4. 如图,直线$y=mx+n$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A(-4,0)$、点$B(0,2)$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$P$,过点$P$作$PC⊥x$轴,垂足为点$C$.
(1)求直线$AB$的解析式;
(2)若四边形$BOCP$的面积为$5$,求$k$的值,并直接写出不等式$mx+n＜\frac{k}{x}$的取值范围.

解：
(1) 将点$A(-4,0)$、$B(0,2)$代入$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}-4m + n = 0 \\n = 2\end{cases}$
将$n=2$代入$-4m + n = 0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
因此直线$AB$的解析式为$y=\frac{1}{2}x + 2$。
(2) 设点$P$的坐标为$(t,\frac{1}{2}t+2)$，其中$t＞0$。
由题意可知四边形$BOCP$为直角梯形，$OB=2$，$OC=t$，$PC=\frac{1}{2}t+2$，根据梯形面积公式：
$S_{BOCP}=\frac{1}{2}(OB + PC)· OC = 5$
代入得：
$\frac{1}{2}(2 + \frac{1}{2}t + 2)· t = 5$
整理得$t^2 +8t -20=0$，解得$t_1=2$，$t_2=-10$（不符合$t＞0$，舍去）。
将$t=2$代入，得点$P$坐标为$(2,3)$。
将$P(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×3=6$。
不等式$mx+n＜\frac{k}{x}$的取值范围是$0＜x＜2$。
综上，$k$的值为$\boldsymbol{6}$，不等式的取值范围为$\boldsymbol{0＜x＜2}$。