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9.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(含台阶的最上层)。已知这种地毯的批发价为20元/$\mathrm{m}^2$，升旗台的台阶宽为3 m，其侧面如图所示。购买地毯至少需要多少元？
答案
9.解:如图
。∵把台阶侧面的边向上、向左、向右平移,构成一个长方形,长、宽分别为6.4 m,3.8 m,
∴地毯的长度为 6.4+3.8+3.8=14(m)。
∴地毯的面积为 14×3=42(m²)。
∴买地毯至少需要 42×20=840(元)。
答:买地毯至少需要 840 元。
解析
【分析】
要计算购买地毯的总费用，需要先求出地毯的总面积：已知台阶宽为3m，只需先求出地毯的总长度。对于台阶类的边长计算问题，可采用平移法简化计算：将台阶的所有横向边平移后总和等于底部长度6.4m，将左右两侧台阶的竖向边分别平移后，总和等于2个3.8m，相加即可得到地毯总长度，再结合宽度计算面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
解：如图。
利用平移的性质，把台阶侧面的边向上、向左、向右平移，可发现：
台阶所有横向部分的总长度为6.4m，左右两侧竖向部分的总长度为$3.8+3.8=7.6\mathrm{m}$，
因此地毯的总长度为 $6.4+7.6=14(\mathrm{m})$。
已知台阶宽为3m，因此地毯的面积为 $14× 3=42(\mathrm{m}^2)$。
已知地毯单价为20元/$\mathrm{m}^2$，因此总费用为 $42× 20=840(\mathrm{元})$。
答：买地毯至少需要840元。
【答案】
解:如图。
∵把台阶侧面的边向上、向左、向右平移,构成一个长方形,长、宽分别为6.4 m,3.8 m,
∴地毯的长度为 $6.4+3.8+3.8=14(\mathrm{m})$。
∴地毯的面积为 $14× 3=42(\mathrm{m}^2)$。
∴买地毯至少需要 $42× 20=840(\mathrm{元})$。
答:买地毯至少需要 840 元。
【知识点】
图形的平移，长方形面积计算，总价计算
【点评】
本题是平移思想在实际生活中的典型应用，解题核心是通过平移将不规则的台阶边长转化为已知长度的和，避免逐一计算每级台阶的长度，简化了计算过程，这类题型要求学生掌握转化思想，学会将不规则问题转化为规则问题求解。
【难度系数】
0.7
要计算购买地毯的总费用，需要先求出地毯的总面积：已知台阶宽为3m，只需先求出地毯的总长度。对于台阶类的边长计算问题，可采用平移法简化计算：将台阶的所有横向边平移后总和等于底部长度6.4m，将左右两侧台阶的竖向边分别平移后，总和等于2个3.8m，相加即可得到地毯总长度，再结合宽度计算面积，最后乘单价即可得到总费用。
【解析】
解：如图
。利用平移的性质，把台阶侧面的边向上、向左、向右平移，可发现：
台阶所有横向部分的总长度为6.4m，左右两侧竖向部分的总长度为$3.8+3.8=7.6\mathrm{m}$，
因此地毯的总长度为 $6.4+7.6=14(\mathrm{m})$。
已知台阶宽为3m，因此地毯的面积为 $14× 3=42(\mathrm{m}^2)$。
已知地毯单价为20元/$\mathrm{m}^2$，因此总费用为 $42× 20=840(\mathrm{元})$。
答：买地毯至少需要840元。
【答案】
解:如图
。∵把台阶侧面的边向上、向左、向右平移,构成一个长方形,长、宽分别为6.4 m,3.8 m,
∴地毯的长度为 $6.4+3.8+3.8=14(\mathrm{m})$。
∴地毯的面积为 $14× 3=42(\mathrm{m}^2)$。
∴买地毯至少需要 $42× 20=840(\mathrm{元})$。
答:买地毯至少需要 840 元。
【知识点】
图形的平移，长方形面积计算，总价计算
【点评】
本题是平移思想在实际生活中的典型应用，解题核心是通过平移将不规则的台阶边长转化为已知长度的和，避免逐一计算每级台阶的长度，简化了计算过程，这类题型要求学生掌握转化思想，学会将不规则问题转化为规则问题求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ O=90°$，以点$A$为旋转中心，把$△ ABO$顺时针旋转得$△ ACD$，记旋转角为$α$，$∠ ABO$为$β$。若旋转后满足$BC // OA$，则$α$与$β$之间的数量关系为（
A.$α=β$
B.$α=2β$
C.$α+β=90°$
D.$α+2β=180°$
B
）A.$α=β$
B.$α=2β$
C.$α+β=90°$
D.$α+2β=180°$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AC，旋转角∠BAC=α，同时结合Rt△AOB的直角得到∠OAB与β的关系；再利用BC//OA的平行线性质，得到内错角相等，推出∠ABC的度数；最后结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，列式化简即可得到α和β的数量关系。
【解析】
解：由旋转的性质可知，AB=AC，旋转角∠BAC=α。
在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=β，因此∠OAB=90°-β。
∵BC//OA，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABC=∠OAB=90°-β。
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=90°-β。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
代入对应角度得：α + 2(90°-β) = 180°
展开化简：α + 180° - 2β = 180°，即α=2β。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是抓住旋转前后的等量关系，结合平行线、等腰三角形的角的性质推导角度关系，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得AB=AC，旋转角∠BAC=α，同时结合Rt△AOB的直角得到∠OAB与β的关系；再利用BC//OA的平行线性质，得到内错角相等，推出∠ABC的度数；最后结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，列式化简即可得到α和β的数量关系。
【解析】
解：由旋转的性质可知，AB=AC，旋转角∠BAC=α。
在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=β，因此∠OAB=90°-β。
∵BC//OA，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABC=∠OAB=90°-β。
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB=90°-β。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
代入对应角度得：α + 2(90°-β) = 180°
展开化简：α + 180° - 2β = 180°，即α=2β。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是抓住旋转前后的等量关系，结合平行线、等腰三角形的角的性质推导角度关系，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$4×4$的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）。若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有
4
种。答案
11.4
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形、中心对称图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形。其次明确作图要求：新作的格点正方形与原阴影无重叠，两者组成的图形同时满足轴对称、中心对称。接下来结合4×4网格的结构特点，从剩余区域中逐一尝试放置格点正方形，验证是否符合所有要求，最后统计符合要求的作法数量即可。
【解析】
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，结合网格特征逐一排查：
1. 新作格点正方形需与原左上角阴影无重叠，且二者组合后沿某条直线对折可完全重合，绕某点旋转180°也可与自身重合。
2. 对网格中所有可能放置格点正方形的位置逐一验证，最终可得共有4种符合所有要求的作法。
【答案】
4
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；格点作图
【点评】
本题侧重考察对轴对称和中心对称概念的理解与应用，需要结合网格特点全面排查符合条件的情况，避免漏解，能够锻炼学生的空间想象能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确轴对称图形、中心对称图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后能与自身重合的图形。其次明确作图要求：新作的格点正方形与原阴影无重叠，两者组成的图形同时满足轴对称、中心对称。接下来结合4×4网格的结构特点，从剩余区域中逐一尝试放置格点正方形，验证是否符合所有要求，最后统计符合要求的作法数量即可。
【解析】
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，结合网格特征逐一排查：
1. 新作格点正方形需与原左上角阴影无重叠，且二者组合后沿某条直线对折可完全重合，绕某点旋转180°也可与自身重合。
2. 对网格中所有可能放置格点正方形的位置逐一验证，最终可得共有4种符合所有要求的作法。
【答案】
4
【知识点】
轴对称图形；中心对称图形；格点作图
【点评】
本题侧重考察对轴对称和中心对称概念的理解与应用，需要结合网格特点全面排查符合条件的情况，避免漏解，能够锻炼学生的空间想象能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
12.如图1,我们把一副三角尺按如图的位置摆放在一起,其中OA,OD在一条直线上,∠B=45°,∠C=30°。
(1)求∠BOC的度数。
(2)如图2,将图1中的△OAB以点O为旋转中心顺时针旋转到△OA'B'的位置。当∠AOA'为多少度时,OB'平分∠COD?
(3)如图3,两个三角尺的直角边OA,OD摆放在同一条直线上,另一条直角边OB,OC也在同一条直线上。将△OAB绕点O顺时针旋转一周,在旋转过程中,当AB//CD时,旋转角的度数是多少?
(1)求∠BOC的度数。
(2)如图2,将图1中的△OAB以点O为旋转中心顺时针旋转到△OA'B'的位置。当∠AOA'为多少度时,OB'平分∠COD?
(3)如图3,两个三角尺的直角边OA,OD摆放在同一条直线上,另一条直角边OB,OC也在同一条直线上。将△OAB绕点O顺时针旋转一周,在旋转过程中,当AB//CD时,旋转角的度数是多少?
答案
12.解:(1)
∵∠AOB=45°,∠COD=60°,
∴∠BOC = 180°-∠AOB-∠COD = 180°-45°-60°=75°。
(2)
∵△OAB以O为旋转中心顺时针旋转得到△OA'B',
∴∠A'OB'=∠AOB=45°。
∵∠COD=60°,OB'平分∠COD,
∴∠COB'=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=45°-30°=15°。
∴∠DOA' = ∠COA'+∠COD = 15°+60°=75°。
∴∠AOA' = 180°-∠DOA' = 180°-75°=105°。
(3)如图1
,当A'B'与OD相交于点E时,∵A'B'//CD,
∴∠D=∠A'EO=60°。
∵∠A'EO=∠B'+∠EOB',
∴∠EOB'=60°-45°=15°。
∴∠BOB'=90°+15°=105°。
如图2
,当A'B'与AO相交于点F时,∵A'B'//CD,
∴∠D=∠A'FO=60°。
∴∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=75°。
∴旋转的角度=360°-75°=285°。
综上所述,旋转角的度数为105°或285°。
解析
【分析】
(1) 首先明确两个三角尺的已知内角，∠AOB=45°，∠COD=60°，且OA、OD共线构成180°的平角，用平角度数减去两个已知角的度数，即可求出∠BOC的度数。
(2) 利用旋转的性质，旋转前后对应角大小不变，可得∠A'OB'=∠AOB=45°。结合角平分线的定义先求出∠COB'的度数，再通过角的和差关系逐步推导，就能得到∠AOA'的度数。
(3) 旋转一周过程中AB与CD平行有两种情况，结合平行线的同位角相等的性质，再利用三角形外角或内角和定理分别计算两种情况的旋转角，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵∠AOB=45°，∠COD=60°，OA、OD在同一直线上，即∠AOD=180°，
∴∠BOC = 180°-∠AOB-∠COD = 180°-45°-60°=75°。
(2)
∵△OAB以O为旋转中心顺时针旋转得到△OA'B'，根据旋转的性质，对应角相等，
∴∠A'OB'=∠AOB=45°。
∵∠COD=60°，OB'平分∠COD，
∴∠COB'=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=45°-30°=15°。
∴∠DOA' = ∠COA'+∠COD = 15°+60°=75°。
∴∠AOA' = 180°-∠DOA' = 180°-75°=105°。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图1，当A'B'与OD相交于点E时，
∵A'B'//CD，
∴∠D=∠A'EO=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠A'EO是△OB'E的外角，即∠A'EO=∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'=60°-45°=15°。
∴旋转角∠BOB'=90°+15°=105°。
② 如图2，当A'B'与AO相交于点F时，
∵A'B'//CD，
∴∠D=∠A'FO=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△A'OF中，∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=180°-60°-45°=75°。
∴旋转的角度=360°-75°=285°。
综上所述，旋转角的度数为105°或285°。
【答案】
(1) 75°；
(2) 105°；
(3) 105°或285°。
【知识点】
平角的定义、旋转的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角的计算，前两问侧重基础的角的和差运算与旋转性质的应用，第三问需要分类讨论平行的两种情况，能够考查思维的严谨性，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确两个三角尺的已知内角，∠AOB=45°，∠COD=60°，且OA、OD共线构成180°的平角，用平角度数减去两个已知角的度数，即可求出∠BOC的度数。
(2) 利用旋转的性质，旋转前后对应角大小不变，可得∠A'OB'=∠AOB=45°。结合角平分线的定义先求出∠COB'的度数，再通过角的和差关系逐步推导，就能得到∠AOA'的度数。
(3) 旋转一周过程中AB与CD平行有两种情况，结合平行线的同位角相等的性质，再利用三角形外角或内角和定理分别计算两种情况的旋转角，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵∠AOB=45°，∠COD=60°，OA、OD在同一直线上，即∠AOD=180°，
∴∠BOC = 180°-∠AOB-∠COD = 180°-45°-60°=75°。
(2)
∵△OAB以O为旋转中心顺时针旋转得到△OA'B'，根据旋转的性质，对应角相等，
∴∠A'OB'=∠AOB=45°。
∵∠COD=60°，OB'平分∠COD，
∴∠COB'=$\frac{1}{2}$∠COD=30°。
∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=45°-30°=15°。
∴∠DOA' = ∠COA'+∠COD = 15°+60°=75°。
∴∠AOA' = 180°-∠DOA' = 180°-75°=105°。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图1
，当A'B'与OD相交于点E时，∵A'B'//CD，
∴∠D=∠A'EO=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠A'EO是△OB'E的外角，即∠A'EO=∠B'+∠EOB'，
∴∠EOB'=60°-45°=15°。
∴旋转角∠BOB'=90°+15°=105°。
② 如图2
，当A'B'与AO相交于点F时，∵A'B'//CD，
∴∠D=∠A'FO=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△A'OF中，∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=180°-60°-45°=75°。
∴旋转的角度=360°-75°=285°。
综上所述，旋转角的度数为105°或285°。
【答案】
(1) 75°；
(2) 105°；
(3) 105°或285°。
【知识点】
平角的定义、旋转的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查角的计算，前两问侧重基础的角的和差运算与旋转性质的应用，第三问需要分类讨论平行的两种情况，能够考查思维的严谨性，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
