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8. (2024·苏州期中)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的高，$CE$是$AB$边上的中线，$AD = 3$，$CE = 5$，则$\tan ∠ BCE$的值为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{30}}{10}$
B
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{30}}{10}$
答案
8. B
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CE$是$AB$边上的中线，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB$，
$\because CE=5$，
$\therefore AB=10$，
$\because AD=3$，
$\therefore BD=AB-AD=10-3=7$，
$\because CD$是$AB$边上的高，
$\therefore ∠ CDA=∠ CDB=90^{\circ}$，
$\because ∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$，
$\therefore △ ACD∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$，
$\therefore CD^{2}=AD· BD=3× 7=21$，
$\therefore CD=\sqrt{21}$，
$\because CE$是$AB$边上的中线，
$\therefore AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DE=AE-AD=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\tan ∠ BCE=\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$。
答案：B
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB$，
$\because CE=5$，
$\therefore AB=10$，
$\because AD=3$，
$\therefore BD=AB-AD=10-3=7$，
$\because CD$是$AB$边上的高，
$\therefore ∠ CDA=∠ CDB=90^{\circ}$，
$\because ∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$∠ A+∠ B=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$，
$\therefore △ ACD∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD}=\dfrac{CD}{BD}$，
$\therefore CD^{2}=AD· BD=3× 7=21$，
$\therefore CD=\sqrt{21}$，
$\because CE$是$AB$边上的中线，
$\therefore AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DE=AE-AD=5-3=2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\tan ∠ BCE=\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$。
答案：B
9. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$DC = 1$，$BD = 2$，$\tan B = \cos ∠ DAC$，则$AB$的长为
√7
.答案
9. √7
解析
解：设$AD = h$。
在$Rt△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{h}{2}$。
在$Rt△ ADC$中，$\cos∠ DAC=\frac{AD}{AC}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1^{2}}}$。
由$\tan B = \cos∠ DAC$，得$\frac{h}{2}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1}}$。
因为$h≠0$，两边同除以$h$得$\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{h^{2}+1}}$，解得$h = \sqrt{3}$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
在$Rt△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{h}{2}$。
在$Rt△ ADC$中，$\cos∠ DAC=\frac{AD}{AC}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1^{2}}}$。
由$\tan B = \cos∠ DAC$，得$\frac{h}{2}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+1}}$。
因为$h≠0$，两边同除以$h$得$\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{h^{2}+1}}$，解得$h = \sqrt{3}$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$。
$\sqrt{7}$
10. 在$△ ABC$中，$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$∠ B = 45^{\circ}$，则$BC =$
3√3 + 3或3√3 - 3
.答案
10. 3√3 + 3或3√3 - 3
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 45^{\circ}$，$AB = 3\sqrt{6}$，
$\sin 45^{\circ} = \frac{AD}{AB}$，$\cos 45^{\circ} = \frac{BD}{AB}$，
$AD = AB · \sin 45^{\circ} = 3\sqrt{6} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}$，
$BD = AB · \cos 45^{\circ} = 3\sqrt{6} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，$AC = 6$，$AD = 3\sqrt{3}$，
$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{6^{2} - (3\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 - 27} = 3$。
当点$D$在线段$BC$上时，$BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$；
当点$D$在线段$BC$的延长线上时，$BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。
综上，$BC = 3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 45^{\circ}$，$AB = 3\sqrt{6}$，
$\sin 45^{\circ} = \frac{AD}{AB}$，$\cos 45^{\circ} = \frac{BD}{AB}$，
$AD = AB · \sin 45^{\circ} = 3\sqrt{6} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}$，
$BD = AB · \cos 45^{\circ} = 3\sqrt{6} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，$AC = 6$，$AD = 3\sqrt{3}$，
$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{6^{2} - (3\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 - 27} = 3$。
当点$D$在线段$BC$上时，$BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$；
当点$D$在线段$BC$的延长线上时，$BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。
综上，$BC = 3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$。
11. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ ADC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$CD = 4$，$BC$的延长线与$AD$的延长线交于点$E$.
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，求$BC$的长；（结果保留根号）
(2)若$\sin A = \dfrac{4}{5}$，求$AD$的长.
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，求$BC$的长；（结果保留根号）
(2)若$\sin A = \dfrac{4}{5}$，求$AD$的长.
答案
11. 解: (1)
∵∠A = 60°, ∠ABE = 90°, AB = 6, tanA = BE/AB,
∴∠E = 30°, BE = 6·tan60° = 6√3.
又
∵∠CDE = 90°, CD = 4, sinE = CD/CE, ∠E = 30°,
∴CE = 4/(1/2) = 8,
∴BC = BE - CE = 6√3 - 8.
(2)
∵∠ABE = 90°, AB = 6, sinA = 4/5 = BE/AE,
∴设BE = 4x, 则AE = 5x, 由勾股定理, 得AB = 3x,
∴3x = 6, 解得x = 2,
∴BE = 8, AE = 10,
∴tanE = AB/BE = 6/8 = CD/DE = 4/DE, 解得DE = 16/3,
∴AD = AE - DE = 10 - 16/3 = 14/3.
∵∠A = 60°, ∠ABE = 90°, AB = 6, tanA = BE/AB,
∴∠E = 30°, BE = 6·tan60° = 6√3.
又
∵∠CDE = 90°, CD = 4, sinE = CD/CE, ∠E = 30°,
∴CE = 4/(1/2) = 8,
∴BC = BE - CE = 6√3 - 8.
(2)
∵∠ABE = 90°, AB = 6, sinA = 4/5 = BE/AE,
∴设BE = 4x, 则AE = 5x, 由勾股定理, 得AB = 3x,
∴3x = 6, 解得x = 2,
∴BE = 8, AE = 10,
∴tanE = AB/BE = 6/8 = CD/DE = 4/DE, 解得DE = 16/3,
∴AD = AE - DE = 10 - 16/3 = 14/3.
12. (2023·雅安)如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$BC = DC$，$∠ C = 60^{\circ}$，$AE // CD$交$BC$于点$E$，$BC = 8$，$AE = 6$，求$AB$的长.
答案
12. 解: 如答图, 连接AC, BD交于点O, 过点E作EF⊥AC, 交AC于点F.
∵BC = DC, ∠BCD = 60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴BD = BC = CD = 8.
∵AB = AD, BC = DC,
∴AC⊥BD, BO = DO = 1/2BD = 4,
∴∠ACD = ∠ACB = 1/2∠BCD = 30°.
∵AE//CD,
∴∠EAC = ∠ACD = ∠ACB = 30°,
∴AE = EC = 6,
∴CF = CE·cos30° = 6×√3/2 = 3√3,
AF = AE·cos30° = 6×√3/2 = 3√3, CO = BC·cos30° = 8×√3/2 = 4√3,
∴AC = CF + AF = 6√3,
∴AO = AC - CO = 6√3 - 4√3 = 2√3.
在Rt△BOA中,
AB = √(BO² + AO²) = √(4² + (2√3)²) = 2√7.
