1. 现给出以下几个命题:①长度相等的两条弧是等弧;②等弧所对的弦相等;③三点确定一个圆;
④矩形的四个顶点必在同一个圆上;⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.其中真命题的个
数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

1. B

【分析】
要判断命题的真假，需逐一回忆圆的相关基础概念：等弧的定义、确定圆的条件、圆内接四边形的判定、三角形外心的性质。先逐个分析每个命题，再统计真命题的数量即可得出答案。
【解析】
解：逐一分析各命题：
1. 命题①：等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，不仅长度相等，弯曲程度也需相同，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，故①是假命题；
2. 命题②：等弧所在的圆半径相等，对应的弦长相等，故②是真命题；
3. 命题③：不在同一直线上的三点确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，故③是假命题；
4. 命题④：矩形的对角互补，根据圆内接四边形的判定定理，对角互补的四边形内接于同一个圆，因此矩形的四个顶点必在同一个圆上，故④是真命题；
5. 命题⑤：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），故⑤是假命题。
综上，真命题为②和④，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念、三角形外心性质、圆内接四边形判定
【点评】
本题考查圆的基础概念，需准确区分易混淆的知识点（如等弧、外心与内心的性质），逐一判断命题真假即可，难度适中。
【难度系数】
0.5

2. 在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则弦AB与弦CD的大小关系是 ()

A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB=CD$

2. C

【分析】要比较同圆中弦AB与2CD的大小，可利用“等弧对等弦”的性质，先将弧AB二等分，得到两段与弧CD相等的弧，对应相等的弦，再通过三角形三边关系比较弦的大小。
【解析】取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接AE、BE。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{EB}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{CD}$。
根据同圆中，等弧所对的弦相等，得AE=EB=CD。
在$△ AEB$中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，
∴AE + EB ＞ AB，即CD + CD ＞ AB，故AB ＜ 2CD。
【答案】C
【知识点】弧弦关系、三角形三边关系
【点评】本题核心是利用弧与弦的对应关系构造相等线段，结合三角形三边关系解题，是圆中弦长比较的典型题型，需掌握等分弧的转化方法。
【难度系数】0.6

3. 如图,AB、CD是$\odot O$的直径,弦$CE// AB$.若$∠ AOC=75°$,则$\overset{\frown}{CE}$的度数是.

(第3题)
(第4题)
(第7题)

3. $30°$

【分析】
要解决本题，需结合圆的半径相等的性质、平行线的内错角相等性质，以及弧的度数等于其对应圆心角的度数这一规则。首先利用平行线性质得到∠OCE的度数，再结合等腰三角形性质求出圆心角∠COE的度数，进而得到弧CE的度数。
【解析】
解：
∵ OC、OE是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OE$，$△ OCE$为等腰三角形。
∵ $CE// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OCE=∠ AOC=75°$。
在$△ OCE$中，$∠ OEC=∠ OCE=75°$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ COE=180° - ∠ OCE - ∠ OEC=180° -75° -75°=30°$。
根据“弧的度数等于它所对圆心角的度数”，可知$\overset{\frown}{CE}$的度数等于$∠ COE$的度数，即$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆的性质、平行线性质、圆心角与弧的度数
【点评】
本题是圆的基础几何题，综合考查了平行线性质、等腰三角形性质和圆心角与弧的度数关系，解题关键是找到圆心角的度数，属于学生较易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.5

4. 如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,延长AB、CD相交于点P,且$AB=2DP$,$∠ P=18°$,则
$\overset{\frown}{CA}$的度数是.

4. $54°$

【分析】首先根据AB是直径得出AB与半径的关系，结合已知AB=2DP推出OD=DP，利用等腰三角形性质得到相关角度，再逐步推导圆心角∠AOC的度数，而弧的度数等于对应圆心角的度数，即可求出结果。
【解析】设$\odot O$的半径为$r$，因为AB是直径，所以$AB=2r$。由$AB=2DP$，得$DP=r$。又$OD=OC=r$，故$OD=DP=r$，$△ ODP$为等腰三角形，$∠ DOP=∠ P=18°$。在$△ ODP$中，$∠ ODP=180° - ∠ DOP - ∠ P=180° -18° -18°=144°$，则$∠ ODC=180° - ∠ ODP=36°$。因为$OC=OD=r$，$△ OCD$为等腰三角形，$∠ OCD=∠ ODC=36°$。在$△ OCP$中，$∠ COP=180° - ∠ OCD - ∠ P=180° -36° -18°=126°$。由于A、O、B共线，$∠ AOC + ∠ COP=180°$，所以$∠ AOC=180° -126°=54°$。因为弧的度数等于对应圆心角的度数，故$\overset{\frown}{CA}$的度数为$54°$。
【答案】$54°$
【知识点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆心角与弧的关系
【点评】本题综合运用圆和等腰三角形的性质解题，关键是通过已知条件推出$OD=DP$，逐步推导角度关系，属于中等难度的几何题，需理清各角之间的联系。
【难度系数】0.5

5. 如图,在$\odot O$中,弦$AB=8$,P是弦AB上一点,$OP=3\sqrt{2}$,$∠ OPB=45°$.

(1) 求OB的长;
(2) 过点P作弦CD与弦AB垂直,求证:$AB=CD$.

5. (1) $OB=5$ (2) 证明略

【分析】
第(1)问要求OB的长，需通过作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理、等腰直角三角形性质和勾股定理求解；第(2)问要证明AB=CD，利用“同圆中弦心距相等则弦相等”的性质，结合CD与AB垂直的条件，证明圆心到两条弦的距离相等即可。
【解析】
(1) 过点O作OH⊥AB于点H，
∵ AB是⊙O的弦，OH⊥AB，根据垂径定理，得AH = HB = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△OHP中，∠OPB=45°，故△OHP是等腰直角三角形，OH = HP。
由勾股定理：OH² + HP² = OP²，代入OP=3√2，得2OH² = (3√2)² = 18，解得OH=3，因此HP=3。
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB = $\sqrt{OH² + HB²} = \sqrt{3² + 4²} = 5$。
(2) 过点O作OM⊥CD于点M，
∵ CD⊥AB，OH⊥AB，
∴ OM//AB，OH//CD，四边形OHPM是矩形，故OM = HP = 3。
由(1)知OH=3，即圆心O到AB的距离为3，到CD的距离也为3。根据同圆中“相等的弦心距对应相等的弦”，得AB=CD。
【答案】
(1) OB=5；(2) AB=CD，证明成立。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弦心距与弦长的关系
【点评】
本题综合考查圆的相关性质，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理，属于中等难度的几何题，需学生掌握定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.6

6. [分类讨论思想]如图,AB是$\odot O$的直径,$AB=2$,点C在线段AB上运动,过点C的弦$DE⊥$
AB,将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时,求线段FB的长.

6. $2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2

【分析】
首先，AB是⊙O的直径且AB=2，故⊙O半径为1。弦DE⊥AB，根据垂径定理，DE被AB垂直平分，设垂足为C，则DE=2DC。在Rt△ODC中，由勾股定理得OD²=OC²+DC²，代入OD=1，可得DE=2√(1-OC²)。由于圆中弦长最大为直径2，且DE为正整数，因此DE的取值只能是1或2，需分情况讨论：
1. 当DE=2时，对应OC=0，即C与圆心O重合，此时DE为直径；
2. 当DE=1时，代入DE的表达式可求得OC的长度，再结合翻折变换的性质，确定翻折后弧与直线AB的交点F的位置，进而计算FB的长度，同时需考虑C在O两侧的情况。
【解析】
设⊙O的半径为r=1，以O为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得A(-1,0)，B(1,0)。
1. 当DE=2时：
DE为直径，故C与O重合，D(0,1)、E(0,-1)。将弧DBE沿DE（y轴）翻折，点B(1,0)翻折后对应点为(-1,0)，即F(-1,0)，此时FB=|1 - (-1)|=2。
2. 当DE=1时：
由DE=2DC=1得DC=0.5，在Rt△ODC中，OC=√(OD² - DC²)=√(1 - 0.25)=√3/2。
若C在O右侧，C(√3/2,0)，DE的直线为x=√3/2，翻折变换为点(x,y)→(√3 - x,y)，点B(1,0)翻折后得F(√3 -1,0)，则FB=|1 - (√3 -1)|=2 - √3；
若C在O左侧，C(-√3/2,0)，DE的直线为x=-√3/2，翻折变换为点(x,y)→(-√3 -x,y)，点B(1,0)翻折后得F(-√3 -1,0)，则FB=|1 - (-√3 -1)|=2 + √3。
综上，线段FB的长为2 - √3、2 + √3或2。
【答案】
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2
【知识点】
垂径定理，翻折变换，圆的弦长计算
【点评】
本题结合分类讨论思想，利用垂径定理和翻折的对称性，分情况讨论DE为正整数的两种取值，再通过坐标法计算FB的长度，需注意翻折后交点F在直线AB上而非线段AB上，避免漏解。
【难度系数】
0.4

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与AB、BC分别相切于点D、E,连接
DE、AO,并延长AO交DE于点F,则$∠ AFD=$.

7. $35°$

【分析】
要解决本题，需结合三角形内切圆的切线性质、等腰三角形的角度特征及三角形内角和定理推导。首先利用切线长定理得到等腰三角形，再通过角平分线和垂直关系，将所求角与已知的∠ACB建立联系，逐步计算结果。
【解析】
1. 根据切线长定理：从点A引⊙O的两条切线AD、AE，故AD=AE，△ADE为等腰三角形；从点B引⊙O的两条切线BD、BE，故BD=BE，△BDE为等腰三角形。
2. 因为AO平分∠BAC，等腰△ADE中，顶角平分线AO垂直于底边DE，即AF⊥DE，因此在△ADF中，∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF。
3. 在等腰△BDE中，∠BDE=(180°-∠ABC)/2，故∠ADF=180°-∠BDE=(180°+∠ABC)/2；又∠DAF=∠BAC/2，代入得：
∠AFD=180° - (∠BAC/2) - (180°+∠ABC)/2
= (360° - ∠BAC - 180° - ∠ABC)/2
= (180° - (∠BAC+∠ABC))/2
4. 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，代入上式：
∠AFD=(180° - (180°-∠ACB))/2=∠ACB/2
5. 已知∠ACB=70°，因此∠AFD=70°÷2=35°。
【答案】
35°
【知识点】
三角形内切圆、切线长定理、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查三角形内切圆的性质，核心是通过切线长定理构造等腰三角形，结合三角形内角和转化角度关系，需熟练掌握角度推导的逻辑。
【难度系数】
0.4