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典例1 把下列各式分解因式：
(1)$3x^2y - 6xy$；
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2$；
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m$。
(1)$3x^2y - 6xy$；
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2$；
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m$。
答案
(1) $3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2)$.
(2) $5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3) $-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
(2) $5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3) $-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
解析
【分析】
这三道题均用提公因式法分解因式，解题思考步骤如下：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；②如果多项式首项系数为负，要先提取负号，使括号内首项系数为正；③用多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式。
对应各小题思路：(1)系数3和6的最大公约数是3，相同字母x最低次为x，y最低次为y，公因式为3xy，提取后剩余因式为x-2；(2)系数5和25的最大公约数是5，相同字母x最低次为x²，y最低次为y²，公因式为5x²y²，提取后剩余因式为y-5x；(3)首项系数为负，先提负号，系数4、16、26的最大公约数是2，相同字母m最低次为m，公因式为-2m，提取后剩余因式为2m²-8m+13。
【解析】
(1) 确定公因式为$3xy$，拆分每一项提取公因式：
$3x^2y - 6xy = 3xy · x - 3xy · 2 = 3xy(x - 2)$
(2) 确定公因式为$5x^2y^2$，拆分每一项提取公因式：
$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2 · y - 5x^2y^2 · 5x = 5x^2y^2(y - 5x)$
(3) 首项系数为负，先提取负号，确定公因式为$-2m$，拆分每一项提取公因式：
$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m · 2m^2 + (-2m) · (-8m) + (-2m) · 13 = -2m(2m^2 - 8m + 13)$
【答案】
(1) $3xy(x - 2)$
(2) $5x^2y^2(y - 5x)$
(3) $-2m(2m^2 - 8m + 13)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定 3.负号提取规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时要准确确定公因式，注意首项为负时优先提取负号，提取公因式后可通过整式乘法检验结果是否正确，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.85
这三道题均用提公因式法分解因式，解题思考步骤如下：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；②如果多项式首项系数为负，要先提取负号，使括号内首项系数为正；③用多项式的每一项除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，最终写成公因式乘括号内多项式的形式。
对应各小题思路：(1)系数3和6的最大公约数是3，相同字母x最低次为x，y最低次为y，公因式为3xy，提取后剩余因式为x-2；(2)系数5和25的最大公约数是5，相同字母x最低次为x²，y最低次为y²，公因式为5x²y²，提取后剩余因式为y-5x；(3)首项系数为负，先提负号，系数4、16、26的最大公约数是2，相同字母m最低次为m，公因式为-2m，提取后剩余因式为2m²-8m+13。
【解析】
(1) 确定公因式为$3xy$，拆分每一项提取公因式：
$3x^2y - 6xy = 3xy · x - 3xy · 2 = 3xy(x - 2)$
(2) 确定公因式为$5x^2y^2$，拆分每一项提取公因式：
$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2 · y - 5x^2y^2 · 5x = 5x^2y^2(y - 5x)$
(3) 首项系数为负，先提取负号，确定公因式为$-2m$，拆分每一项提取公因式：
$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m · 2m^2 + (-2m) · (-8m) + (-2m) · 13 = -2m(2m^2 - 8m + 13)$
【答案】
(1) $3xy(x - 2)$
(2) $5x^2y^2(y - 5x)$
(3) $-2m(2m^2 - 8m + 13)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定 3.负号提取规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题时要准确确定公因式，注意首项为负时优先提取负号，提取公因式后可通过整式乘法检验结果是否正确，避免漏项或符号错误。
【难度系数】
0.85
举一反三 把下列各式分解因式：
(1)$-20a - 15ax$；
(2)$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$；
(3)$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$。
(1)$-20a - 15ax$；
(2)$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$；
(3)$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$。
答案
(1) $-20a - 15ax = -5a(4+3x)$.
(2) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab · (2a^2b^2 - 3a + 1)$.
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$.
(2) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab · (2a^2b^2 - 3a + 1)$.
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$.
解析
【分析】
这三道题均为因式分解基础题，观察可知多项式各项均含有公因式且首项系数为负，采用提公因式法求解即可，解题思路如下：①先确定公因式：首先提取负号保证括号内首项系数为正，再找各项系数的最大公约数，同时提取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式；②用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果放在括号内，注意不要漏写常数项。
【解析】
(1) 多项式$-20a - 15ax$的公因式为$-5a$，提取公因式：
$-20a - 15ax = -5a×4 + (-5a)×3x = -5a(4+3x)$
(2) 多项式$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$的公因式为$-2ab$，提取公因式：
$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab×2a^2b^2 + (-2ab)×(-3a) + (-2ab)×1 = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(3) 多项式$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$的公因式为$-5bc$，提取公因式：
$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc×2a^2 + (-5bc)×(-3c) + (-5bc)×4ab = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
【答案】
(1) $-5a(4+3x)$
(2) $-2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(3) $-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题时需注意首项系数为负时要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项数是否与原多项式一致，避免漏项，同时确保括号内没有可继续提取的公因式。
【难度系数】
0.85
这三道题均为因式分解基础题，观察可知多项式各项均含有公因式且首项系数为负，采用提公因式法求解即可，解题思路如下：①先确定公因式：首先提取负号保证括号内首项系数为正，再找各项系数的最大公约数，同时提取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者组合即为公因式；②用原多项式的每一项除以公因式，将得到的结果放在括号内，注意不要漏写常数项。
【解析】
(1) 多项式$-20a - 15ax$的公因式为$-5a$，提取公因式：
$-20a - 15ax = -5a×4 + (-5a)×3x = -5a(4+3x)$
(2) 多项式$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$的公因式为$-2ab$，提取公因式：
$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab = -2ab×2a^2b^2 + (-2ab)×(-3a) + (-2ab)×1 = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(3) 多项式$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$的公因式为$-5bc$，提取公因式：
$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c = -5bc×2a^2 + (-5bc)×(-3c) + (-5bc)×4ab = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
【答案】
(1) $-5a(4+3x)$
(2) $-2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(3) $-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题时需注意首项系数为负时要先提取负号，提取公因式后要检查括号内的项数是否与原多项式一致，避免漏项，同时确保括号内没有可继续提取的公因式。
【难度系数】
0.85
典例1
解 (1)$3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2)$.
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
典例2
解 (1)$(x - y)^3 - 3z(y - x)^2$
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2)$a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
2. 公因式为多项式的因式分解
解 (1)$3x^2y - 6xy = 3xy(x - 2)$.
(2)$5x^2y^3 - 25x^3y^2 = 5x^2y^2(y - 5x)$.
(3)$-4m^3 + 16m^2 - 26m = -2m(2m^2 - 8m + 13)$.
典例2
解 (1)$(x - y)^3 - 3z(y - x)^2$
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2)$a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
2. 公因式为多项式的因式分解
答案
解：
(2) $a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
$=a(a - b - c) - b(a - b - c) - c(a - b - c)$
$=(a - b - c)(a - b - c)$
$=(a - b - c)^2$
(2) $a(a - b - c) + b(b + c - a) + c(c - a + b)$
$=a(a - b - c) - b(a - b - c) - c(a - b - c)$
$=(a - b - c)(a - b - c)$
$=(a - b - c)^2$
解析
【分析】
本题是公因式为多项式的因式分解题，解题思路如下：首先观察原式各项的括号式，发现后两项的括号内式子与第一项的$a-b-c$互为相反数，可通过提取负号将后两项变形为含$a-b-c$的形式，统一公因式；再提取多项式公因式$a-b-c$，合并剩余项后整理为最简因式形式即可。解题时需重点注意代数式变形过程中的符号变化，避免符号错误。
【解析】
先对后两项的括号做符号变形：
因为$b + c - a = -(a - b - c)$，$c - a + b = -(a - b - c)$，
所以原式可改写为：
$a(a - b - c) - b(a - b - c) - c(a - b - c)$
提取公因式$(a - b - c)$得：
$=(a - b - c)(a - b - c)$
整理后得：
$=(a - b - c)^2$
【答案】
$(a - b - c)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、多项式公因式提取、代数式符号变换
【点评】
本题是提公因式法因式分解的典型题型，解题关键是识别出隐藏的多项式公因式，通过调整符号统一公因式时要注意符号运算的准确性，提取公因式后需确认因式已经分解彻底。
【难度系数】
0.7
本题是公因式为多项式的因式分解题，解题思路如下：首先观察原式各项的括号式，发现后两项的括号内式子与第一项的$a-b-c$互为相反数，可通过提取负号将后两项变形为含$a-b-c$的形式，统一公因式；再提取多项式公因式$a-b-c$，合并剩余项后整理为最简因式形式即可。解题时需重点注意代数式变形过程中的符号变化，避免符号错误。
【解析】
先对后两项的括号做符号变形：
因为$b + c - a = -(a - b - c)$，$c - a + b = -(a - b - c)$，
所以原式可改写为：
$a(a - b - c) - b(a - b - c) - c(a - b - c)$
提取公因式$(a - b - c)$得：
$=(a - b - c)(a - b - c)$
整理后得：
$=(a - b - c)^2$
【答案】
$(a - b - c)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、多项式公因式提取、代数式符号变换
【点评】
本题是提公因式法因式分解的典型题型，解题关键是识别出隐藏的多项式公因式，通过调整符号统一公因式时要注意符号运算的准确性，提取公因式后需确认因式已经分解彻底。
【难度系数】
0.7
典例2 把下列各式分解因式：
(1)$(x-y)^3 - 3z(y-x)^2$；
(2)$a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)$；
(3)$m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)$。
(1)$(x-y)^3 - 3z(y-x)^2$；
(2)$a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)$；
(3)$m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)$。
答案
(1) $(x - y)^3 - 3z(y - x)^2$
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2) $a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)$
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$.
(3) $m(5ax + ay - 1) - m(3ax - ay - 1)$
$=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]$
$=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)$
$=m(2ax + 2ay)$
$=2am(x + y)$.
$=(x - y)^3 - 3z(x - y)^2$
$=(x - y)^2(x - y - 3z)$.
(2) $a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)$
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$.
(3) $m(5ax + ay - 1) - m(3ax - ay - 1)$
$=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]$
$=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)$
$=m(2ax + 2ay)$
$=2am(x + y)$.
解析
【分析】
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：
1. 先观察式子特征，判断是否存在公因式：若出现互为相反数的因式，先利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质统一因式形式，方便提取公因式；
2. 确定公因式后，将公因式整体提出，对剩余部分合并同类项化简；
3. 最后检查化简后的式子是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式$(x-y)^2$：
$\begin{aligned}(x-y)^3 - 3z(y-x)^2&=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2\\&=(x-y)^2(x - y - 3z)\end{aligned}$
(2) 先将后两项括号内的式子变形为与第一项括号内一致的形式，再提取公因式$(a-b-c)$：
$\begin{aligned}a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)&=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$m$，再去括号合并同类项，最后对剩余部分继续提取公因式直到不能分解：
$\begin{aligned}m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)&=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]\\&=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)\\&=m(2ax + 2ay)\\&=2am(x + y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)^2(x-y-3z)}$
(2) $\boldsymbol{(a-b-c)^2}$
(3) $\boldsymbol{2am(x+y)}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 代数式符号变形
3. 合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，核心考查提公因式法的灵活运用，解题时需注意：一是遇到互为相反数的因式时要准确转换符号，避免符号错误；二是提取公因式后要对剩余部分化简，且需分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：
1. 先观察式子特征，判断是否存在公因式：若出现互为相反数的因式，先利用“互为相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的性质统一因式形式，方便提取公因式；
2. 确定公因式后，将公因式整体提出，对剩余部分合并同类项化简；
3. 最后检查化简后的式子是否还能继续分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，再提取公因式$(x-y)^2$：
$\begin{aligned}(x-y)^3 - 3z(y-x)^2&=(x-y)^3 - 3z(x-y)^2\\&=(x-y)^2(x - y - 3z)\end{aligned}$
(2) 先将后两项括号内的式子变形为与第一项括号内一致的形式，再提取公因式$(a-b-c)$：
$\begin{aligned}a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)&=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)\\&=(a-b-c)(a-b-c)\\&=(a-b-c)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$m$，再去括号合并同类项，最后对剩余部分继续提取公因式直到不能分解：
$\begin{aligned}m(5ax+ay-1)-m(3ax-ay-1)&=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]\\&=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)\\&=m(2ax + 2ay)\\&=2am(x + y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y)^2(x-y-3z)}$
(2) $\boldsymbol{(a-b-c)^2}$
(3) $\boldsymbol{2am(x+y)}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 代数式符号变形
3. 合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，核心考查提公因式法的灵活运用，解题时需注意：一是遇到互为相反数的因式时要准确转换符号，避免符号错误；二是提取公因式后要对剩余部分化简，且需分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
举一反三 把下列各式分解因式：
(1)$2(a-3)^2 - a + 3$；
(2)$3m(x-y) - 2(y-x)^2$；
(3)$18b(a-b)^2 - 12(a-b)^3$。
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$。
(3)$m(5ax + ay - 1) - m(3ax - ay - 1)$
$=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]$
$=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)$
$=m(2ax + 2ay)$
$=2am(x + y)$。
(1)$2(a-3)^2 - a + 3$；
(2)$3m(x-y) - 2(y-x)^2$；
(3)$18b(a-b)^2 - 12(a-b)^3$。
$=a(a-b-c) - b(a-b-c) - c(a-b-c)$
$=(a-b-c)(a-b-c)$
$=(a-b-c)^2$。
(3)$m(5ax + ay - 1) - m(3ax - ay - 1)$
$=m[(5ax + ay - 1) - (3ax - ay - 1)]$
$=m(5ax + ay - 1 - 3ax + ay + 1)$
$=m(2ax + 2ay)$
$=2am(x + y)$。
答案
(1) 原式$=2(a-3)^2 - (a-3) = (a-3)(2a-7)$.
(2) 原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2 = (x-y)(3m - 2x + 2y)$.
(3) 原式$=6(a-b)^2(5b - 2a)$.
(2) 原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2 = (x-y)(3m - 2x + 2y)$.
(3) 原式$=6(a-b)^2(5b - 2a)$.
解析
【分析】
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子中是否存在可转化为相同形式的因式：第(1)题可将后两项$-a+3$变形为$-(a-3)$，第(2)题利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，第(3)题可直接找到相同因式$(a-b)$的幂次；②确定公因式：公因式包含系数的最大公约数和相同因式的最低次幂；③提取公因式，对剩余的整式部分化简整理，确保分解结果最简。
【解析】
(1) 先将原式变形为含公因式$(a-3)$的形式：
原式$=2(a-3)^2 - (a-3)$
提取公因式$(a-3)$，得：
$=(a-3)[2(a-3)-1]$
化简括号内的整式：
$=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7)$
(2) 利用$(y-x)^2=(x-y)^2$变形原式：
原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[3m - 2(x-y)]$
化简括号内的整式：
$=(x-y)(3m - 2x + 2y)$
(3) 先确定公因式：18和12的最大公约数为6，相同因式的最低次幂为$(a-b)^2$，即公因式为$6(a-b)^2$，提取公因式得：
原式$=6(a-b)^2[3b - 2(a-b)]$
化简括号内的整式：
$=6(a-b)^2(3b - 2a + 2b)=6(a-b)^2(5b-2a)$
【答案】
(1) $(a-3)(2a-7)$
(2) $(x-y)(3m - 2x + 2y)$
(3) $6(a-b)^2(5b - 2a)$
【知识点】
提公因式法分解因式，偶次幂的符号性质，整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是能识别出需要变形的隐含公因式，提取公因式后要注意对剩余部分化简，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
这三道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子中是否存在可转化为相同形式的因式：第(1)题可将后两项$-a+3$变形为$-(a-3)$，第(2)题利用偶次幂的性质将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$，第(3)题可直接找到相同因式$(a-b)$的幂次；②确定公因式：公因式包含系数的最大公约数和相同因式的最低次幂；③提取公因式，对剩余的整式部分化简整理，确保分解结果最简。
【解析】
(1) 先将原式变形为含公因式$(a-3)$的形式：
原式$=2(a-3)^2 - (a-3)$
提取公因式$(a-3)$，得：
$=(a-3)[2(a-3)-1]$
化简括号内的整式：
$=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7)$
(2) 利用$(y-x)^2=(x-y)^2$变形原式：
原式$=3m(x-y) - 2(x-y)^2$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[3m - 2(x-y)]$
化简括号内的整式：
$=(x-y)(3m - 2x + 2y)$
(3) 先确定公因式：18和12的最大公约数为6，相同因式的最低次幂为$(a-b)^2$，即公因式为$6(a-b)^2$，提取公因式得：
原式$=6(a-b)^2[3b - 2(a-b)]$
化简括号内的整式：
$=6(a-b)^2(3b - 2a + 2b)=6(a-b)^2(5b-2a)$
【答案】
(1) $(a-3)(2a-7)$
(2) $(x-y)(3m - 2x + 2y)$
(3) $6(a-b)^2(5b - 2a)$
【知识点】
提公因式法分解因式，偶次幂的符号性质，整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是能识别出需要变形的隐含公因式，提取公因式后要注意对剩余部分化简，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
