9. 如果一个一次函数同时具备下列两个条件：①$y$随$x$的增大而增大；②图象经过点$(1,-3)$.那么这个一次函数的表达式为.(写出一个即可)

9.$y=x-4$(答案不唯一)

10. 如图,一次函数的图象经过点$M(-1,4)$,与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B(0,6)$.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)若$P(m,n)$是直线$AB$上的一个动点,且$-3 ≤ m ≤ 2$,求$n$的取值范围.

10. 解:(1)设直线 $AB$ 的函数表达式是 $y=kx+b(k≠0)$.
$\because$ 图象经过点 $B(0,6),M(-1,4)$,
$\therefore \begin{cases} b=6,\\ -k+b=4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=6, \end{cases}$
故直线 $AB$ 的函数表达式是 $y=2x+6$.
(2)$\because P(m,n)$ 是直线 $AB$ 上的一个动点,$\therefore n=2m+6$.
$\because 2＞0$,$\therefore n$ 随着 $m$ 的增大而增大.
$\because -3≤ m≤ 2$,$\therefore$ 当 $m=-3$ 时,$n$ 取最小值 $0$;
当 $m=2$ 时,$n$ 取最大值 $10$,
$\therefore n$ 的取值范围是 $0≤ n≤ 10$.

11. (2024·天宁区期末) 如图, 直线 $y=x+b(b＞0)$ 分别交 $x$ 轴, $y$ 轴于点 $A, B$, 直线 $y=$$k x(k＜0)$ 与直线 $y=x+b(b＞0)$ 在第二象限交于点 $C$, 过 $A, B$ 两点分别作 $A D ⊥ C O$ 于点 $D$, $B E ⊥ C O$ 于点 $E$, 且 $B E+B O=8, A D=4$, 求 $E D$ 的长.

11. 解: 在 $y=x+b(b＞0)$ 中, 令 $x=0$, 得 $y=b$; 令 $y=0$, 得 $x=-b$,$\therefore A(-b,0),B(0,b)$,
$\therefore OA=OB$.
$\because AD⊥ CO,BE⊥ CO,\therefore ∠ ADO=∠ OEB=90°$,
$\therefore ∠ DAO+∠ AOD=∠ EOB+∠ AOD=90°$,
$\therefore ∠ DAO=∠ EOB$,
$\therefore △ AOD≌△ OBE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=OD,OE=AD=4$.
$\because BE+BO=8$,$\therefore OB=8-BE$.
$\because OB^2=BE^2+OE^2$,$\therefore (8-BE)^2=BE^2+4^2$.
$\therefore BE=3$,
$\therefore DE=OE-OD=AD-BE=4-3=1$.

12. (2024·鼓楼区期末) 如图,直线 $l_1:y=x+4$ 与过点 $A(4,0)$ 的直线 $l_2$ 交于点 $B(\dfrac{4}{3},m)$,与 $x$ 轴,
$y$ 轴分别交于点 $C,D$,直线 $l_2$ 交 $y$ 轴于点 $E$.
(1)求直线 $l_2$ 的函数表达式；
(2)若点 $M$ 在直线 $l_1$ 上,$MN// y$ 轴,交直线 $l_2$ 于点 $N$,且 $MN=AC$,求点 $M$ 的坐标；
(3)若点 $P$ 在直线 $l_1$ 上,以 $P,D,E$ 为顶点的三角形为直角三角形,请直接写出点 $P$ 的坐标.

12. 解:(1)在 $y=x+4$ 中,当 $x=\frac{4}{3}$ 时,$y=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}$,
$\therefore B(\frac{4}{3},\frac{16}{3})$.
设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=kx+b$,
$\therefore \begin{cases} \frac{4}{3}k+b=\frac{16}{3},\\ 4k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=8. \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-2x+8$.
(2)在 $y=x+4$ 中,当 $y=0$ 时,$x=-4$,$\therefore C(-4,0)$,
$AC=4-(-4)=8$.
设 $M(m,m+4)$,则 $N(m,-2m+8)$,
$\therefore MN=|m+4-(-2m+8)|=|3m-4|$.
$\because MN=AC$,$\therefore |3m-4|=8$,
$\therefore 3m-4=8$ 或 $3m-4=-8$,
$\therefore m=4$ 或 $m=-\frac{4}{3}$,
$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $(4,8)$ 或 $(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$.
(3)在 $y=x+4$ 中,当 $x=0$ 时,$y=4$,$\therefore D(0,4)$.
在 $y=-2x+8$ 中,当 $x=0$ 时,$y=8$,$\therefore E(0,8)$.
当 $∠ PDE=90°$ 时,$PD⊥ y$ 轴,
$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 $4$,此时点 $P$ 与点 $D$ 重合,不符合题意;
当 $∠ PED=90°$ 时,$PE⊥ y$ 轴,
$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 $8$.
在 $y=x+4$ 中,当 $y=8$ 时,$x=4$,此时点 $P$ 的坐标为 $(4,8)$.
当 $∠ DPE=90°$ 时,$\because OC=OD=4$,
$\therefore ∠ PDE=∠ CDO=45°$,
$\therefore △ PDE$ 是等腰直角三角形,
$\therefore PE=PD$,
$\therefore$ 点 $P$ 在线段 $DE$ 的垂直平分线上,
$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标为 $6$.
同理可得此时点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$.
综上所述,点 $P$ 的坐标为 $(4,8)$ 或 $(2,6)$.