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10. 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$交$BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$,$F$为$BC$延长线上一点,$FG⊥ AE$且交$AE$的延长线于点$M$,交$AD$的延长线于点$G$,$AC$的延长线交$FG$于点$H$,连接$BG$,现有下列结论:①$∠ DEA=∠ AGH$;②$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ ABD-∠ ACE)$;③$∠ AGH=∠ BAE+∠ ACB$;④$S_{△ AEB}:S_{△ AEC}=AB:AC$.其中正确的结论有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10. D
解析
【分析】
本题需要结合三角形的角平分线、高的性质，以及三角形外角、内角和、面积公式逐一验证4个结论：
1. 验证角度相等类结论，可利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等、三角形外角等于不相邻两内角和的性质推导；
2. 验证面积比结论，利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合三角形面积公式判断即可。
【解析】
已知$AD⊥BC$，故$∠ADE=90°$；$FG⊥AE$，故$∠AMG=90°$；$AE$平分$∠BAC$，故$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$。
逐一分析结论：
1. 对结论①：
在$Rt△ ADE$中，$∠DEA + ∠DAE = 90°$；在$Rt△ AMG$中，$∠AGH + ∠GAM = 90°$，其中$∠DAE$与$∠GAM$为同一个角，根据等角的余角相等，可得$∠DEA=∠AGH$，结论①正确。
2. 对结论②：
$∠DAC = 90° - ∠ACB$（直角三角形两锐角互余），$∠CAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}(180° - ∠ABD - ∠ACB) = 90° - \frac{1}{2}(∠ABD + ∠ACB)$。
则$∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = (90° - ∠ACB) - [90° - \frac{1}{2}(∠ABD + ∠ACB)] = \frac{1}{2}(∠ABD - ∠ACB)$，而$∠ACB$即$∠ACE$，故$∠DAE=\frac{1}{2}(∠ABD - ∠ACE)$，结论②正确。
3. 对结论③：
由①知$∠AGH=∠DEA$，又$∠DEA$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，$∠DEA=∠CAE + ∠ACB$，结合$∠CAE=∠BAE$，可得$∠DEA=∠BAE + ∠ACB$，故$∠AGH=∠BAE + ∠ACB$，结论③正确。
4. 对结论④：
$AE$是$∠BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，点$E$到$AB$、$AC$的距离相等，设该距离为$h$。
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}AB·h$，$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AC·h$，故$S_{△ AEB}:S_{△ AEC}=AB:AC$，结论④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握三角形中角度推导和面积计算的相关性质，逐一验证每个结论，能很好地考查逻辑推理能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
本题需要结合三角形的角平分线、高的性质，以及三角形外角、内角和、面积公式逐一验证4个结论：
1. 验证角度相等类结论，可利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等、三角形外角等于不相邻两内角和的性质推导；
2. 验证面积比结论，利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合三角形面积公式判断即可。
【解析】
已知$AD⊥BC$，故$∠ADE=90°$；$FG⊥AE$，故$∠AMG=90°$；$AE$平分$∠BAC$，故$∠BAE=∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC$。
逐一分析结论：
1. 对结论①：
在$Rt△ ADE$中，$∠DEA + ∠DAE = 90°$；在$Rt△ AMG$中，$∠AGH + ∠GAM = 90°$，其中$∠DAE$与$∠GAM$为同一个角，根据等角的余角相等，可得$∠DEA=∠AGH$，结论①正确。
2. 对结论②：
$∠DAC = 90° - ∠ACB$（直角三角形两锐角互余），$∠CAE = \frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}(180° - ∠ABD - ∠ACB) = 90° - \frac{1}{2}(∠ABD + ∠ACB)$。
则$∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = (90° - ∠ACB) - [90° - \frac{1}{2}(∠ABD + ∠ACB)] = \frac{1}{2}(∠ABD - ∠ACB)$，而$∠ACB$即$∠ACE$，故$∠DAE=\frac{1}{2}(∠ABD - ∠ACE)$，结论②正确。
3. 对结论③：
由①知$∠AGH=∠DEA$，又$∠DEA$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，$∠DEA=∠CAE + ∠ACB$，结合$∠CAE=∠BAE$，可得$∠DEA=∠BAE + ∠ACB$，故$∠AGH=∠BAE + ∠ACB$，结论③正确。
4. 对结论④：
$AE$是$∠BAC$的角平分线，根据角平分线的性质，点$E$到$AB$、$AC$的距离相等，设该距离为$h$。
则$S_{△ AEB}=\frac{1}{2}AB·h$，$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}AC·h$，故$S_{△ AEB}:S_{△ AEC}=AB:AC$，结论④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，需要熟练掌握三角形中角度推导和面积计算的相关性质，逐一验证每个结论，能很好地考查逻辑推理能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.6
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 点$P(-2a,a-1)$关于x轴对称的点为
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 点$P(-2a,a-1)$关于x轴对称的点为
(-2a,1-a)
。答案
11. (-2a,1-a)
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来先确定原点点P的横坐标为-2a，纵坐标为a-1，将纵坐标取相反数后化简，即可得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(-2a,a-1)$，则其关于x轴对称的点的横坐标与P点相同，为$-2a$；
纵坐标为$a-1$的相反数，即$-(a-1)=1-a$。
因此点P关于x轴对称的点的坐标为$(-2a,1-a)$。
【答案】
$(-2a,1-a)$
【知识点】
1. 关于x轴对称的坐标特征
2. 去括号法则
【点评】
本题是基础类题目，重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，解题的核心是牢记x轴、y轴对称对应的坐标变化特点，计算相反数时注意去括号的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来先确定原点点P的横坐标为-2a，纵坐标为a-1，将纵坐标取相反数后化简，即可得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(-2a,a-1)$，则其关于x轴对称的点的横坐标与P点相同，为$-2a$；
纵坐标为$a-1$的相反数，即$-(a-1)=1-a$。
因此点P关于x轴对称的点的坐标为$(-2a,1-a)$。
【答案】
$(-2a,1-a)$
【知识点】
1. 关于x轴对称的坐标特征
2. 去括号法则
【点评】
本题是基础类题目，重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律，解题的核心是牢记x轴、y轴对称对应的坐标变化特点，计算相反数时注意去括号的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
12.计算：$x^3y^4÷ xy^3=$
$x^2y$
.答案
12. $x^2y$
解析
【分析】
这道题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是依据单项式除法法则分步计算：首先计算系数的商，再分别计算同底数幂的商，最后将各部分结果相乘即可。解题时要用到同底数幂除法“底数不变，指数相减”的规则，按步骤运算就能得到正确结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 系数部分：两个单项式的系数均为1，因此$1÷1=1$；
2. 含$x$的幂运算：同底数幂相除，底数不变指数相减，即$x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$；
3. 含$y$的幂运算：同理可得$y^4÷ y^3=y^{4-3}=y$；
4. 将各部分结果相乘，得到$1× x^2× y=x^2y$。
【答案】
$x^2y$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，主要考察单项式除法的基本运算规则，只要熟练掌握同底数幂的除法性质，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是依据单项式除法法则分步计算：首先计算系数的商，再分别计算同底数幂的商，最后将各部分结果相乘即可。解题时要用到同底数幂除法“底数不变，指数相减”的规则，按步骤运算就能得到正确结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
1. 系数部分：两个单项式的系数均为1，因此$1÷1=1$；
2. 含$x$的幂运算：同底数幂相除，底数不变指数相减，即$x^3÷ x=x^{3-1}=x^2$；
3. 含$y$的幂运算：同理可得$y^4÷ y^3=y^{4-3}=y$；
4. 将各部分结果相乘，得到$1× x^2× y=x^2y$。
【答案】
$x^2y$
【知识点】
单项式除以单项式、同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，主要考察单项式除法的基本运算规则，只要熟练掌握同底数幂的除法性质，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.9
13.若$x+y=7$，则$\frac{x^2+y^2}{2}+xy=$
$\frac{49}{2}$
.答案
13. $\frac{49}{2}$
解析
【分析】
首先观察已知条件给出的是$x+y$的整体值，所求代数式包含$x^2$、$y^2$和$xy$，可联想到完全平方公式的结构特征。解题时先对所求代数式进行通分化简，将其变形为含有$(x+y)$的形式，再整体代入已知的$x+y=7$计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2+y^2}{2}+xy&=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{2xy}{2}\\&=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\\\end{aligned}$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此：
$\frac{x^2+2xy+y^2}{2}=\frac{(x+y)^2}{2}$
将$x+y=7$代入上式：
$\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{7^2}{2}=\frac{49}{2}$
【答案】
$\frac{49}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题核心是考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是能对所求代数式进行合理变形，利用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件给出的是$x+y$的整体值，所求代数式包含$x^2$、$y^2$和$xy$，可联想到完全平方公式的结构特征。解题时先对所求代数式进行通分化简，将其变形为含有$(x+y)$的形式，再整体代入已知的$x+y=7$计算即可，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2+y^2}{2}+xy&=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{2xy}{2}\\&=\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\\\end{aligned}$
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此：
$\frac{x^2+2xy+y^2}{2}=\frac{(x+y)^2}{2}$
将$x+y=7$代入上式：
$\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{7^2}{2}=\frac{49}{2}$
【答案】
$\frac{49}{2}$
【知识点】
完全平方公式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题核心是考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是能对所求代数式进行合理变形，利用整体代入的思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
14. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式
第14小题图
第15小题图
$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$
。第14小题图
第15小题图
答案
14. $a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确剪裁拼接前后阴影部分的面积保持不变，因此我们只需要分别计算两个图形中阴影部分的面积，再令两个面积相等，就能得到对应的验证公式。第一步先计算正方形中阴影的面积，用大正方形面积减去小正方形面积即可；第二步计算拼接后梯形的面积，先确定梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式化简；最后联立两个面积表达式即可得到结论。
【解析】
1. 计算左图阴影部分面积：
左图是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=\mathrm{边长}^2$，可得：
$S_1 = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{小正方形}} = a^2 - b^2$
2. 计算右图拼接后梯形的面积：
观察拼接后的梯形，上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a - b$，根据梯形面积公式$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，可得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b) = (a + b)(a - b)$
3. 由于剪裁拼接前后阴影面积相等，即$S_1 = S_2$，因此可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【答案】
$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式，正方形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的等积变形验证代数公式，渗透了数形结合的思想，解题的关键是准确确定拼接后梯形的各部分长度，熟练掌握常见平面图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确剪裁拼接前后阴影部分的面积保持不变，因此我们只需要分别计算两个图形中阴影部分的面积，再令两个面积相等，就能得到对应的验证公式。第一步先计算正方形中阴影的面积，用大正方形面积减去小正方形面积即可；第二步计算拼接后梯形的面积，先确定梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式化简；最后联立两个面积表达式即可得到结论。
【解析】
1. 计算左图阴影部分面积：
左图是边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=\mathrm{边长}^2$，可得：
$S_1 = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{小正方形}} = a^2 - b^2$
2. 计算右图拼接后梯形的面积：
观察拼接后的梯形，上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a - b$，根据梯形面积公式$S_{\mathrm{梯形}}=\frac{1}{2}×(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}$，可得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b) = (a + b)(a - b)$
3. 由于剪裁拼接前后阴影面积相等，即$S_1 = S_2$，因此可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【答案】
$a^2 - b^2 =(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式，正方形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的等积变形验证代数公式，渗透了数形结合的思想，解题的关键是准确确定拼接后梯形的各部分长度，熟练掌握常见平面图形的面积公式。
【难度系数】
0.8
15. 如图，有一架梯子斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，在墙角点O处有一只猫紧紧盯住位于梯子AB正中间点P处的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉。把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙面向下滑，梯子B端沿地面向右滑。在滑动过程中，猫与老鼠的距离将
不变
（填“变大”“变小”或“不变”）。答案
15. 不变
解析
【分析】
解题时先梳理题中的不变量：①墙与地面始终垂直，即△AOB始终是直角三角形；②梯子的总长度AB在滑动过程中不会发生变化；③点P始终是AB的中点。结合学过的直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可推导出OP的长度变化规律。
【解析】
解：
∵ON⊥OM，
∴∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵P为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：OP = $\frac{1}{2}$AB。
∵梯子滑动过程中AB的长度保持不变，
∴$\frac{1}{2}$AB为定值，即OP的长度不变。
∴在滑动过程中，猫与老鼠的距离不变。
【答案】
不变
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何问题，解题的核心是抓住滑动过程中的不变量，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，能很好地考查学生对几何性质的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题中的不变量：①墙与地面始终垂直，即△AOB始终是直角三角形；②梯子的总长度AB在滑动过程中不会发生变化；③点P始终是AB的中点。结合学过的直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可推导出OP的长度变化规律。
【解析】
解：
∵ON⊥OM，
∴∠AOB=90°，即△AOB始终为直角三角形。
∵P为斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：OP = $\frac{1}{2}$AB。
∵梯子滑动过程中AB的长度保持不变，
∴$\frac{1}{2}$AB为定值，即OP的长度不变。
∴在滑动过程中，猫与老鼠的距离不变。
【答案】
不变
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何问题，解题的核心是抓住滑动过程中的不变量，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，能很好地考查学生对几何性质的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)下面是小红化简$(3x-2)^2 -2x(4x-5)$的过程:
解:$(3x-2)^2 -2x(4x-5)$
$=(9x^2 -4)-(8x^2 -10x)$……第一步
$=9x^2 -4 -8x^2 +10x$……第二步
$=x^2 +10x -4$……第三步
小明认为小红的化简过程出现了错误.
(1)小红在第
(2)请写出正确的化简过程,并计算当$x=-2$时原式的值.
16.(6分)下面是小红化简$(3x-2)^2 -2x(4x-5)$的过程:
解:$(3x-2)^2 -2x(4x-5)$
$=(9x^2 -4)-(8x^2 -10x)$……第一步
$=9x^2 -4 -8x^2 +10x$……第二步
$=x^2 +10x -4$……第三步
小明认为小红的化简过程出现了错误.
(1)小红在第
一
步出现错误；(2)请写出正确的化简过程,并计算当$x=-2$时原式的值.
答案
16. (1)根据完全平方公式, $(3x - 2)^2 =9x^2 -12x+4$,小红展开结果错误,因此小红在第一步出现错误;
(2)化简式子,得$x^2 -2x+4$,
将$x=-2$代入化简后的式子:
原式$= ( - 2)^2 -2×(-2)+4$
$=4+4+4$
$=12.$
(2)化简式子,得$x^2 -2x+4$,
将$x=-2$代入化简后的式子:
原式$= ( - 2)^2 -2×(-2)+4$
$=4+4+4$
$=12.$
解析
【分析】
本题考查整式的化简与求值，解题思路如下：1. 第一问判断错误步骤：回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比小红第一步对$(3x-2)^2$的展开结果，可发现其漏了交叉项且常数项符号错误，即可确定出错步骤；2. 第二问先按整式运算法则正确化简：先利用完全平方公式展开平方项，再利用单项式乘多项式法则计算乘法项，随后去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$x=-2$代入最简式计算即可得到对应值。
【解析】
(1) 完全平方公式展开$(3x-2)^2$应为$9x^2-12x+4$，小红第一步展开为$9x^2-4$，明显错误，故小红在第一步出现错误。
(2) 正确化简过程如下：
$\begin{aligned}(3x-2)^2 -2x(4x-5)&=9x^2-12x+4-(8x^2-10x)\\&=9x^2-12x+4-8x^2+10x\\&=x^2-2x+4\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 -2×(-2)+4\\&=4+4+4\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；(2) 化简结果为$x^2-2x+4$，当$x=-2$时原式的值为12。
【知识点】
完全平方公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，易错点在于完全平方公式展开时漏项、去括号时符号出错，熟练掌握整式运算的各项法则是正确解题的关键，这类题型也是整式运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的化简与求值，解题思路如下：1. 第一问判断错误步骤：回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对比小红第一步对$(3x-2)^2$的展开结果，可发现其漏了交叉项且常数项符号错误，即可确定出错步骤；2. 第二问先按整式运算法则正确化简：先利用完全平方公式展开平方项，再利用单项式乘多项式法则计算乘法项，随后去括号、合并同类项得到最简结果，最后将$x=-2$代入最简式计算即可得到对应值。
【解析】
(1) 完全平方公式展开$(3x-2)^2$应为$9x^2-12x+4$，小红第一步展开为$9x^2-4$，明显错误，故小红在第一步出现错误。
(2) 正确化简过程如下：
$\begin{aligned}(3x-2)^2 -2x(4x-5)&=9x^2-12x+4-(8x^2-10x)\\&=9x^2-12x+4-8x^2+10x\\&=x^2-2x+4\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(-2)^2 -2×(-2)+4\\&=4+4+4\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) 一；(2) 化简结果为$x^2-2x+4$，当$x=-2$时原式的值为12。
【知识点】
完全平方公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，易错点在于完全平方公式展开时漏项、去括号时符号出错，熟练掌握整式运算的各项法则是正确解题的关键，这类题型也是整式运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
