是半径为r的$\frac{1}{4}$圆，4个这样的扇形刚好可以拼成1个完整的半径为r的圆，因此只需计算出长方形面积和整圆的面积，再做差即可得到空地面积。
【解析】
第一步：计算长方形广场的面积，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，得长方形面积为$ab$。
第二步：计算四个扇形花坛的总面积，每个扇形是半径为$r$的$\frac{1}{4}$圆，4个扇形的面积和为$4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2$。
第三步：空地面积=长方形面积 - 四个扇形的总面积，即空地面积为$ab-π r^2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题是列代数式解决实际面积问题的典型题目，解题核心是利用割补法将四个分散的扇形转化为一个完整的圆，简化不规则图形面积的计算过程，避免分别计算每个扇形面积的繁琐。
【难度系数】
0.7
8.小明跟同学在某餐厅吃饭，下图为此餐厅的菜单.他们共点了10份凉皮，x个肉夹馍，y瓶饮料，则他们点了
A餐:一份凉皮
B餐:一份凉皮加
个肉夹馍
C餐:一份凉皮加一个肉夹馍加一瓶饮料
$(10-x)$
份A餐.A餐:一份凉皮
B餐:一份凉皮加
个肉夹馍C餐:一份凉皮加一个肉夹馍加一瓶饮料
答案
$(10-x)$
解析
【分析】
首先观察三种套餐的构成：A餐仅含凉皮，B、C餐均同时含1份凉皮和1个肉夹馍。首先明确肉夹馍的来源：只有B、C餐提供肉夹馍，且每份B、C餐各含1个肉夹馍，因此肉夹馍的总个数x等于B餐和C餐的总份数。再明确凉皮的来源：三种套餐每份都含1份凉皮，因此凉皮总份数等于A、B、C三种套餐的总份数，用凉皮总份数减去B、C餐的总份数，即可得到A餐的份数。
【解析】
解：由套餐构成可知，肉夹馍仅在B餐和C餐中提供，且每份B餐、C餐各含1个肉夹馍，因此B餐份数 + C餐份数 = 肉夹馍总个数 = x。
又因为A、B、C三种套餐每份都含1份凉皮，因此凉皮总份数 = A餐份数 + B餐份数 + C餐份数。
已知共点了10份凉皮，代入得：$10 = \mathrm{A餐份数} + x$，
所以$\mathrm{A餐份数} = 10 - x$。
【答案】
$\boldsymbol{(10-x)}$
【知识点】
列代数式；实际问题数量关系
【点评】
本题结合生活点餐场景考查代数式的列写，解题的关键是梳理不同套餐的餐品构成，找到肉夹馍数量与B、C餐总份数的对应关系，逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
首先观察三种套餐的构成：A餐仅含凉皮，B、C餐均同时含1份凉皮和1个肉夹馍。首先明确肉夹馍的来源：只有B、C餐提供肉夹馍，且每份B、C餐各含1个肉夹馍，因此肉夹馍的总个数x等于B餐和C餐的总份数。再明确凉皮的来源：三种套餐每份都含1份凉皮，因此凉皮总份数等于A、B、C三种套餐的总份数，用凉皮总份数减去B、C餐的总份数，即可得到A餐的份数。
【解析】
解：由套餐构成可知，肉夹馍仅在B餐和C餐中提供，且每份B餐、C餐各含1个肉夹馍，因此B餐份数 + C餐份数 = 肉夹馍总个数 = x。
又因为A、B、C三种套餐每份都含1份凉皮，因此凉皮总份数 = A餐份数 + B餐份数 + C餐份数。
已知共点了10份凉皮，代入得：$10 = \mathrm{A餐份数} + x$，
所以$\mathrm{A餐份数} = 10 - x$。
【答案】
$\boldsymbol{(10-x)}$
【知识点】
列代数式；实际问题数量关系
【点评】
本题结合生活点餐场景考查代数式的列写，解题的关键是梳理不同套餐的餐品构成，找到肉夹馍数量与B、C餐总份数的对应关系，逻辑清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
9.电脑课外小组练习录入同一份稿件，下表表示每人录入所用时间(单位:min)和录入速度(单位:字/min)的关系.
(1)每人录入所用时间与录入速度成什么比例关系？为什么？
(2)王老师录完这份稿件只用了20 min.他的录入速度是多少？
(1)每人录入所用时间与录入速度成什么比例关系？为什么？
(2)王老师录完这份稿件只用了20 min.他的录入速度是多少？
答案
(1)每人录入所用时间与录入速度成反比例关系，因为每人录入所用时间和录入速度的乘积是定值.
(2)2400÷20=120(字/min).
答:他的录入速度是120字/min.
(2)2400÷20=120(字/min).
答:他的录入速度是120字/min.
解析
【分析】
（1）判断两个相关联的量成什么比例的核心依据是：若两个量的乘积为定值则成反比例，若比值为定值则成正比例。本题中录入的是同一份稿件，总字数固定，因此只需验证录入时间和录入速度的乘积是否为定值即可得出结论。
（2）求王老师的录入速度，首先要先算出这份稿件的总字数，利用表格中任意一组录入时间和速度的乘积就能得到总字数，再根据“录入速度=总字数÷录入时间”的关系计算即可。
【解析】
(1) 分别计算每人录入时间和录入速度的乘积：
$30×80=2400$，$40×60=2400$，$50×48=2400$，$60×40=2400$
可以看出录入所用时间与录入速度的乘积始终等于稿件总字数，是固定值，因此二者成反比例关系。
(2) 先计算稿件总字数：$30×80=2400$（字）
已知王老师录入用时20min，因此他的录入速度为：$2400÷20=120$（字/min）
【答案】
(1) 每人录入所用时间与录入速度成反比例关系，因为每人录入所用时间和录入速度的乘积是定值。
(2) 他的录入速度是120字/min。
【知识点】
反比例判定，归总计算，反比例应用
【点评】
本题是比例相关的基础应用题，核心考查正反比例的判断方法，以及利用反比例性质解决实际问题的能力，解题的关键是抓住“同一份稿件总字数固定”这一隐藏条件。
【难度系数】
0.8
（1）判断两个相关联的量成什么比例的核心依据是：若两个量的乘积为定值则成反比例，若比值为定值则成正比例。本题中录入的是同一份稿件，总字数固定，因此只需验证录入时间和录入速度的乘积是否为定值即可得出结论。
（2）求王老师的录入速度，首先要先算出这份稿件的总字数，利用表格中任意一组录入时间和速度的乘积就能得到总字数，再根据“录入速度=总字数÷录入时间”的关系计算即可。
【解析】
(1) 分别计算每人录入时间和录入速度的乘积：
$30×80=2400$，$40×60=2400$，$50×48=2400$，$60×40=2400$
可以看出录入所用时间与录入速度的乘积始终等于稿件总字数，是固定值，因此二者成反比例关系。
(2) 先计算稿件总字数：$30×80=2400$（字）
已知王老师录入用时20min，因此他的录入速度为：$2400÷20=120$（字/min）
【答案】
(1) 每人录入所用时间与录入速度成反比例关系，因为每人录入所用时间和录入速度的乘积是定值。
(2) 他的录入速度是120字/min。
【知识点】
反比例判定，归总计算，反比例应用
【点评】
本题是比例相关的基础应用题，核心考查正反比例的判断方法，以及利用反比例性质解决实际问题的能力，解题的关键是抓住“同一份稿件总字数固定”这一隐藏条件。
【难度系数】
0.8
素养提升
10. 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：
$a_5=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：
$a_n=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$（n为正整数）。
10. 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：
$a_5=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：
$a_n=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$（n为正整数）。
答案
(1) $\frac{1}{9×11}$ $\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2) $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ $\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(2) $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ $\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
解析
【分析】
解题时先分别观察已知等式左右两边的结构特征，寻找和序号的对应关系：
1. 先看等式左边：每个$a$的分子都是1，分母是两个连续奇数的乘积，第1个等式对应奇数1、3，第2个对应3、5，第3个对应5、7，可得第$k$个等式的分母第一个奇数为$2k-1$，第二个奇数为$2k+1$；
2. 再看等式右边：均为$\frac{1}{2}$乘两个分数的差，两个分数正好是左边分母两个奇数的倒数。
按照这个规律就可以写出第5个和第$n$个等式。
【解析】
（1）求第5个等式：
当序号为5时，分母第一个奇数为$2×5 -1=9$，第二个奇数为$9+2=11$，因此：
$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
（2）求第$n$个等式：
当序号为$n$（$n$为正整数）时，分母第一个奇数为$2n-1$，第二个奇数为$2n+1$，因此：
$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
【答案】
(1) $\frac{1}{9×11}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2) $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
【知识点】
数字规律探究；列代数式；分数裂项
【点评】
这道题是典型的数字类规律探究题，需要通过观察已知等式的共性，梳理出式子结构和序号之间的对应关系，进而归纳出通用表达式，这类题型是后续裂项相消运算的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先分别观察已知等式左右两边的结构特征，寻找和序号的对应关系：
1. 先看等式左边：每个$a$的分子都是1，分母是两个连续奇数的乘积，第1个等式对应奇数1、3，第2个对应3、5，第3个对应5、7，可得第$k$个等式的分母第一个奇数为$2k-1$，第二个奇数为$2k+1$；
2. 再看等式右边：均为$\frac{1}{2}$乘两个分数的差，两个分数正好是左边分母两个奇数的倒数。
按照这个规律就可以写出第5个和第$n$个等式。
【解析】
（1）求第5个等式：
当序号为5时，分母第一个奇数为$2×5 -1=9$，第二个奇数为$9+2=11$，因此：
$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
（2）求第$n$个等式：
当序号为$n$（$n$为正整数）时，分母第一个奇数为$2n-1$，第二个奇数为$2n+1$，因此：
$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
【答案】
(1) $\frac{1}{9×11}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2) $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$；$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
【知识点】
数字规律探究；列代数式；分数裂项
【点评】
这道题是典型的数字类规律探究题，需要通过观察已知等式的共性，梳理出式子结构和序号之间的对应关系，进而归纳出通用表达式，这类题型是后续裂项相消运算的基础。
【难度系数】
0.8
11.同学们在探究“杠杆原理”时，通过实验发现:当左边刻度4上放3个砝码,右边刻度数及放砝码数如图所示,两边平衡.想一想:在右边其余刻度上放几个砝码才能保证平衡?
(1)请你完成表格.
(2)从表中你发现右边刻度数和砝码数成什么比例关系?为什么?
(1)请你完成表格.
(2)从表中你发现右边刻度数和砝码数成什么比例关系?为什么?
答案
(1)12 4 12 12 12 12
(2)右边刻度数和砝码数成反比例关系.理由如下.
因为右边刻度数和砝码数的乘积为定值，所以右边刻度数和砝码数成反比例关系.
(2)右边刻度数和砝码数成反比例关系.理由如下.
因为右边刻度数和砝码数的乘积为定值，所以右边刻度数和砝码数成反比例关系.
解析
【分析】
解题首先利用杠杆平衡的核心等量关系：左边刻度数×左边砝码数=右边刻度数×右边砝码数。第一步先计算左边的乘积：4×3=12，可知右边任意刻度对应的刻度数×砝码数必须等于12才能平衡，据此可计算填写表格。第二问判断比例关系时，回忆反比例的定义：两个相关联的量，若乘积为定值则成反比例，结合计算得到的定值12即可判断。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：左边刻度数×左边砝码数=右边刻度数×右边砝码数。
先计算左边的乘积：$4×3=12$，因此右边需满足：刻度数×砝码数=12。
当右边刻度为1时，砝码数=$12÷1=12$；当右边刻度为3时，砝码数=$12÷3=4$；所有对应刻度数和砝码数的乘积均为12，因此表格依次填写对应数值即可。
(2) 判断比例关系：两种相关联的量，若一种量变化另一种量也随之变化，且两者的乘积为定值，则这两种量成反比例关系。
本题中右边刻度数变化时，砝码数也随之变化，且二者的乘积始终等于12（定值），因此右边刻度数和砝码数成反比例关系。
【答案】
(1)12 4 12 12 12 12
(2)右边刻度数和砝码数成反比例关系。因为右边刻度数和砝码数的乘积为定值，所以右边刻度数和砝码数成反比例关系。
【知识点】
1. 杠杆平衡规律
2. 反比例关系判定
【点评】
本题结合杠杆平衡的实验场景考查比例关系的判定，需要先从实际场景中提炼出等量关系，再结合反比例的定义作答，兼顾了对知识应用能力和基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题首先利用杠杆平衡的核心等量关系：左边刻度数×左边砝码数=右边刻度数×右边砝码数。第一步先计算左边的乘积：4×3=12，可知右边任意刻度对应的刻度数×砝码数必须等于12才能平衡，据此可计算填写表格。第二问判断比例关系时，回忆反比例的定义：两个相关联的量，若乘积为定值则成反比例，结合计算得到的定值12即可判断。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：左边刻度数×左边砝码数=右边刻度数×右边砝码数。
先计算左边的乘积：$4×3=12$，因此右边需满足：刻度数×砝码数=12。
当右边刻度为1时，砝码数=$12÷1=12$；当右边刻度为3时，砝码数=$12÷3=4$；所有对应刻度数和砝码数的乘积均为12，因此表格依次填写对应数值即可。
(2) 判断比例关系：两种相关联的量，若一种量变化另一种量也随之变化，且两者的乘积为定值，则这两种量成反比例关系。
本题中右边刻度数变化时，砝码数也随之变化，且二者的乘积始终等于12（定值），因此右边刻度数和砝码数成反比例关系。
【答案】
(1)12 4 12 12 12 12
(2)右边刻度数和砝码数成反比例关系。因为右边刻度数和砝码数的乘积为定值，所以右边刻度数和砝码数成反比例关系。
【知识点】
1. 杠杆平衡规律
2. 反比例关系判定
【点评】
本题结合杠杆平衡的实验场景考查比例关系的判定，需要先从实际场景中提炼出等量关系，再结合反比例的定义作答，兼顾了对知识应用能力和基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
