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知识点二 数轴上的点与有理数的关系
数轴上的点与有理数的关系：
（1）有理数可以用
（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的
数轴上的点与有理数的关系：
（1）有理数可以用
数轴上的点
表示。（2）一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的
正半轴
上，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在数轴的负半轴
上，与原点的距离是a个单位长度。答案
（1）数轴上的点
（2）正半轴 负半轴
（2）正半轴 负半轴
解析
【分析】
本题考查数轴与有理数的基础对应关系，解题时先回忆数轴的相关定义：数轴是规定了原点、正方向、单位长度，用来表示数的直线。首先看第（1）问，我们学过所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，因此第一空可推导得出；再看第（2）问，数轴以原点为分界，原点右侧是正方向区域（正半轴），所有正数都在正半轴上，原点左侧是负方向区域（负半轴），所有负数都在负半轴上，且互为相反数的两个数到原点的距离相等，结合题干中a是正数的条件，就能确定两个空的答案。
【解析】
（1）根据有理数与数轴的对应性质，任意一个有理数都可以在数轴上找到唯一的点来表示，因此此处填“数轴上的点”。
（2）数轴通常规定向右为正方向，原点为正负数的分界点：正数对应的点在原点右侧的正半轴上，负数对应的点在原点左侧的负半轴上。已知a是正数，则-a是负数，因此表示a的点在正半轴，表示-a的点在负半轴，符合二者到原点距离均为a个单位长度的性质。
【答案】
（1）数轴上的点
（2）正半轴 负半轴
【知识点】
1. 数轴的概念
2. 有理数与数轴的对应关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查数轴的核心基础性质，掌握数轴的构成以及数与数轴上点的对应规律即可快速解答，是后续学习数轴相关运算、不等式解集表示等内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查数轴与有理数的基础对应关系，解题时先回忆数轴的相关定义：数轴是规定了原点、正方向、单位长度，用来表示数的直线。首先看第（1）问，我们学过所有有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，因此第一空可推导得出；再看第（2）问，数轴以原点为分界，原点右侧是正方向区域（正半轴），所有正数都在正半轴上，原点左侧是负方向区域（负半轴），所有负数都在负半轴上，且互为相反数的两个数到原点的距离相等，结合题干中a是正数的条件，就能确定两个空的答案。
【解析】
（1）根据有理数与数轴的对应性质，任意一个有理数都可以在数轴上找到唯一的点来表示，因此此处填“数轴上的点”。
（2）数轴通常规定向右为正方向，原点为正负数的分界点：正数对应的点在原点右侧的正半轴上，负数对应的点在原点左侧的负半轴上。已知a是正数，则-a是负数，因此表示a的点在正半轴，表示-a的点在负半轴，符合二者到原点距离均为a个单位长度的性质。
【答案】
（1）数轴上的点
（2）正半轴 负半轴
【知识点】
1. 数轴的概念
2. 有理数与数轴的对应关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查数轴的核心基础性质，掌握数轴的构成以及数与数轴上点的对应规律即可快速解答，是后续学习数轴相关运算、不等式解集表示等内容的基础。
【难度系数】
0.9
例3 如图，数轴上有A，B两点.
（1）分别写出A，B两点表示的数：，；
（2）若点C表示$-\dfrac{3}{2}$，点D表示2，请你把C，D两点在数轴上标出来；
（3）第（2）问中C，D两点之间的距离是.
（1）解析 A点表示的数为－2，B点表示的数为3.
答案 －2 3
（2）解 如图所示.
（3）解析 点C与原点的距离是$\dfrac{3}{2}$，点D与原点的距离是2，故C，D两点之间的距离是$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$.
答案 $3\dfrac{1}{2}$
解题要点
在数轴上表示数时，要注意先规定数轴的正方向和原点，还要注意选择合适的单位长度.
特别提醒
数轴上的点不都表示有理数，所以数轴上的点与有理数并不是一一对应的关系.
解题要点
一个有理数只能用数轴上唯一的点来表示.
（1）分别写出A，B两点表示的数：，；
（2）若点C表示$-\dfrac{3}{2}$，点D表示2，请你把C，D两点在数轴上标出来；
（3）第（2）问中C，D两点之间的距离是.
（1）解析 A点表示的数为－2，B点表示的数为3.
答案 －2 3
（2）解 如图所示.
（3）解析 点C与原点的距离是$\dfrac{3}{2}$，点D与原点的距离是2，故C，D两点之间的距离是$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$.
答案 $3\dfrac{1}{2}$
解题要点
在数轴上表示数时，要注意先规定数轴的正方向和原点，还要注意选择合适的单位长度.
特别提醒
数轴上的点不都表示有理数，所以数轴上的点与有理数并不是一一对应的关系.
解题要点
一个有理数只能用数轴上唯一的点来表示.
答案
解：
(1) 观察数轴可得，A点表示的数为$-2$，B点表示的数为$3$。
(2) $-\dfrac{3}{2}=-1.5$，点C标注在数轴上$-2$与$-1$的中点位置，点D表示2，标注在数轴上刻度为2的对应位置即可。
(3) 点C与原点的距离是$\dfrac{3}{2}$，点D与原点的距离是2，两点分别位于原点两侧，因此C、D两点之间的距离是$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{3\dfrac{1}{2}}$。
(1) 观察数轴可得，A点表示的数为$-2$，B点表示的数为$3$。
(2) $-\dfrac{3}{2}=-1.5$，点C标注在数轴上$-2$与$-1$的中点位置，点D表示2，标注在数轴上刻度为2的对应位置即可。
(3) 点C与原点的距离是$\dfrac{3}{2}$，点D与原点的距离是2，两点分别位于原点两侧，因此C、D两点之间的距离是$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{3\dfrac{1}{2}}$。
解析
【分析】
解题时按照问题顺序逐步思考：
1. 解决第(1)问：先明确数轴三要素，原点左侧为负数、右侧为正数，观察单位长度为1，数出A点在原点左侧第2个单位，B点在原点右侧第3个单位，即可得出对应数。
2. 解决第(2)问：先将分数$-\dfrac{3}{2}$转化为小数$-1.5$，可知它在$-2$和$-1$的中点位置，直接在对应位置标注C；D表示2，找到数轴上刻度2的位置标注D即可。
3. 解决第(3)问：数轴上两点距离的计算方法有两种，一是用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，二是若两点在原点两侧，距离为两点到原点的距离之和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 观察数轴，单位长度为1，A点位于原点左侧2个单位长度处，所以表示的数为$-2$；B点位于原点右侧3个单位长度处，所以表示的数为$3$。
(2) $-\dfrac{3}{2}=-1.5$，将点C标注在数轴上$-2$与$-1$的中点位置；点D表示2，直接标注在数轴上刻度为2的对应位置即可。
(3) 点C表示的数为$-\dfrac{3}{2}$，点D表示的数为2，两点分别位于原点两侧，C到原点的距离为$\dfrac{3}{2}$，D到原点的距离为2，因此C、D两点之间的距离为$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$；也可通过公式“数轴两点距离=右侧数-左侧数”计算：$2-(-\dfrac{3}{2})=2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{3\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
数轴的认识、有理数与数轴上点的对应、数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，全面考察了数轴读数、标点、距离计算的核心基础技能，熟练掌握数轴三要素和两点距离计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时按照问题顺序逐步思考：
1. 解决第(1)问：先明确数轴三要素，原点左侧为负数、右侧为正数，观察单位长度为1，数出A点在原点左侧第2个单位，B点在原点右侧第3个单位，即可得出对应数。
2. 解决第(2)问：先将分数$-\dfrac{3}{2}$转化为小数$-1.5$，可知它在$-2$和$-1$的中点位置，直接在对应位置标注C；D表示2，找到数轴上刻度2的位置标注D即可。
3. 解决第(3)问：数轴上两点距离的计算方法有两种，一是用右侧点表示的数减去左侧点表示的数，二是若两点在原点两侧，距离为两点到原点的距离之和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 观察数轴，单位长度为1，A点位于原点左侧2个单位长度处，所以表示的数为$-2$；B点位于原点右侧3个单位长度处，所以表示的数为$3$。
(2) $-\dfrac{3}{2}=-1.5$，将点C标注在数轴上$-2$与$-1$的中点位置；点D表示2，直接标注在数轴上刻度为2的对应位置即可。
(3) 点C表示的数为$-\dfrac{3}{2}$，点D表示的数为2，两点分别位于原点两侧，C到原点的距离为$\dfrac{3}{2}$，D到原点的距离为2，因此C、D两点之间的距离为$2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$；也可通过公式“数轴两点距离=右侧数-左侧数”计算：$2-(-\dfrac{3}{2})=2+\dfrac{3}{2}=3\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{3}$；(3) $\boldsymbol{3\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
数轴的认识、有理数与数轴上点的对应、数轴两点距离计算
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，全面考察了数轴读数、标点、距离计算的核心基础技能，熟练掌握数轴三要素和两点距离计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
