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8 a,b 是两个有理数,若 a,b 的乘积为负数,且 a+b＞0,则下列结论正确的是 (
A.$a＞0,b＞0$
B.a,b 两数异号,且正数的绝对值大
C.$a＜0,b＜0$
D.a,b 两数异号,且负数的绝对值大
B
)A.$a＞0,b＞0$
B.a,b 两数异号,且正数的绝对值大
C.$a＜0,b＜0$
D.a,b 两数异号,且负数的绝对值大
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步先根据两数乘积的符号判断a、b的符号关系：回忆有理数乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，乘积为负说明两数异号，先排除符号相同的选项；第二步再根据两数和的符号判断绝对值的大小：异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的数的符号一致，和为正数说明正数的绝对值更大，即可选出正确选项。
【解析】
解：①根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负。
已知$ab＜0$，说明$a$、$b$两数异号，因此A选项（两数均为正）、C选项（两数均为负）不符合要求，排除A、C；
②根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号。
已知$a+b＞0$，和的符号为正，说明正数的绝对值更大，因此D选项（负数绝对值大）错误，排除D。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用题，解题的核心是熟练掌握有理数乘法、加法的符号规律，先通过乘积符号确定两数的符号关系，再结合和的符号确定绝对值的大小关系，掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，第一步先根据两数乘积的符号判断a、b的符号关系：回忆有理数乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，乘积为负说明两数异号，先排除符号相同的选项；第二步再根据两数和的符号判断绝对值的大小：异号两数相加时，和的符号与绝对值更大的数的符号一致，和为正数说明正数的绝对值更大，即可选出正确选项。
【解析】
解：①根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负。
已知$ab＜0$，说明$a$、$b$两数异号，因此A选项（两数均为正）、C选项（两数均为负）不符合要求，排除A、C；
②根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号。
已知$a+b＞0$，和的符号为正，说明正数的绝对值更大，因此D选项（负数绝对值大）错误，排除D。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算法则的综合应用题，解题的核心是熟练掌握有理数乘法、加法的符号规律，先通过乘积符号确定两数的符号关系，再结合和的符号确定绝对值的大小关系，掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
9 如图,数轴上A,B两点所表示的数分别为a,b,则下列式子成立的是 (
A.$ a × b ＞ 0 $
B.$ a + b ＜ 0 $
C.$ (b - 1) × (a + 1) ＞ 0 $
D.$ (b - 1) × (a - 1) ＞ 0 $
C
)A.$ a × b ＞ 0 $
B.$ a + b ＜ 0 $
C.$ (b - 1) × (a + 1) ＞ 0 $
D.$ (b - 1) × (a - 1) ＞ 0 $
答案
9. C
解析
【分析】
解题第一步先通过数轴确定a、b的取值范围：观察数轴可得-1 ＜ a ＜ 0，b ＞ 1。接下来根据有理数的加法、乘法符号法则，逐个分析每个选项中式子的正负性，排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{b ＞ 1}$。
选项A：a为负数，b为正数，异号两数相乘得负，故$a×b＜0$，A错误；
选项B：$|a|＜1$，$b＞1$，正数的绝对值更大，故$a+b＞0$，B错误；
选项C：由$b＞1$得$b-1＞0$，由$a＞-1$得$a+1＞0$，同号两数相乘得正，故$(b-1)×(a+1)＞0$，C正确；
选项D：由$a＜0$得$a-1＜0$，结合$b-1＞0$，异号两数相乘得负，故$(b-1)×(a-1)＜0$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法；有理数加法
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题型，解题核心是先通过数轴准确判断出a、b的取值范围，再结合有理数运算的符号法则逐一验证选项，属于基础类考题，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题第一步先通过数轴确定a、b的取值范围：观察数轴可得-1 ＜ a ＜ 0，b ＞ 1。接下来根据有理数的加法、乘法符号法则，逐个分析每个选项中式子的正负性，排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$\boldsymbol{-1 ＜ a ＜ 0}$，$\boldsymbol{b ＞ 1}$。
选项A：a为负数，b为正数，异号两数相乘得负，故$a×b＜0$，A错误；
选项B：$|a|＜1$，$b＞1$，正数的绝对值更大，故$a+b＞0$，B错误；
选项C：由$b＞1$得$b-1＞0$，由$a＞-1$得$a+1＞0$，同号两数相乘得正，故$(b-1)×(a+1)＞0$，C正确；
选项D：由$a＜0$得$a-1＜0$，结合$b-1＞0$，异号两数相乘得负，故$(b-1)×(a-1)＜0$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法；有理数加法
【点评】
本题是数轴与有理数运算的结合题型，解题核心是先通过数轴准确判断出a、b的取值范围，再结合有理数运算的符号法则逐一验证选项，属于基础类考题，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
10 新考向新定义题 对于两个有理数$x$，$y$，规定$x ※ y=(x-2)×(y+2)$，例如：$1 ※ 2=(1-2)×(2+2)=-4$，则$(-3) ※ (-4)$的值为________.
答案
10. 10
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确新运算符号“※”的运算规则：$x※y$等于$(x-2)$与$(y+2)$的乘积。解题时先确定所求式子中对应$x$、$y$的取值，本题中$x=-3$，$y=-4$，再将取值代入运算公式，按照有理数的运算顺序，先计算括号内的加减法，再计算乘法即可得到结果。
【解析】
根据题中给出的新定义运算规则$x ※ y=(x-2)×(y+2)$，可得：
当$x=-3$，$y=-4$时，
$\begin{split}(-3) ※ (-4)&=(-3-2)×(-4+2)\\&=(-5)×(-2)\\&=10\end{split}$
【答案】
10
【知识点】
新定义运算；有理数乘法运算；有理数加减法运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数四则运算的计算能力，只需准确套用运算规则，计算时注意符号变化即可正确解答。
【难度系数】
0.85
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确新运算符号“※”的运算规则：$x※y$等于$(x-2)$与$(y+2)$的乘积。解题时先确定所求式子中对应$x$、$y$的取值，本题中$x=-3$，$y=-4$，再将取值代入运算公式，按照有理数的运算顺序，先计算括号内的加减法，再计算乘法即可得到结果。
【解析】
根据题中给出的新定义运算规则$x ※ y=(x-2)×(y+2)$，可得：
当$x=-3$，$y=-4$时，
$\begin{split}(-3) ※ (-4)&=(-3-2)×(-4+2)\\&=(-5)×(-2)\\&=10\end{split}$
【答案】
10
【知识点】
新定义运算；有理数乘法运算；有理数加减法运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数四则运算的计算能力，只需准确套用运算规则，计算时注意符号变化即可正确解答。
【难度系数】
0.85
11 有下列说法:① 同号两数相乘,积的符号不变;② 异号两数相乘,积取负号;③ 数$a,b$互为相反数,它们的积一定为负;④ 四个有理数相乘,若有三个负因数,则积为负.其中,正确的是________(填序号).
答案
11. ②
解析
【分析】
解题时需结合有理数乘法的符号法则、相反数的性质，逐个判断每个说法的正误，注意不要忽略0这种特殊情况：首先回忆两数相乘的符号规则，再考虑相反数的特殊情况（0的相反数是0），多个有理数相乘时要先判断是否有0因数，再判断负因数个数对积的符号的影响。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 同号两数相乘，积的符号不变：两个负数相乘时，积为正数，符号与原数不同，例如$(-2)×(-3)=6$，因此①错误；
② 异号两数相乘，积取负号：根据有理数乘法法则，两数相乘，异号得负，异号两数指一正一负，乘积为负，因此②正确；
③ 数$a,b$互为相反数，它们的积一定为负：若$a=b=0$，0的相反数是0，此时$a× b=0$，不是负数，因此③错误；
④ 四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负：若四个有理数中包含因数0，那么乘积为0，不是负数，因此④错误。
综上，只有②正确。
【答案】
②
【知识点】
有理数乘法法则、相反数的性质、多个有理数相乘的符号判断
【点评】
本题重点考察有理数乘法的符号判断规则，解题的关键是要考虑到0的特殊性，避免仅记忆一般规则而忽略特殊情况导致判断失误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合有理数乘法的符号法则、相反数的性质，逐个判断每个说法的正误，注意不要忽略0这种特殊情况：首先回忆两数相乘的符号规则，再考虑相反数的特殊情况（0的相反数是0），多个有理数相乘时要先判断是否有0因数，再判断负因数个数对积的符号的影响。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 同号两数相乘，积的符号不变：两个负数相乘时，积为正数，符号与原数不同，例如$(-2)×(-3)=6$，因此①错误；
② 异号两数相乘，积取负号：根据有理数乘法法则，两数相乘，异号得负，异号两数指一正一负，乘积为负，因此②正确；
③ 数$a,b$互为相反数，它们的积一定为负：若$a=b=0$，0的相反数是0，此时$a× b=0$，不是负数，因此③错误；
④ 四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负：若四个有理数中包含因数0，那么乘积为0，不是负数，因此④错误。
综上，只有②正确。
【答案】
②
【知识点】
有理数乘法法则、相反数的性质、多个有理数相乘的符号判断
【点评】
本题重点考察有理数乘法的符号判断规则，解题的关键是要考虑到0的特殊性，避免仅记忆一般规则而忽略特殊情况导致判断失误。
【难度系数】
0.7
12 在－2，3，4，－5 这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是
12
，最小的是-20
.答案
12. 12 $-20$
解析
【分析】
要解决这道题，首先依据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，且正数都大于负数。因此找最大的积时，优先计算同号两数的乘积，再比较大小即可；找最小的积时，优先计算异号两数的乘积，再根据“负数的绝对值越大，数越小”的规律，找到最小的积即可。
【解析】
1. 求最大的积：
首先计算所有同号两数的乘积：
① 两个负数相乘：$(-2) × (-5) = 10$
② 两个正数相乘：$3 × 4 = 12$
比较两个正数结果：$12 ＞ 10$，因此最大的积是12。
2. 求最小的积：
计算所有异号两数的乘积：
$(-2) × 3 = -6$，$(-2) × 4 = -8$，$3 × (-5) = -15$，$4 × (-5) = -20$
比较负数大小：$-20 ＜ -15 ＜ -8 ＜ -6$，因此最小的积是$-20$。
【答案】
$12$；$-20$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的基础应用，解题核心是熟练掌握有理数乘法的符号规律，可根据“最大积为正数、最小积为负数”的特点缩小计算范围，无需逐一计算所有乘积也能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先依据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，且正数都大于负数。因此找最大的积时，优先计算同号两数的乘积，再比较大小即可；找最小的积时，优先计算异号两数的乘积，再根据“负数的绝对值越大，数越小”的规律，找到最小的积即可。
【解析】
1. 求最大的积：
首先计算所有同号两数的乘积：
① 两个负数相乘：$(-2) × (-5) = 10$
② 两个正数相乘：$3 × 4 = 12$
比较两个正数结果：$12 ＞ 10$，因此最大的积是12。
2. 求最小的积：
计算所有异号两数的乘积：
$(-2) × 3 = -6$，$(-2) × 4 = -8$，$3 × (-5) = -15$，$4 × (-5) = -20$
比较负数大小：$-20 ＜ -15 ＜ -8 ＜ -6$，因此最小的积是$-20$。
【答案】
$12$；$-20$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数乘法的基础应用，解题核心是熟练掌握有理数乘法的符号规律，可根据“最大积为正数、最小积为负数”的特点缩小计算范围，无需逐一计算所有乘积也能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
13 计算：
(1) $3\dfrac{1}{3} × (-1\dfrac{1}{5})$；
(2) $(-2\dfrac{2}{3}) × (-2\dfrac{1}{4})$；
(3) $(-5) × (-8) × 0 × (-10) × (-15)$；
(4) $(-3.75) × (-3\dfrac{1}{3})$；
(5) $2\dfrac{1}{4} × (-1\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{8}{7})$；
(6) $(+\dfrac{1}{2}) × \left| -\dfrac{2}{3} \right| × 2\dfrac{1}{4} × (-5\dfrac{1}{3})$。
(1) $3\dfrac{1}{3} × (-1\dfrac{1}{5})$；
(2) $(-2\dfrac{2}{3}) × (-2\dfrac{1}{4})$；
(3) $(-5) × (-8) × 0 × (-10) × (-15)$；
(4) $(-3.75) × (-3\dfrac{1}{3})$；
(5) $2\dfrac{1}{4} × (-1\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{8}{7})$；
(6) $(+\dfrac{1}{2}) × \left| -\dfrac{2}{3} \right| × 2\dfrac{1}{4} × (-5\dfrac{1}{3})$。
答案
13. (1) $-4$ (2) $6$ (3) $0$ (4) $\dfrac{25}{2}$ (5) $-3$ (6) $-4$
解析
【分析】
解决有理数乘法问题的核心思路分三步：第一步先确定积的符号：根据“同号得正、异号得负”，多个非零有理数相乘时，负因数的个数为奇数则积为负，负因数个数为偶数则积为正；若乘数中含有0，可直接得结果为0。第二步将所有带分数化为假分数、小数化为分数，统一为分数形式方便计算。第三步计算所有乘数绝对值的乘积，约分后结合之前确定的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 先确定符号：一正一负，积为负
将带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$1\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}$
原式$=-(\dfrac{10}{3}×\dfrac{6}{5})= - (\dfrac{10×6}{3×5})=-4$
(2) 先确定符号：两个负数相乘，积为正
将带分数化为假分数：$2\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$，$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$
原式$=\dfrac{8}{3}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{8×9}{3×4}=6$
(3) 因为乘数中含有因数0，根据“0乘任何数都得0”，可得原式$=0$
(4) 先确定符号：两个负数相乘，积为正
将小数和带分数化为分数：$-3.75=-\dfrac{15}{4}$，$3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$
原式$=\dfrac{15}{4}×\dfrac{10}{3}=\dfrac{15×10}{4×3}=\dfrac{25}{2}$
(5) 先确定符号：共有3个负因数，个数为奇数，积为负
将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$1\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}$
原式$=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{7}{4}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{8}{7})$
约分计算得绝对值乘积为3，所以原式$=-3$
(6) 先算绝对值：$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，再确定符号：只有1个负因数，积为负
将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$
原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{9}{4}×\dfrac{16}{3})$
约分计算得绝对值乘积为4，所以原式$=-4$
【答案】
(1) $-4$ (2) $6$ (3) $0$ (4) $\dfrac{25}{2}$ (5) $-3$ (6) $-4$
【知识点】
有理数乘法法则，分数小数互化，绝对值的性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先判断积的符号再计算绝对值，遇到带分数优先化为假分数，存在因数0时可直接得结果，计算过程中及时约分能大幅简化运算、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解决有理数乘法问题的核心思路分三步：第一步先确定积的符号：根据“同号得正、异号得负”，多个非零有理数相乘时，负因数的个数为奇数则积为负，负因数个数为偶数则积为正；若乘数中含有0，可直接得结果为0。第二步将所有带分数化为假分数、小数化为分数，统一为分数形式方便计算。第三步计算所有乘数绝对值的乘积，约分后结合之前确定的符号得到最终结果。
【解析】
(1) 先确定符号：一正一负，积为负
将带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$1\dfrac{1}{5}=\dfrac{6}{5}$
原式$=-(\dfrac{10}{3}×\dfrac{6}{5})= - (\dfrac{10×6}{3×5})=-4$
(2) 先确定符号：两个负数相乘，积为正
将带分数化为假分数：$2\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$，$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$
原式$=\dfrac{8}{3}×\dfrac{9}{4}=\dfrac{8×9}{3×4}=6$
(3) 因为乘数中含有因数0，根据“0乘任何数都得0”，可得原式$=0$
(4) 先确定符号：两个负数相乘，积为正
将小数和带分数化为分数：$-3.75=-\dfrac{15}{4}$，$3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$
原式$=\dfrac{15}{4}×\dfrac{10}{3}=\dfrac{15×10}{4×3}=\dfrac{25}{2}$
(5) 先确定符号：共有3个负因数，个数为奇数，积为负
将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$1\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}$
原式$=-(\dfrac{9}{4}×\dfrac{7}{4}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{8}{7})$
约分计算得绝对值乘积为3，所以原式$=-3$
(6) 先算绝对值：$\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，再确定符号：只有1个负因数，积为负
将带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$，$5\dfrac{1}{3}=\dfrac{16}{3}$
原式$=-(\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{9}{4}×\dfrac{16}{3})$
约分计算得绝对值乘积为4，所以原式$=-4$
【答案】
(1) $-4$ (2) $6$ (3) $0$ (4) $\dfrac{25}{2}$ (5) $-3$ (6) $-4$
【知识点】
有理数乘法法则，分数小数互化，绝对值的性质
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题的关键是先判断积的符号再计算绝对值，遇到带分数优先化为假分数，存在因数0时可直接得结果，计算过程中及时约分能大幅简化运算、降低出错概率。
【难度系数】
0.8
14 计算: $(\dfrac{1}{2026} - 1) × (\dfrac{1}{2025} - 1) × (\dfrac{1}{2024} - 1) × (\dfrac{1}{2023} - 1) × \dots × (\dfrac{1}{3} - 1) × (\dfrac{1}{2} - 1).$
答案
14. 原式$=(-\dfrac{2025}{2026}) × (-\dfrac{2024}{2025}) × (-\dfrac{2023}{2024}) × (-\dfrac{2022}{2023}) × \dots × (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{1}{2}) = -\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dfrac{2022}{2023}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2026}$
解析
【分析】
解题时先观察算式的结构，每个因式都是$(\dfrac{1}{n}-1)$的形式，第一步先计算每个括号内的减法，将其转化为分数形式；接下来统计负因数的个数，根据有理数乘法的符号法则确定最终结果的符号；最后观察相邻分数的分子分母特点，通过约分简化计算，就能快速得到结果。
【解析】
先计算每个括号内的减法：
原式$=(-\dfrac{2025}{2026}) × (-\dfrac{2024}{2025}) × (-\dfrac{2023}{2024}) × (-\dfrac{2022}{2023}) × \dots × (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{1}{2})$
观察可知，算式中共有2025个负因数，负因数个数为奇数，因此乘积为负，去掉负号后相邻分数的分子分母可依次约分：
$= -(\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2})$
约分后剩余第一个分数的分母和最后一个分数的分子：
$=-\dfrac{1}{2026}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
有理数减法，有理数乘法法则，分数约分
【点评】
本题是有理数乘法的典型巧算题，解题的核心是先化简每个因式，再通过约分大幅降低计算量，要特别注意负因数个数的判断，避免符号计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时先观察算式的结构，每个因式都是$(\dfrac{1}{n}-1)$的形式，第一步先计算每个括号内的减法，将其转化为分数形式；接下来统计负因数的个数，根据有理数乘法的符号法则确定最终结果的符号；最后观察相邻分数的分子分母特点，通过约分简化计算，就能快速得到结果。
【解析】
先计算每个括号内的减法：
原式$=(-\dfrac{2025}{2026}) × (-\dfrac{2024}{2025}) × (-\dfrac{2023}{2024}) × (-\dfrac{2022}{2023}) × \dots × (-\dfrac{2}{3}) × (-\dfrac{1}{2})$
观察可知，算式中共有2025个负因数，负因数个数为奇数，因此乘积为负，去掉负号后相邻分数的分子分母可依次约分：
$= -(\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2024}{2025}×\dfrac{2023}{2024}×\dots×\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2})$
约分后剩余第一个分数的分母和最后一个分数的分子：
$=-\dfrac{1}{2026}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
有理数减法，有理数乘法法则，分数约分
【点评】
本题是有理数乘法的典型巧算题，解题的核心是先化简每个因式，再通过约分大幅降低计算量，要特别注意负因数个数的判断，避免符号计算出错。
【难度系数】
0.7
