16.根据以下信息,探索完成任务.
| | | 如何设计窗户限位器位置 |
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| 信息1 | 问题背景 | 平开窗是生活中常见的一种窗户,安装平开窗需要一种滑撑支架,如图所示是这种平开窗的实物展示图. |
| 信息2 | 数学抽象 | 把上述实物图抽象成如图所示的示意图.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边,EF固定在窗页底边,B,C,D三点固定在同一直线上.当窗户关闭时,点E与点A重合,DE和DB均落在AB上;当点O向点B滑动时,四边形OCDE始终为平行四边形,其中OE=8 cm,DE=16 cm,BC=17 cm. |
| 信息3 | 安全规范 | 窗户打开一定角度后,OC与AB形成一个角∠COB.出于安全考虑,部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求:平开窗的开启角度应该控制在30°及以内(即∠COB≤30°). |
| 问题解决 | | |
| 任务1 | 求解关键数量 | 填空:滑撑支架中CD的长度为cm,滑动轨道AB的长度是cm. |
| 任务2 | 确定安装方案 | 为符合安全规范要求,某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P,控制平开窗的开启角度,当点O滑动到点P时∠COB=30°,则限位器P应装在离点A多远的位置(结果保留根号)? |

16.解:任务1:8 41
任务2:如图所示,过点C作$CM⊥ AB$于点M。
∵当点O滑动到点P时$∠ COB=30°$,
∴$CM=\dfrac{1}{2}OC=8\ \mathrm{cm}$,$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
∵$BC=17\ \mathrm{cm}$,
∴$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=15\ \mathrm{cm}$.
∴$AP=AB-OM-BM=41-8\sqrt{3}-15=(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$.
∴限位器P应装在离点A$(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$处.

【分析】
任务1解题思路：首先根据四边形OCDE是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，可得CD与OE长度相等，直接代入OE的数值即可得到CD的长；窗户关闭时DE、DB都落在AB上，因此AB的总长度等于DE、CD、BC三段长度之和，代入已知数据计算即可。
任务2解题思路：要求限位器P到点A的距离AP，可先过C作CM垂直AB构造直角三角形。先由平行四边形对边相等得到OC的长度，结合∠COB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出CM的长度，再用勾股定理分别求出OM、BM的长度，最后用AB的总长度减去OM和BM的长度，就能得到AP的长度。
【解析】
任务1
∵四边形OCDE是平行四边形，平行四边形对边相等
∴$CD=OE=8\ \mathrm{cm}$
当窗户关闭时，DE、DB均落在AB上，因此：
$AB=DE+CD+BC=16+8+17=41\ \mathrm{cm}$
任务2
如图所示，过点C作$CM⊥ AB$于点M。
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴$OC=DE=16\ \mathrm{cm}$
∵当点O滑动到点P时$∠ COB=30°$，在$Rt△ COM$中，30°角所对直角边是斜边的一半
∴$CM=\dfrac{1}{2}OC=8\ \mathrm{cm}$
由勾股定理可得：$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在$Rt△ BCM$中，$BC=17\ \mathrm{cm}$，由勾股定理可得：
$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15\ \mathrm{cm}$
因此AP的长度为：
$AP=AB-OM-BM=41-8\sqrt{3}-15=(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$
【答案】
任务1：$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{41}$；
任务2：限位器P应装在离点A$\boldsymbol{(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$处。

【知识点】
平行四边形的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，将实际问题转化为几何模型是解题的突破口，需要学生熟练掌握平行四边形和直角三角形的相关性质，能很好地锻炼学生数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65