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典例1 用科学记数法表示下列各数：
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204，
0.000 000 004 06.
规律总结 确定n的方法:对于小于1的正数,n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则n=5,所以$0.000 031 5=3.15×10^{-5}.$
举一反三 用科学记数法表示下列各数:
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
0.000 1,0.000 13,0.000 000 204，
0.000 000 004 06.
规律总结 确定n的方法:对于小于1的正数,n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面的0的个数(包括小数点前的那个0).例如:0.000 031 5这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0,则n=5,所以$0.000 031 5=3.15×10^{-5}.$
举一反三 用科学记数法表示下列各数:
(1)0.003 009；
(2)0.000 010 96；
(3)0.000 329.
答案
$(1) 0.003 009=3.009×10^{-3}$
$(2) 0.000 010 96=1.096×10^{-5}$
$(3) 0.000 329=3.29×10^{-4}$
$(2) 0.000 010 96=1.096×10^{-5}$
$(3) 0.000 329=3.29×10^{-4}$
解析
【分析】
要解决用科学记数法表示小于1的正数的问题，首先牢记表示形式为$a×10^{-n}$，其中要满足两个核心要求：①$1≤ a＜10$；②$n$为正整数。解题时可按两步思考：第一步确定$a$，把原数的小数点向右移动，直到第一个不为0的数字后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，可以数原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），这个数就是$n$的值，也可以数刚才小数点向右移动的位数，移动了几位$n$就是几，最后代入形式即可得到结果。
【解析】
(1) 对于0.003 009，左边第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0（包含小数点前的0），因此$n=3$，调整后符合要求的$a=3.009$，故$0.003 009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对于0.000 010 96，左边第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0（包含小数点前的0），因此$n=5$，调整后符合要求的$a=1.096$，故$0.000 010 96=1.096×10^{-5}$。
(3) 对于0.000 329，左边第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0（包含小数点前的0），因此$n=4$，调整后符合要求的$a=3.29$，故$0.000 329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3.009×10^{-3}$；(2)$1.096×10^{-5}$；(3)$3.29×10^{-4}$
【知识点】
1.科学记数法表示较小正数；2.负整数指数幂
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，解题的核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法，是各类测验的常见基础考点，熟练掌握规则后可以快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决用科学记数法表示小于1的正数的问题，首先牢记表示形式为$a×10^{-n}$，其中要满足两个核心要求：①$1≤ a＜10$；②$n$为正整数。解题时可按两步思考：第一步确定$a$，把原数的小数点向右移动，直到第一个不为0的数字后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$，可以数原数左边第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），这个数就是$n$的值，也可以数刚才小数点向右移动的位数，移动了几位$n$就是几，最后代入形式即可得到结果。
【解析】
(1) 对于0.003 009，左边第一个不为0的数字是3，它前面共有3个0（包含小数点前的0），因此$n=3$，调整后符合要求的$a=3.009$，故$0.003 009=3.009×10^{-3}$。
(2) 对于0.000 010 96，左边第一个不为0的数字是1，它前面共有5个0（包含小数点前的0），因此$n=5$，调整后符合要求的$a=1.096$，故$0.000 010 96=1.096×10^{-5}$。
(3) 对于0.000 329，左边第一个不为0的数字是3，它前面共有4个0（包含小数点前的0），因此$n=4$，调整后符合要求的$a=3.29$，故$0.000 329=3.29×10^{-4}$。
【答案】
(1)$3.009×10^{-3}$；(2)$1.096×10^{-5}$；(3)$3.29×10^{-4}$
【知识点】
1.科学记数法表示较小正数；2.负整数指数幂
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用题型，解题的核心是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法，是各类测验的常见基础考点，熟练掌握规则后可以快速求解。
【难度系数】
0.9
典例2 某杆状细菌长约$2 μm(1 μm=10^{-6} m).$若1 000个该杆状细菌依次连接成一条直线,求连接成的这条直线的长度?(结果用科学记数法表示)
答案
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$。故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先明确总长度的计算逻辑：总长度=单个细菌的长度×细菌个数。解题分为三步：第一步，计算1000个细菌的总长度（以μm为单位）；第二步，根据μm和m的换算关系，将总长度单位换算为m；第三步，将结果整理为符合要求的科学记数法形式（$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数）。
【解析】
首先计算1000个细菌的总微米长度：
单个细菌长$2\ μ m$，1000个的总长度为$1000×2=2000\ μ m$
已知$1\ μ m=10^{-6}\ m$，换算为米单位可得：
$2000\ μ m = 2000×10^{-6}\ m$
将2000改写为$2×10^3$，根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算：
$1000×2×10^{-6}=2×10^3×10^{-6}=2×10^{3-6}=2×10^{-3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂运算；长度单位换算
【点评】
本题是科学记数法在实际场景中的基础应用，解题核心是理清总长度的计算逻辑，熟练掌握单位换算规则和科学记数法的书写规范，计算时注意同底数幂的指数运算规则即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确总长度的计算逻辑：总长度=单个细菌的长度×细菌个数。解题分为三步：第一步，计算1000个细菌的总长度（以μm为单位）；第二步，根据μm和m的换算关系，将总长度单位换算为m；第三步，将结果整理为符合要求的科学记数法形式（$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数）。
【解析】
首先计算1000个细菌的总微米长度：
单个细菌长$2\ μ m$，1000个的总长度为$1000×2=2000\ μ m$
已知$1\ μ m=10^{-6}\ m$，换算为米单位可得：
$2000\ μ m = 2000×10^{-6}\ m$
将2000改写为$2×10^3$，根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算：
$1000×2×10^{-6}=2×10^3×10^{-6}=2×10^{3-6}=2×10^{-3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂运算；长度单位换算
【点评】
本题是科学记数法在实际场景中的基础应用，解题核心是理清总长度的计算逻辑，熟练掌握单位换算规则和科学记数法的书写规范，计算时注意同底数幂的指数运算规则即可。
【难度系数】
0.8
举一反三 钢轨温度每变化1 ℃，每米钢轨就伸缩0.000 011 8 m，如果一年中气温上下相差40 ℃，那么对于100 m长的铁路，最长可伸长多少米？（结果用科学记数法表示）
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$。
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$。
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$。
典例解析
典例1
解 $0.000\ 1=1× 10^{-4}$；
$0.000\ 13=1.3× 10^{-4}$；
$0.000\ 000\ 204=2.04× 10^{-7}$；
$0.000\ 000\ 004\ 06=4.06× 10^{-9}$。
典例2
解 $1\ 000× 2× 10^{-6}=2× 10^{-3}\ (\mathrm{m})$。
故连接成的这条直线的长度为$2× 10^{-3}\ \mathrm{m}$。
答案
解 $100×40×0.000 011 8=0.047 2=4.72×10^{-2}(\mathrm{m})$。故最长可伸长$4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先要理清总伸长量的计算逻辑：总伸长量=钢轨总长度×温度变化差值×每米钢轨每变化1℃的伸缩量。先从题干中提取对应的三个数值，代入列出乘法算式计算出结果，再将结果转化为科学记数法即可，注意绝对值小于1的数用科学记数法表示的规则为$a×10^{-n}$（其中$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前所有零的个数）。
【解析】
根据题意，可列出总伸长量的计算式：
$\begin{aligned}&100×40×0.0000118\\=&4000×0.0000118\\=&0.0472\end{aligned}$
将$0.0472$改写为科学记数法：$0.0472=4.72×10^{-2}$，单位为$\mathrm{m}$。
【答案】
$4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 科学记数法表示较小数
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题核心是梳理清楚各数量的对应关系，正确列出运算式，同时要熟练掌握较小数的科学记数法书写规范，避免负指数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清总伸长量的计算逻辑：总伸长量=钢轨总长度×温度变化差值×每米钢轨每变化1℃的伸缩量。先从题干中提取对应的三个数值，代入列出乘法算式计算出结果，再将结果转化为科学记数法即可，注意绝对值小于1的数用科学记数法表示的规则为$a×10^{-n}$（其中$1≤ a＜10$，$n$为原数左起第一个非零数字前所有零的个数）。
【解析】
根据题意，可列出总伸长量的计算式：
$\begin{aligned}&100×40×0.0000118\\=&4000×0.0000118\\=&0.0472\end{aligned}$
将$0.0472$改写为科学记数法：$0.0472=4.72×10^{-2}$，单位为$\mathrm{m}$。
【答案】
$4.72×10^{-2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 科学记数法表示较小数
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题核心是梳理清楚各数量的对应关系，正确列出运算式，同时要熟练掌握较小数的科学记数法书写规范，避免负指数计算错误。
【难度系数】
0.8
