17.(6分)先化简,再求值:
$(3x^2y - 2xy^2) - (xy^2 - 2x^2y)$,其中$x=-1,y=2$.

17. 解:$(3x^2 y-2xy^2)-(xy^2 -2x^2 y)$
$=3x^2 y-2xy^2 - xy^2 +2x^2 y$
$=5x^2 y-3xy^2 .$
当$x=-1,y=2$时,
原式$=5×( - 1)^2 ×2-3×(-1)×2^2$
$=10+12$
$=22.$

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先根据去括号法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；再根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，得到最简整式。第二步代入求值，将x、y的取值代入化简后的整式计算，计算时注意负数的乘方、乘法的符号规则，避免运算错误。先化简再求值可以有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式去括号：
$(3x^2 y-2xy^2)-(xy^2 -2x^2 y)$
$=3x^2 y-2xy^2 - xy^2 +2x^2 y$
再合并同类项：
$=5x^2 y-3xy^2$
将$x=-1,y=2$代入化简后的式子：
原式$=5×( - 1)^2 ×2-3×(-1)×2^2$
$=5×1×2 - 3×(-1)×4$
$=10+12$
$=22$
【答案】
22
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查整式加减的运算能力，解题的易错点是去括号时的符号处理、代入求值时负数乘方的符号判断，熟练掌握运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

18. (6分)计算：
(1)$(-6a^2b^5c) ÷ (-2ab^2)^2$；
(2)$(2x+y)^2 - (2x+3y)(2x-3y)$。

解:(1)原式$=(-6a^2b^5 c)÷4a^2b^4$
$= -\frac{3}{2} bc;$
(2)原式$=4x^2 +4xy+ y^2 -4x^2 +9y^2$
$=4xy+10y^2 .$

【分析】
(1) 本题是整式的除法运算，遵循先乘方后除法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算除式$(-2ab^2)^2$，第二步再按照单项式除以单项式的法则计算最终结果，计算时注意系数的符号和同底数幂的指数运算规则。
(2) 本题是整式的混合运算，观察式子特征：$(2x+y)^2$符合完全平方公式的结构，$(2x+3y)(2x-3y)$符合平方差公式的结构，先分别用两个乘法公式展开式子，再去括号（注意括号前是减号，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：
$(-2ab^2)^2=(-2)^2· a^2· (b^2)^2=4a^2b^4$
代入原式计算：
原式$=(-6a^2b^5c)÷4a^2b^4$
$=(-6÷4)· (a^2÷a^2)· (b^5÷b^4)· c$
$= -\frac{3}{2} bc$
(2) 分别用乘法公式展开：
$(2x+y)^2=(2x)^2+2· 2x· y + y^2=4x^2+4xy+y^2$
$(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
代入原式计算：
原式$=4x^2 +4xy+ y^2 - (4x^2 -9y^2)$
$=4x^2 +4xy+ y^2 -4x^2 +9y^2$
$=4xy+10y^2$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{2}bc$；(2) $4xy+10y^2$
【知识点】
1. 单项式除以单项式
2. 完全平方公式
3. 平方差公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，属于基础题型，解题的核心是熟练掌握运算法则和乘法公式的结构特征，计算时需重点注意符号处理，避免去括号、系数运算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8

19.(8分)若$m=a^2+2b+5a+1,n=10a^2+b^2-7a+8$,试比较m与n的大小.

解:$\because n-m=9a^2 -12a+ b^2 -2b+7$
$=9a^2 -12a+4+ b^2 -2b+1+2$
$=(3a - 2)^2 + (b - 1)^2 +2＞0,$
$\therefore n＞m.$

【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法，只需判断两个代数式差值的正负即可。首先计算n与m的差，再通过配方法将差值转化为几个完全平方式加常数的形式，最后根据完全平方式的非负性判断差值的正负，就能得出m和n的大小关系。
【解析】
解：采用作差法比较大小，计算$n-m$：
$\begin{aligned}n-m&=(10a^2+b^2-7a+8)-(a^2+2b+5a+1)\\&=10a^2+b^2-7a+8-a^2-2b-5a-1\\&=9a^2-12a+b^2-2b+7\\&=9a^2-12a+4+b^2-2b+1+2\\&=(3a-2)^2+(b-1)^2+2\end{aligned}$
根据偶次方的非负性可得$(3a-2)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，
因此$(3a-2)^2+(b-1)^2+2≥ 0+0+2=2＞0$，即$n-m＞0$，
所以$n＞m$。
【答案】
$n＞m$
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；偶次方的非负性
【点评】
本题考查代数式大小比较的常用方法以及配方法的应用，解题关键是合理拆分项，将作差后的多项式配成完全平方式的形式，结合非负数的性质判断差值符号，属于代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

20.(8分)把20 cm长的一根铁丝分成两段，将每一段围成一个正方形，如果这两个正方形的面积之差是5 cm²，求这两段铁丝的长.

20. 解:设其中较长的一段的长为xcm(x＞10),
则另一段的长为(20-x)cm.
则两个小正方形的边长分别为$\frac{1}{4} x$cm和$\frac{1}{4} (20-x)$cm,
∵两正方形面积之差为5 cm²,
$\therefore (\frac{1}{4} x)^2- [\frac{1}{4} (20 - x)]^2=5,$
解得x=12.
则另一段长为20-12=8(cm).
∴两段铁丝的长分别为12cm和8cm.

【分析】
解决这类实际应用问题，可按以下思路推导：首先梳理已知条件和所求量：已知铁丝总长20cm，分成两段各自围成正方形，两个正方形面积差为5cm²，要求两段铁丝的长度。第一步设未知数：因为两段长度之和为20cm，可设较长的一段长度为x cm，则较短的一段长度为(20-x)cm；第二步表示正方形边长：正方形周长等于对应铁丝段的长度，因此正方形边长为周长的$\frac{1}{4}$，即可得到两个正方形的边长；第三步找等量关系列方程：根据“两个正方形的面积之差是5cm²”的条件，列出关于x的方程；第四步解方程求出x的值，再计算另一段的长度，检验结果符合实际要求即可。
【解析】
解：设其中较长的一段铁丝的长为$x$cm（$x＞10$），则较短的一段的长为$(20 - x)$cm。
由正方形周长公式可得，两个正方形的边长分别为$\frac{1}{4}x$ cm和$\frac{1}{4}(20 - x)$ cm。
根据两个正方形面积之差为5 cm²，列方程得：
$(\frac{1}{4}x)^2 - [\frac{1}{4}(20 - x)]^2 = 5$
利用平方差公式化简左边：
$(\frac{1}{4}x - \frac{20 - x}{4})(\frac{1}{4}x + \frac{20 - x}{4}) = 5$
整理得：$\frac{x-10}{2} × 5 = 5$
解得：$x=12$
则较短的一段铁丝长为$20 - 12 = 8$（cm）。
【答案】
两段铁丝的长分别为12cm和8cm。
【知识点】
列方程解应用题；正方形周长与面积计算；平方差公式
【点评】
本题属于几何场景下的方程应用基础题，解题核心是找准“两个正方形面积差为5cm²”的等量关系，计算时既可以用平方差公式简化运算，也可以直接展开整式求解，主要考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和整式运算的基本功。
【难度系数】
0.7

21.(8分)阅读下面的解答过程,求$y^2+4y+8$的最小值.
解:$y^2+4y+8=y^2+4y+4+4=(y+2)^2+4$,
$\because (y+2)^2≥0$,即$(y+2)^2$的最小值为0,
$\therefore y^2+4y+8$的最小值为4.
仿照上面的解答过程,求$m^2+m+4$的最小值和$4-x^2+2x$的最大值.

21. 解:$m^2 +m+4= (m + \frac{1}{2})^2+ \frac{15}{4} ,$
$\because (m + \frac{1}{2})^2≥0,$
$\therefore (m + \frac{1}{2})^2+ \frac{15}{4} ≥ \frac{15}{4} .$
则$m^2 +m+4$的最小值是$\frac{15}{4} .$
$4- x^2 +2x=-(x - 1)^2 +5,$
$\because -(x - 1)^2 ≤0,$
$\therefore -(x - 1)^2 +5≤5,$
则$4- x^2 +2x$的最大值为5.

【分析】
本题属于方法迁移类题型，需参照例题的配方法思路求解：核心是把二次三项式通过配方转化为“完全平方式+常数”的形式，再利用完全平方式的非负性判断最值。若完全平方式的系数为正，当完全平方式取0时，整个式子取得最小值（等于常数项）；若完全平方式的系数为负，当完全平方式取0时，整个式子取得最大值（等于常数项）。先对$m^2+m+4$配方求最小值，再对$4-x^2+2x$变形后配方求最大值即可。
【解析】
1、求$m^2+m+4$的最小值：
$\begin{aligned}m^2+m+4&=m^2+m+(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} +4\\&=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}\end{aligned}$
$\because (m+\frac{1}{2})^2≥0$
$\therefore (m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$
即$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
2、求$4-x^2+2x$的最大值：
$\begin{aligned}4-x^2+2x&=-x^2+2x+4\\&=-(x^2-2x+1-1)+4\\&=-(x-1)^2+1+4\\&=-(x-1)^2+5\end{aligned}$
$\because -(x-1)^2≤0$
$\therefore -(x-1)^2+5≤5$
即$4-x^2+2x$的最大值为5。
【答案】
$m^2+m+4$的最小值是$\frac{15}{4}$，$4-x^2+2x$的最大值是5。
【知识点】
配方法，完全平方式的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题考查对配方法的掌握和知识迁移能力，解题的关键是熟练掌握配方的步骤，注意二次项系数为负时要先提取负号再配方，结合完全平方式的符号正确判断最值类型。
【难度系数】
0.7