21. (本小题满分12分)
在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°.
(1)如图①，若AO=OB，请直接写出AO与BD的数量关系和位置关系.
(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO=OB. 求证：AC=BD，AC⊥BD.
(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求$\frac{BD}{AC}$的值.

(1)解：$AO=BD$，$AO⊥ BD$。
(2)证明：如图，过点$B$作$BE// CA$交$DO$于点$E$，延长$AC$交$DB$的延长线于点$F$，则$∠ ACO=∠ BEO$。

又$\because AO=OB$，$∠ AOC=∠ BOE$，
$\therefore △ AOC≌△ BOE$。
$\therefore AC=BE$，$∠ ACO=∠ BEO$。
$\because ∠ 1=45°$，
$\therefore ∠ ACO=∠ BEO=135°$。
$\therefore ∠ DEB=45°$。
又$\because ∠ 2=45°$，
$\therefore BE=BD$，$∠ EBD=90°$。
$\therefore AC=BD$。
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠ AFD=∠ EBD=90°$，即$AC⊥ BD$。
(3)解：如图，过点$B$作$BE// CA$交$DO$于点$E$，则$∠ BEO=∠ ACO$。

又$\because ∠ BOE=∠ AOC$，
$\therefore △ BOE∽△ AOC$。
$\therefore \dfrac{BE}{AC}=\dfrac{BO}{AO}$。
又$\because OB=kAO$，
$\therefore BE=kAC$。
由(2)的方法易得$BE=BD$，
$\therefore \dfrac{BD}{AC}=k$。