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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，设$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则(
A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
B
)A.$c = b\sin B$
B.$b = c\sin B$
C.$a = b\tan B$
D.$b = c\tan B$
答案
1. B
解析
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。
根据三角函数定义：$\sin B=\frac{b}{c}$，则$b = c\sin B$，选项B正确。
$\sin B=\frac{b}{c}≠\frac{c}{b}$，选项A错误。
$\tan B=\frac{b}{a}≠\frac{a}{b}$，选项C错误。
$\tan B=\frac{b}{a}≠\frac{b}{c}$，选项D错误。
B
根据三角函数定义：$\sin B=\frac{b}{c}$，则$b = c\sin B$，选项B正确。
$\sin B=\frac{b}{c}≠\frac{c}{b}$，选项A错误。
$\tan B=\frac{b}{a}≠\frac{a}{b}$，选项C错误。
$\tan B=\frac{b}{a}≠\frac{b}{c}$，选项D错误。
B
2. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 5\sqrt{2}$，$BC = 5\sqrt{6}$，则$∠ A$的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
答案
2. C
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AC=5\sqrt{2}$，$BC=5\sqrt{6}$。
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
因为$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$∠ A=60^{\circ}$
C
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
因为$\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$∠ A=60^{\circ}$
C
3. (2023·西宁)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AB = 12$，$∠ A = 42^{\circ}$，则$BC$的长约为
8.0
.(结果精确到$0.1$.参考数据：$\sin 42^{\circ} \approx 0.67$，$\cos 42^{\circ} \approx 0.74$，$\tan 42^{\circ} \approx 0.90$)答案
3. 8.0
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AB=12$，$∠ A=42^{\circ}$。
因为$\sin∠ A=\frac{BC}{AB}$，所以$BC=AB·\sin∠ A$。
已知$\sin42^{\circ}\approx0.67$，则$BC\approx12×0.67=8.04\approx8.0$。
8.0
因为$\sin∠ A=\frac{BC}{AB}$，所以$BC=AB·\sin∠ A$。
已知$\sin42^{\circ}\approx0.67$，则$BC\approx12×0.67=8.04\approx8.0$。
8.0
4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\tan B = \dfrac{5}{12}$，点$D$在$BC$边上，$CD = AC$，$AB = 26$，则$BD$的长为
14
.答案
4. 14
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{12}$，设$AC=5k$，$BC=12k$（$k＞0$）。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}+(12k)^{2}}=13k$。
已知$AB=26$，则$13k=26$，解得$k=2$。
所以$AC=5k=10$，$BC=12k=24$。
因为$CD=AC=10$，所以$BD=BC - CD=24 - 10=14$。
14
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}+(12k)^{2}}=13k$。
已知$AB=26$，则$13k=26$，解得$k=2$。
所以$AC=5k=10$，$BC=12k=24$。
因为$CD=AC=10$，所以$BD=BC - CD=24 - 10=14$。
14
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，由下列条件解直角三角形：
(1)$∠ B = 30^{\circ}$，$a - b = 3\sqrt{3} - 3$；
(2)$a + c = 12$，$∠ B = 60^{\circ}$.
(1)$∠ B = 30^{\circ}$，$a - b = 3\sqrt{3} - 3$；
(2)$a + c = 12$，$∠ B = 60^{\circ}$.
答案
5. 解: (1) 在Rt△ABC中,
∵∠C = 90°, ∠B = 30°,
∴∠A = 60°, c = 2b, a = √3b.
∵a - b = 3√3 - 3,
∴√3b - b = 3√3 - 3, 解得b = 3,
∴a = 3√3, c = 6.
(2) 在Rt△ABC中,
∵∠C = 90°, ∠B = 60°,
∴∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.
∵sinA = a/c,
∴a = c·sin30° = 1/2c.
∵a + c = 12,
∴1/2c + c = 12, 解得c = 8,
∴a = 1/2c = 4,
∴b = √(c² - a²) = √(8² - 4²) = 4√3.
∵∠C = 90°, ∠B = 30°,
∴∠A = 60°, c = 2b, a = √3b.
∵a - b = 3√3 - 3,
∴√3b - b = 3√3 - 3, 解得b = 3,
∴a = 3√3, c = 6.
(2) 在Rt△ABC中,
∵∠C = 90°, ∠B = 60°,
∴∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.
∵sinA = a/c,
∴a = c·sin30° = 1/2c.
∵a + c = 12,
∴1/2c + c = 12, 解得c = 8,
∴a = 1/2c = 4,
∴b = √(c² - a²) = √(8² - 4²) = 4√3.
6. (2023·通州区月考)如图，在$△ ABC$中，$AC = BC$，过点$C$作$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，过点$D$作$DE // BC$交$AC$于点$E$，若$BD = 10$，$AE = 13$，则$\cos ∠ EDC$的值为(
A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{12}{13}$
D.$\dfrac{5}{12}$
C
)A.$\dfrac{5}{13}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{12}{13}$
D.$\dfrac{5}{12}$
答案
6. C
解析
证明：
∵$AC=BC$，$CD⊥AB$，
∴$AD=BD=10$（等腰三角形三线合一），$∠ADC=90°$。
∵$DE//BC$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$（平行线分线段成比例）。
∵$AB=AD+BD=20$，$AE=13$，
∴$\frac{13}{AC}=\frac{10}{20}$，解得$AC=26$。
在$Rt△ ADC$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24$。
∵$DE//BC$，
∴$∠EDC=∠BCD$（两直线平行，内错角相等）。
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠BCD=\frac{CD}{BC}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$，
∴$\cos∠EDC=\frac{12}{13}$。
答案：C
∵$AC=BC$，$CD⊥AB$，
∴$AD=BD=10$（等腰三角形三线合一），$∠ADC=90°$。
∵$DE//BC$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$（平行线分线段成比例）。
∵$AB=AD+BD=20$，$AE=13$，
∴$\frac{13}{AC}=\frac{10}{20}$，解得$AC=26$。
在$Rt△ ADC$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{26^2-10^2}=24$。
∵$DE//BC$，
∴$∠EDC=∠BCD$（两直线平行，内错角相等）。
在$Rt△ BCD$中，$\cos∠BCD=\frac{CD}{BC}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$，
∴$\cos∠EDC=\frac{12}{13}$。
答案：C
7. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(-1,\sqrt{3})$，以原点$O$为中心，将点$A$顺时针旋转$150^{\circ}$得到点$A'$，则点$A'$的坐标为(
A.$(0,-2)$
B.$(1,-\sqrt{3})$
C.$(2,0)$
D.$(\sqrt{3},-1)$
D
)A.$(0,-2)$
B.$(1,-\sqrt{3})$
C.$(2,0)$
D.$(\sqrt{3},-1)$
答案
7. D
解析
解：
点$A(-1,\sqrt{3})$，则$OA=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
设$OA$与$x$轴负半轴夹角为$α$，$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$α=60°$，即$OA$与$x$轴正方向夹角为$180°-60°=120°$。
顺时针旋转$150°$后，$OA'$与$x$轴正方向夹角为$120°-150°=-30°$（或$330°$）。
$A'$的坐标为：
$x=OA'\cos(-30°)=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$y=OA'\sin(-30°)=2×(-\frac{1}{2})=-1$。
故点$A'$的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
D
点$A(-1,\sqrt{3})$，则$OA=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
设$OA$与$x$轴负半轴夹角为$α$，$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$，故$α=60°$，即$OA$与$x$轴正方向夹角为$180°-60°=120°$。
顺时针旋转$150°$后，$OA'$与$x$轴正方向夹角为$120°-150°=-30°$（或$330°$）。
$A'$的坐标为：
$x=OA'\cos(-30°)=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$y=OA'\sin(-30°)=2×(-\frac{1}{2})=-1$。
故点$A'$的坐标为$(\sqrt{3},-1)$。
D
