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1. 下列说法中,错误的是 （
A.$\sqrt{3}$是无理数
B.$\sqrt{3}$是3的算术平方根
C.面积为3的正方形的边长为$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$的倒数是$-\sqrt{3}$
D
）A.$\sqrt{3}$是无理数
B.$\sqrt{3}$是3的算术平方根
C.面积为3的正方形的边长为$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$的倒数是$-\sqrt{3}$
答案
1. D
2. 有下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③0既没有倒数也没有相反数；④整数分为正整数、0和负整数；⑤正无理数和负无理数统称无理数.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C
3. 已知 $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2},b=\dfrac{\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，则下列大小关系正确的是（
A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞a＞c$
D.$a＞c＞b$
A
）A.$a＞b＞c$
B.$c＞b＞a$
C.$b＞a＞c$
D.$a＞c＞b$
答案
3. A 提示:因为$a＞0,b＞0,c＞0,a^2=\dfrac{1}{2},b^2=\dfrac{1}{3},c^2=\dfrac{1}{5}$,所以$a^2＞b^2＞c^2$,所以$a＞b＞c$.
4.（2025 连云港市灌南县期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 2 和4，则阴影部分的面积为（
A.$2\sqrt{2}-2$
B.$2\sqrt{2}+2$
C.2
D.$1+\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{2}-2$
B.$2\sqrt{2}+2$
C.2
D.$1+\sqrt{2}$
答案
4. A
5. 如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt[3]{131}$,则 A,B 两点之间表示整数的点共有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
5. B 提示:因为$1＜\sqrt{2}＜2.5＜\sqrt[3]{131}＜6$,所以A,B两点之间有表示整数2,3,4,5的点,共有4个.
6. 若$a , b$都是无理数，且$a + b = 2$，则$a , b$的值可以是
$a=1+\sqrt{7},b=1-\sqrt{7}$(答案不唯一)
（填一组满足条件的值即可）.答案
6. $a=1+\sqrt{7},b=1-\sqrt{7}$(答案不唯一)
7. 实数 $a,b$ 在数轴上的位置如图所示，则
$(\sqrt{b})^{2}+\sqrt{(-a)^{2}}-\sqrt{(a-b)^{2}}=$
$(\sqrt{b})^{2}+\sqrt{(-a)^{2}}-\sqrt{(a-b)^{2}}=$
0
.答案
7. 0 提示:因为$-1＜a＜0,0＜b＜1$,所以原式$=b+(-a)-(-a+b)=0$.
8. (2025 无锡市锡山区期中)如图 1,教材有这样一个探究:把两个面积为 $1\ \mathrm{dm}^2$ 的小正方形拼成一个面积为 $2\ \mathrm{dm}^2$ 的大正方形,所得到的面积为 $2\ \mathrm{dm}^2$ 的大正方形的边长就是原先面积为 $1\ \mathrm{dm}^2$ 的小正方形的对角线长,因此,可得小正方形的对角线长为 $\sqrt{2}\ \mathrm{dm}.$
(1)由此,我们得到了一种方法,能在数轴上画出无理数所对应的点,则图 2 中 $A,B$ 两点表示的数分别为
(2)某同学把长为 2、宽为 1 的两个长方形进行裁剪,拼成如图 3 所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出长方形的对角线长,并说明理由.
(3)若 3 是 $4a+5$ 的一个平方根,$3a+b-9$ 的立方根是 2,$c$ 为图 3 中小正方形边长 $x$ 的整数部分,请计算 $4a+b-c$ 的平方根.
(1)由此,我们得到了一种方法,能在数轴上画出无理数所对应的点,则图 2 中 $A,B$ 两点表示的数分别为
$-\sqrt{2}$
,$\sqrt{2}$
.(2)某同学把长为 2、宽为 1 的两个长方形进行裁剪,拼成如图 3 所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出长方形的对角线长,并说明理由.
(3)若 3 是 $4a+5$ 的一个平方根,$3a+b-9$ 的立方根是 2,$c$ 为图 3 中小正方形边长 $x$ 的整数部分,请计算 $4a+b-c$ 的平方根.
答案
8. 解:(1) $-\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 提示:因为小正方形的边长为1,所以由前面的拼图知,小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$. 所以$OA=OB=\sqrt{2}$. 所以点A表示的数为$-\sqrt{2}$,点B表示的数为$\sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{5}$. 理由:因为正方形的面积为$(1+2)^2=9$,两个长方形的面积为$2×1×2=4$,所以小正方形的面积为$9-4=5$. 故长方形的对角线长为$\sqrt{5}$.
(3) 由题意,得$4a+5=3^2=9$,$3a+b-9=2^3=8$,解得$a=1$,$b=14$. 因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$c=2$,所以$4a+b-c=4+14-2=16$. 故$\pm\sqrt{4a+b-c}=\pm4$.
(2) $\sqrt{5}$. 理由:因为正方形的面积为$(1+2)^2=9$,两个长方形的面积为$2×1×2=4$,所以小正方形的面积为$9-4=5$. 故长方形的对角线长为$\sqrt{5}$.
(3) 由题意,得$4a+5=3^2=9$,$3a+b-9=2^3=8$,解得$a=1$,$b=14$. 因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$c=2$,所以$4a+b-c=4+14-2=16$. 故$\pm\sqrt{4a+b-c}=\pm4$.
