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13. 解不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≤ 5 - x, & ① \\x - 1 ＜ \dfrac{3x}{2}, & ②\end{cases}$ 并求出其所有整数解的和.
答案
$-2＜x≤2$，原不等式组的所有整数解的和为2.
解析
【分析】
解一元一次不等式组需遵循“分求、合找”的思路：第一步分别求解每个一元一次不等式，注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要改变；第二步根据两个不等式的解集，利用“大小小大中间找”等口诀确定不等式组的公共解集；第三步在公共解集内找出所有整数，最后将整数相加得到结果。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$2x - 1 ≤ 5 - x$：
移项得：$2x + x ≤ 5 + 1$
合并同类项得：$3x ≤ 6$
两边同时除以3得：$x ≤ 2$
2. 解不等式②$x - 1 ＜ \dfrac{3x}{2}$：
移项得：$x - \dfrac{3x}{2} ＜ 1$
合并同类项得：$-\dfrac{x}{2} ＜ 1$
两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ -2$
3. 确定不等式组的公共解集：
结合两个解集$x ≤ 2$和$x ＞ -2$，可得不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 2$。
4. 求所有整数解的和：
在$-2 ＜ x ≤ 2$范围内的整数解为$-1、0、1、2$，
求和得：$-1 + 0 + 1 + 2 = 2$。
【答案】
不等式组的解集为$-2＜x≤2$，所有整数解的和为2。
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定；整数解计算
【点评】
本题是不等式组的常规基础题，核心考查解不等式的基本操作和确定公共解集的能力，解题时要格外注意解含系数为负的不等式时，不等号方向需要改变，枚举整数解时要避免漏解、多解的问题。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式组需遵循“分求、合找”的思路：第一步分别求解每个一元一次不等式，注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要改变；第二步根据两个不等式的解集，利用“大小小大中间找”等口诀确定不等式组的公共解集；第三步在公共解集内找出所有整数，最后将整数相加得到结果。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$2x - 1 ≤ 5 - x$：
移项得：$2x + x ≤ 5 + 1$
合并同类项得：$3x ≤ 6$
两边同时除以3得：$x ≤ 2$
2. 解不等式②$x - 1 ＜ \dfrac{3x}{2}$：
移项得：$x - \dfrac{3x}{2} ＜ 1$
合并同类项得：$-\dfrac{x}{2} ＜ 1$
两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，得：$x ＞ -2$
3. 确定不等式组的公共解集：
结合两个解集$x ≤ 2$和$x ＞ -2$，可得不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 2$。
4. 求所有整数解的和：
在$-2 ＜ x ≤ 2$范围内的整数解为$-1、0、1、2$，
求和得：$-1 + 0 + 1 + 2 = 2$。
【答案】
不等式组的解集为$-2＜x≤2$，所有整数解的和为2。
【知识点】
一元一次不等式解法；不等式组解集确定；整数解计算
【点评】
本题是不等式组的常规基础题，核心考查解不等式的基本操作和确定公共解集的能力，解题时要格外注意解含系数为负的不等式时，不等号方向需要改变，枚举整数解时要避免漏解、多解的问题。
【难度系数】
0.85
14. 已知关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x+y=1+2m, \\x+2y=2-m\end{cases}$ 的解满足不等式 $ x+y＞0 $.
（1）求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式 $(6m+1)x -6m ＜1$ 的解集为 $ x＞1 $，请求出整数 $ m $ 的值.
（1）求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式 $(6m+1)x -6m ＜1$ 的解集为 $ x＞1 $，请求出整数 $ m $ 的值.
答案
(1)$m＞-3$.
(2)整数 m 的值为-2，-1.
(2)整数 m 的值为-2，-1.
解析
【分析】
（1）要确定m的取值范围，无需单独求解x、y的值，观察方程组两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，即可得到x+y关于m的表达式，再代入$x+y＞0$的不等式，解一元一次不等式就能求出m的范围。
（2）先对给定的不等式移项整理，已知解集为$x＞1$，说明不等号方向发生了改变，根据不等式的性质可推出未知数x的系数小于0，解该不等式得到m的取值上限，再结合（1）中m的范围，找出范围内的整数m即可。
【解析】
（1）将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(2x+y)+(x+2y)&=(1+2m)+(2-m)\\3x+3y&=3+m\\3(x+y)&=3+m\end{aligned}$
两边同时除以3，得$x+y=\frac{3+m}{3}$
∵ $x+y＞0$
∴ $\frac{3+m}{3}＞0$
两边同时乘3得$3+m＞0$
解得$m＞-3$
（2）整理不等式$(6m+1)x -6m ＜1$：
移项得$(6m+1)x ＜ 6m+1$
∵ 不等式的解集为$x＞1$，不等号方向发生改变
∴ 未知数系数$6m+1＜0$
解该不等式：
$6m＜-1$
$m＜-\frac{1}{6}$
结合（1）的结论$m＞-3$，可得m的取值范围为$-3＜m＜-\frac{1}{6}$
∵ m为整数
∴ 整数m的值为-2、-1
【答案】
(1)$m＞-3$；(2)整数m的值为-2，-1。
【知识点】
方程组整体变形、一元一次不等式求解、不等式的性质
【点评】
本题考查了整体思想在方程组中的运用，以及含参一元一次不等式解集和系数符号的关系，解题时需注意不等号方向改变时未知数系数为负的核心要点，能有效检验代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要确定m的取值范围，无需单独求解x、y的值，观察方程组两个方程的系数特征，将两个方程左右两边直接相加，即可得到x+y关于m的表达式，再代入$x+y＞0$的不等式，解一元一次不等式就能求出m的范围。
（2）先对给定的不等式移项整理，已知解集为$x＞1$，说明不等号方向发生了改变，根据不等式的性质可推出未知数x的系数小于0，解该不等式得到m的取值上限，再结合（1）中m的范围，找出范围内的整数m即可。
【解析】
（1）将方程组的两个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(2x+y)+(x+2y)&=(1+2m)+(2-m)\\3x+3y&=3+m\\3(x+y)&=3+m\end{aligned}$
两边同时除以3，得$x+y=\frac{3+m}{3}$
∵ $x+y＞0$
∴ $\frac{3+m}{3}＞0$
两边同时乘3得$3+m＞0$
解得$m＞-3$
（2）整理不等式$(6m+1)x -6m ＜1$：
移项得$(6m+1)x ＜ 6m+1$
∵ 不等式的解集为$x＞1$，不等号方向发生改变
∴ 未知数系数$6m+1＜0$
解该不等式：
$6m＜-1$
$m＜-\frac{1}{6}$
结合（1）的结论$m＞-3$，可得m的取值范围为$-3＜m＜-\frac{1}{6}$
∵ m为整数
∴ 整数m的值为-2、-1
【答案】
(1)$m＞-3$；(2)整数m的值为-2，-1。
【知识点】
方程组整体变形、一元一次不等式求解、不等式的性质
【点评】
本题考查了整体思想在方程组中的运用，以及含参一元一次不等式解集和系数符号的关系，解题时需注意不等号方向改变时未知数系数为负的核心要点，能有效检验代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
15. 已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满.根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？
答案
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨.
(2)共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1 040元.
(2)共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1 040元.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过设未知数，根据题干给出的两个运货等量关系列二元一次方程组求解，直接得到A、B型车的单次运货量。
(2) 第二问先设租用A型车a辆、B型车b辆，根据总运货量34吨列出二元一次不定方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，找出所有符合条件的整数解，再分别计算每种方案的租金，比较后得出费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\ x + 2y = 11\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4x + 2y = 20$，用该式减去第二个方程：
$4x + 2y - (x + 2y) = 20 - 11$
$3x = 9$，解得$x=3$
把$x=3$代入$2x + y = 10$，得$6 + y = 10$，解得$y=4$
(2) 设租用A型车a辆，B型车b辆，依题意得：
$3a + 4b = 34$，其中a、b均为非负整数
变形得$a = \frac{34 - 4b}{3}$，由$a≥0$得$34-4b≥0$，即$b≤8.5$，因此b可取0到8的整数，代入验证：
当b=1时，$a=\frac{34-4×1}{3}=10$，符合要求；
当b=4时，$a=\frac{34-4×4}{3}=6$，符合要求；
当b=7时，$a=\frac{34-4×7}{3}=2$，符合要求；
其余b的取值均使a不是非负整数，舍去，因此共有3种租车方案：
方案一：租A型车10辆，B型车1辆，费用为$10×100 + 1×120 = 1120$元；
方案二：租A型车6辆，B型车4辆，费用为$6×100 + 4×120 = 1080$元；
方案三：租A型车2辆，B型车7辆，费用为$2×100 + 7×120 = 1040$元；
比较可知$1040＜1080＜1120$，因此方案三费用最少。
【答案】
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨。
(2)共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，既考查了学生根据等量关系列方程组求解的基础能力，又通过不定方程整数解的求解、方案费用比较，锻炼了学生结合实际场景分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可通过设未知数，根据题干给出的两个运货等量关系列二元一次方程组求解，直接得到A、B型车的单次运货量。
(2) 第二问先设租用A型车a辆、B型车b辆，根据总运货量34吨列出二元一次不定方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，找出所有符合条件的整数解，再分别计算每种方案的租金，比较后得出费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\ x + 2y = 11\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4x + 2y = 20$，用该式减去第二个方程：
$4x + 2y - (x + 2y) = 20 - 11$
$3x = 9$，解得$x=3$
把$x=3$代入$2x + y = 10$，得$6 + y = 10$，解得$y=4$
(2) 设租用A型车a辆，B型车b辆，依题意得：
$3a + 4b = 34$，其中a、b均为非负整数
变形得$a = \frac{34 - 4b}{3}$，由$a≥0$得$34-4b≥0$，即$b≤8.5$，因此b可取0到8的整数，代入验证：
当b=1时，$a=\frac{34-4×1}{3}=10$，符合要求；
当b=4时，$a=\frac{34-4×4}{3}=6$，符合要求；
当b=7时，$a=\frac{34-4×7}{3}=2$，符合要求；
其余b的取值均使a不是非负整数，舍去，因此共有3种租车方案：
方案一：租A型车10辆，B型车1辆，费用为$10×100 + 1×120 = 1120$元；
方案二：租A型车6辆，B型车4辆，费用为$6×100 + 4×120 = 1080$元；
方案三：租A型车2辆，B型车7辆，费用为$2×100 + 7×120 = 1040$元；
比较可知$1040＜1080＜1120$，因此方案三费用最少。
【答案】
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨。
(2)共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，既考查了学生根据等量关系列方程组求解的基础能力，又通过不定方程整数解的求解、方案费用比较，锻炼了学生结合实际场景分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
