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1. 在式子$\frac{1}{a},\frac{2xy}{π},\frac{3abc}{4},\frac{5}{6+x},\frac{x}{7}+\frac{y}{8},9x+\frac{10}{y},\frac{x^2}{x}$中，分式的个数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）。A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1. B
解析
【分析】
解题首先要明确分式的判定依据：如果一个式子形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式），且分母$B$中含有字母，那么这个式子就是分式。判定时要注意两个易错点：①$π$是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判定分式只需看原式的分母是否含字母，不能先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的式子，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子是否为分式：
1. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为$π$，是常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4，是常数，不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：两个项的分母分别为7和8，都是常数，不含字母，是整式，不是分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：式子中$\frac{10}{y}$的分母含字母$y$，整个式子是分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为$x$，含有字母，即使约分后为整式$x$，原式仍是分式。
综上，分式共有$\frac{1}{a}、\frac{5}{6+x}、9x+\frac{10}{y}、\frac{x^2}{x}$，合计4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是分式判定的基础题型，核心考查对分式定义的理解，易错点是误将$π$当作字母、或者对$\frac{x^2}{x}$这类式子约分后再判定，只要牢记判定规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确分式的判定依据：如果一个式子形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式），且分母$B$中含有字母，那么这个式子就是分式。判定时要注意两个易错点：①$π$是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判定分式只需看原式的分母是否含字母，不能先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的式子，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子是否为分式：
1. $\frac{1}{a}$：分母为$a$，含有字母，是分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为$π$，是常数，不含字母，是整式，不是分式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4，是常数，不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母$x$，是分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：两个项的分母分别为7和8，都是常数，不含字母，是整式，不是分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：式子中$\frac{10}{y}$的分母含字母$y$，整个式子是分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为$x$，含有字母，即使约分后为整式$x$，原式仍是分式。
综上，分式共有$\frac{1}{a}、\frac{5}{6+x}、9x+\frac{10}{y}、\frac{x^2}{x}$，合计4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是分式判定的基础题型，核心考查对分式定义的理解，易错点是误将$π$当作字母、或者对$\frac{x^2}{x}$这类式子约分后再判定，只要牢记判定规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.7
2. 要使分式$\frac{6}{x-19}$有意义，则$x$需满足的条件是
$x≠19$
。答案
2. $x≠19$
解析
【分析】
要判断分式有意义的条件，核心依据是分式的定义：分式的分母不能为0，否则分式无意义。解题时首先找到该分式的分母，令分母不等于0，解出对应的不等式即可得到x需要满足的条件。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
本题中分式的分母为$x-19$，因此列不等式：
$x - 19 ≠ 0$
解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式有意义则分母不为0”的结论，就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
要判断分式有意义的条件，核心依据是分式的定义：分式的分母不能为0，否则分式无意义。解题时首先找到该分式的分母，令分母不等于0，解出对应的不等式即可得到x需要满足的条件。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
本题中分式的分母为$x-19$，因此列不等式：
$x - 19 ≠ 0$
解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，只要牢记“分式有意义则分母不为0”的结论，就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
3.若分式$\frac{x-1}{x+1}$无意义，则x的值为
$-1$
。答案
3. $-1$
解析
【分析】
要解决分式无意义求x取值的问题，首先回忆分式的相关性质：分式无意义的等价条件是分式的分母等于0。因此解题步骤可分为三步：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母的表达式等于0，第三步解这个一元一次方程就能得到x的取值。
【解析】
解：分式无意义的条件是分母为0。
该分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，令分母等于0，可得方程：
$x+1=0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对分式无意义条件的掌握，解题时要注意区分分式无意义、分式有意义、分式值为0这三类问题的不同条件，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
要解决分式无意义求x取值的问题，首先回忆分式的相关性质：分式无意义的等价条件是分式的分母等于0。因此解题步骤可分为三步：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母的表达式等于0，第三步解这个一元一次方程就能得到x的取值。
【解析】
解：分式无意义的条件是分母为0。
该分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，令分母等于0，可得方程：
$x+1=0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对分式无意义条件的掌握，解题时要注意区分分式无意义、分式有意义、分式值为0这三类问题的不同条件，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
4.某市对一段全长1 500 m的道路进行改造.原计划每天修x m,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修的长度比原计划的2倍还多35 m,那么修这条路实际用了
$\frac{1500}{2x+35}$
天.答案
4. $\frac{1500}{2x+35}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。我们第一步需要先求出实际每天修路的长度（即实际工作效率），再用道路总长度除以实际工作效率，就能得到实际修路所用的天数。首先，已知原计划每天修x m，题目明确实际每天修的长度比原计划的2倍还多35 m，所以先据此算出实际的工作效率；再把总长度1500m和实际效率代入公式，就能列出对应的代数式。
【解析】
第一步：计算实际每天修路的长度
原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路$\boldsymbol{(2x+35)}$ m。
第二步：根据工程问题公式计算实际用时
工作时间=工作总量÷工作效率，已知工作总量为1500 m，实际工作效率为$(2x+35)$ m/天，
因此实际用时为：$1500÷(2x+35)=\frac{1500}{2x+35}$（天）。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
列代数式；工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础的代数式应用类题目，核心是准确理解题干中量与量的关系，正确表示出实际工作效率，再代入对应的数量关系列式即可，注意结果要写成分式形式，符合代数式的书写规范。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，首先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。我们第一步需要先求出实际每天修路的长度（即实际工作效率），再用道路总长度除以实际工作效率，就能得到实际修路所用的天数。首先，已知原计划每天修x m，题目明确实际每天修的长度比原计划的2倍还多35 m，所以先据此算出实际的工作效率；再把总长度1500m和实际效率代入公式，就能列出对应的代数式。
【解析】
第一步：计算实际每天修路的长度
原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路$\boldsymbol{(2x+35)}$ m。
第二步：根据工程问题公式计算实际用时
工作时间=工作总量÷工作效率，已知工作总量为1500 m，实际工作效率为$(2x+35)$ m/天，
因此实际用时为：$1500÷(2x+35)=\frac{1500}{2x+35}$（天）。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
列代数式；工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础的代数式应用类题目，核心是准确理解题干中量与量的关系，正确表示出实际工作效率，再代入对应的数量关系列式即可，注意结果要写成分式形式，符合代数式的书写规范。
【难度系数】
0.85
5.已知分式$\frac{3x+4}{2x-3}$.
（1）当x取什么值时，分式无意义？
（2）当x取什么值时，分式有意义？
（1）当x取什么值时，分式无意义？
（2）当x取什么值时，分式有意义？
答案
解 由$2x-3=0$,得$x=\frac{3}{2}$。
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
解析
【分析】
要解决分式有无意义的问题，首先要牢记分式的性质：分式的分母等于0时，分式无意义；分式的分母不等于0时，分式有意义。本题中分式的分母为$2x-3$，解题思路如下：第一步先令分母等于0，解一元一次方程求出对应的x值，该值就是使分式无意义的x取值；分母不为0对应的x取值就是使分式有意义的范围。
【解析】
首先求解分母为0时的x值：
令$2x-3=0$，移项得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
(1) 根据分式无意义的判定规则，分母为0时分式无意义，因此当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2) 根据分式有意义的判定规则，分母不为0时分式有意义，因此当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.分式无意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式有无意义的判定规则，解题关键是牢记分母的取值限制，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
要解决分式有无意义的问题，首先要牢记分式的性质：分式的分母等于0时，分式无意义；分式的分母不等于0时，分式有意义。本题中分式的分母为$2x-3$，解题思路如下：第一步先令分母等于0，解一元一次方程求出对应的x值，该值就是使分式无意义的x取值；分母不为0对应的x取值就是使分式有意义的范围。
【解析】
首先求解分母为0时的x值：
令$2x-3=0$，移项得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
(1) 根据分式无意义的判定规则，分母为0时分式无意义，因此当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2) 根据分式有意义的判定规则，分母不为0时分式有意义，因此当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
1.分式有意义的条件 2.分式无意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查分式有无意义的判定规则，解题关键是牢记分母的取值限制，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
6. (1)若分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
答案
6. 解 (1)由题意可知 $x^2+3$ 与 $4x+9$ 同号,而 $x^2+3＞0$,所以 $4x+9＞0$,解得$x＞-\frac{9}{4}$。
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$。
综上,x的取值范围为$-3＜x＜2$。
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$。
综上,x的取值范围为$-3＜x＜2$。
解析
【分析】
解决这类分式值正负性的问题，核心依据是有理数除法的符号法则：同号得正，异号得负。(1)先观察分子的特征，x²是非负数，所以x²+3恒大于0，因此要让分式值为正，只需要保证分母为正即可，直接列不等式求解。(2)分式值为负说明分子分母异号，需要分“分子正、分母负”和“分子负、分母正”两种情况列不等式组，分别求解后取有效解集即可。
【解析】
(1)
∵对任意实数x，都有$x^2≥0$，
∴$x^2+3≥3＞0$，
要使分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，需分母$4x+9＞0$，
解不等式得：$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 要使分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，需分子、分母异号，分两种情况讨论：
① 列不等式组$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0 \end{cases}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，该不等式组无公共解，即无解；
② 列不等式组$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0 \end{cases}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，解集为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\frac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
1.分式值的符号判定
2.解一元一次不等式组
3.平方的非负性
【点评】
本题考查分式值的符号相关计算，解题时先利用有理数除法的符号规则将分式问题转化为不等式（组）问题，若分子或分母存在恒正/恒负的式子可简化计算，解不等式组后要注意验证是否符合分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
解决这类分式值正负性的问题，核心依据是有理数除法的符号法则：同号得正，异号得负。(1)先观察分子的特征，x²是非负数，所以x²+3恒大于0，因此要让分式值为正，只需要保证分母为正即可，直接列不等式求解。(2)分式值为负说明分子分母异号，需要分“分子正、分母负”和“分子负、分母正”两种情况列不等式组，分别求解后取有效解集即可。
【解析】
(1)
∵对任意实数x，都有$x^2≥0$，
∴$x^2+3≥3＞0$，
要使分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，需分母$4x+9＞0$，
解不等式得：$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 要使分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，需分子、分母异号，分两种情况讨论：
① 列不等式组$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0 \end{cases}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，该不等式组无公共解，即无解；
② 列不等式组$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0 \end{cases}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，解集为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\frac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
1.分式值的符号判定
2.解一元一次不等式组
3.平方的非负性
【点评】
本题考查分式值的符号相关计算，解题时先利用有理数除法的符号规则将分式问题转化为不等式（组）问题，若分子或分母存在恒正/恒负的式子可简化计算，解不等式组后要注意验证是否符合分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
7.若无论 $ x $ 取何值，分式 $\frac{2}{x^2 + x - m}$ 总有意义，则 $ m $ 应满足什么条件？
答案
解 要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$总有意义，
则 $x^2+x-m≠0$,即 $x^2+x≠m$，
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$，
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$，
则有 $m+\frac{1}{4}＜0$，
解得 $m＜-\frac{1}{4}$。
则 $x^2+x-m≠0$,即 $x^2+x≠m$，
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$，
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$，
则有 $m+\frac{1}{4}＜0$，
解得 $m＜-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确分式总有意义的核心条件是分母恒不为0，即无论x取何值，$x^2 + x - m$都不能等于0。我们可以通过配方法把二次多项式$x^2+x$转化为完全平方的形式，再利用平方数恒大于等于0的性质推导m的取值：先对二次项配方变形，再根据“平方不可能等于负数”的特点，即可得到m需要满足的不等关系。
【解析】
解：要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$无论x取何值都有意义，需保证分母恒不为0，即：
$x^2 + x - m ≠ 0$对任意实数x成立，
移项得$x^2 + x ≠ m$，
对左边配方，等式两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} ≠ m + \frac{1}{4}$，
即$(x + \frac{1}{2})^2 ≠ m + \frac{1}{4}$。
因为$(x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$对任意实数x恒成立，要让上述不等式对所有x都成立，只需$m + \frac{1}{4} ＜ 0$（此时左边最小为0，右边小于0，二者永远不可能相等），即：
$m + \frac{1}{4} ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
【答案】
$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；平方的非负性
【点评】
本题是分式性质与代数式变形结合的典型题，解题核心是将“分母恒不为0”的条件转化为完全平方与常数的不等关系，需要熟练掌握配方法的操作和平方非负性的应用，注意避免出现不等号方向错误或漏考虑等号的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确分式总有意义的核心条件是分母恒不为0，即无论x取何值，$x^2 + x - m$都不能等于0。我们可以通过配方法把二次多项式$x^2+x$转化为完全平方的形式，再利用平方数恒大于等于0的性质推导m的取值：先对二次项配方变形，再根据“平方不可能等于负数”的特点，即可得到m需要满足的不等关系。
【解析】
解：要使分式$\frac{2}{x^2 + x - m}$无论x取何值都有意义，需保证分母恒不为0，即：
$x^2 + x - m ≠ 0$对任意实数x成立，
移项得$x^2 + x ≠ m$，
对左边配方，等式两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \frac{1}{4} ≠ m + \frac{1}{4}$，
即$(x + \frac{1}{2})^2 ≠ m + \frac{1}{4}$。
因为$(x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$对任意实数x恒成立，要让上述不等式对所有x都成立，只需$m + \frac{1}{4} ＜ 0$（此时左边最小为0，右边小于0，二者永远不可能相等），即：
$m + \frac{1}{4} ＜ 0$，
解得$m ＜ -\frac{1}{4}$。
【答案】
$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；平方的非负性
【点评】
本题是分式性质与代数式变形结合的典型题，解题核心是将“分母恒不为0”的条件转化为完全平方与常数的不等关系，需要熟练掌握配方法的操作和平方非负性的应用，注意避免出现不等号方向错误或漏考虑等号的情况。
【难度系数】
0.6
