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1. 某校八年级共有 200 名学生,平均年龄为14 岁,年龄的方差为 3,则该校八年级 200 名学生年龄的离差平方和为（
A.0
B.3
C.42
D.600
D
）A.0
B.3
C.42
D.600
答案
1.D 解析:离差平方和=200×3=600.故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，需明确方差与离差平方和的关系：方差是离差平方和除以数据的总个数，因此离差平方和可通过“方差×数据总个数”计算。题目中已知学生总人数（数据个数）和方差，代入公式即可求出结果。
【解析】
根据方差的计算公式：方差 = 离差平方和 ÷ 数据总个数，变形可得：离差平方和 = 方差 × 数据总个数。
已知该校八年级学生总人数为200（数据总个数），年龄方差为3，代入计算得：离差平方和 = 3 × 200 = 600。
【答案】
D
【知识点】
方差、离差平方和
【点评】
本题考查统计中基础量的换算关系，属于概念应用类基础题，只要牢记方差与离差平方和的公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需明确方差与离差平方和的关系：方差是离差平方和除以数据的总个数，因此离差平方和可通过“方差×数据总个数”计算。题目中已知学生总人数（数据个数）和方差，代入公式即可求出结果。
【解析】
根据方差的计算公式：方差 = 离差平方和 ÷ 数据总个数，变形可得：离差平方和 = 方差 × 数据总个数。
已知该校八年级学生总人数为200（数据总个数），年龄方差为3，代入计算得：离差平方和 = 3 × 200 = 600。
【答案】
D
【知识点】
方差、离差平方和
【点评】
本题考查统计中基础量的换算关系，属于概念应用类基础题，只要牢记方差与离差平方和的公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. (2024·雅安中考改编)某校开展了红色经典故事演讲比赛,其中8名同学的成绩(单位:分)分别为:85,81,82,86,82,83,92,89.关于这组数据,下列说法中正确的是 （
A.中位数是 84.5
B.平均数是 84
C.离差平方和为 54
D.方差是 13
D
）A.中位数是 84.5
B.平均数是 84
C.离差平方和为 54
D.方差是 13
答案
2.D 解析:按从小到大的顺序排列得 81,82,82,83,85,86,89,92,最中间的两个数为 83 和 85,中位数为$\dfrac{83+85}{2}=84$；$(81+82+82+83+85+86+89+92)÷ 8 = 85$,即平均数为 85；$(81-85)^2+2×(82-85)^2+(83-85)^2+(85-85)^2+(86-85)^2+(89-85)^2+(92-85)^2 = 104$,即离差平方和为 104；$\dfrac{1}{8}×104 = 13$,即方差为 13.故选 D.
解析
【分析】要判断各选项的正确性，需依次计算这组数据的中位数、平均数、离差平方和、方差，计算前先将数据排序，再根据各统计量的定义和公式逐步计算，最后对比选项得出结论。
【解析】首先将8个数据从小到大排序：81，82，82，83，85，86，89，92。
1. 计算中位数：数据共8个（偶数个），中位数为中间两个数（第4个83和第5个85）的平均数，即$\frac{83+85}{2}=84$，故选项A错误；
2. 计算平均数：总和为$81+82+82+83+85+86+89+92=680$，平均数为$680÷8=85$，故选项B错误；
3. 计算离差平方和：离差平方和为各数据与平均数差的平方和，即$(81-85)^2 + 2×(82-85)^2 + (83-85)^2 + (85-85)^2 + (86-85)^2 + (89-85)^2 + (92-85)^2 = 16 + 18 + 4 + 0 +1 +16 +49 =104$，故选项C错误；
4. 计算方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$104÷8=13$，故选项D正确。
【答案】D
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查统计中基本量的计算，需熟练掌握中位数、平均数、离差平方和、方差的计算规则，计算时要注意数据排序、求和及平方运算的准确性，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】首先将8个数据从小到大排序：81，82，82，83，85，86，89，92。
1. 计算中位数：数据共8个（偶数个），中位数为中间两个数（第4个83和第5个85）的平均数，即$\frac{83+85}{2}=84$，故选项A错误；
2. 计算平均数：总和为$81+82+82+83+85+86+89+92=680$，平均数为$680÷8=85$，故选项B错误；
3. 计算离差平方和：离差平方和为各数据与平均数差的平方和，即$(81-85)^2 + 2×(82-85)^2 + (83-85)^2 + (85-85)^2 + (86-85)^2 + (89-85)^2 + (92-85)^2 = 16 + 18 + 4 + 0 +1 +16 +49 =104$，故选项C错误；
4. 计算方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$104÷8=13$，故选项D正确。
【答案】D
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查统计中基本量的计算，需熟练掌握中位数、平均数、离差平方和、方差的计算规则，计算时要注意数据排序、求和及平方运算的准确性，属于基础题型。
【难度系数】0.7
3. (2025·泸州中考改编)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试,每人10次跳绳成绩的平均数(单位:个)及方差(单位:个²)如下表所示:
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择
乙
同学.答案
3. 乙 解析:从平均数的角度分析,乙和丁同学平均成绩最高,从方差角度分析,乙和甲方差最小,最稳定,
∴选择乙同学参加比赛.
∴选择乙同学参加比赛.
解析
【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学，需从两个统计量的意义分析：平均数反映成绩的平均水平，数值越大成绩越好；方差反映成绩的波动程度，数值越小发挥越稳定。先比较四名同学的平均数，确定成绩好的同学，再在其中比较方差，选出发挥稳定的同学。
【解析】1. 比较平均数：甲的平均数为205，乙为217，丙为208，丁为217，因此乙和丁的平均数最大，成绩最优；2. 比较方差：甲的方差为4.6，乙为4.6，丙为6.9，丁为9.6，乙的方差最小，发挥最稳定；3. 综合两个指标，乙同学成绩好且发挥稳定，故应选择乙同学。
【答案】乙
【知识点】平均数、方差
【点评】本题结合实际应用考查平均数和方差的意义，解题关键是明确两个统计量的作用，综合成绩和稳定性两个维度判断，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.3
【解析】1. 比较平均数：甲的平均数为205，乙为217，丙为208，丁为217，因此乙和丁的平均数最大，成绩最优；2. 比较方差：甲的方差为4.6，乙为4.6，丙为6.9，丁为9.6，乙的方差最小，发挥最稳定；3. 综合两个指标，乙同学成绩好且发挥稳定，故应选择乙同学。
【答案】乙
【知识点】平均数、方差
【点评】本题结合实际应用考查平均数和方差的意义，解题关键是明确两个统计量的作用，综合成绩和稳定性两个维度判断，属于基础统计应用题。
【难度系数】0.3
4. (巴中中考改编)如果一组数据为$4,a,5,3,8$,其平均数为$a$,那么这组数据的极差为
5
，离差平方和为14
.答案
4. 5 14 解析:
∵ 数据 4,$a$,5,3,8 的平均数为 $a$,
∴ $(4+a+5+3+8)÷5=a$,得 $a=5$,则这组数据的极差为 $8-3=5$,离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2=14$.
∵ 数据 4,$a$,5,3,8 的平均数为 $a$,
∴ $(4+a+5+3+8)÷5=a$,得 $a=5$,则这组数据的极差为 $8-3=5$,离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2=14$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先利用平均数的定义求出未知数据$a$，再依据极差和离差平方和的定义分别计算结果：第一步，根据“平均数=数据总和÷数据个数”列方程求$a$；第二步，极差为一组数据最大值与最小值的差；第三步，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和。
【解析】
1. 求$a$的值：
已知数据$4,a,5,3,8$的平均数为$a$，根据平均数公式得：
$\frac{4+a+5+3+8}{5}=a$
化简得$20+a=5a$，解得$a=5$。
2. 计算极差：
这组数据为$4,5,5,3,8$，最大值是$8$，最小值是$3$，因此极差为$8-3=5$。
3. 计算离差平方和：
平均数为$5$，离差平方和为各数据与平均数差的平方之和：
$(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2=1+0+0+4+9=14$
【答案】
5；14
【知识点】
平均数计算，极差，离差平方和
【点评】
本题考查统计基本量的计算，需先利用平均数定义求未知数据，再结合极差、离差平方和的定义计算，属于基础题型，侧重对核心概念的应用。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需先利用平均数的定义求出未知数据$a$，再依据极差和离差平方和的定义分别计算结果：第一步，根据“平均数=数据总和÷数据个数”列方程求$a$；第二步，极差为一组数据最大值与最小值的差；第三步，离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和。
【解析】
1. 求$a$的值：
已知数据$4,a,5,3,8$的平均数为$a$，根据平均数公式得：
$\frac{4+a+5+3+8}{5}=a$
化简得$20+a=5a$，解得$a=5$。
2. 计算极差：
这组数据为$4,5,5,3,8$，最大值是$8$，最小值是$3$，因此极差为$8-3=5$。
3. 计算离差平方和：
平均数为$5$，离差平方和为各数据与平均数差的平方之和：
$(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(3-5)^2+(8-5)^2=1+0+0+4+9=14$
【答案】
5；14
【知识点】
平均数计算，极差，离差平方和
【点评】
本题考查统计基本量的计算，需先利用平均数定义求未知数据，再结合极差、离差平方和的定义计算，属于基础题型，侧重对核心概念的应用。
【难度系数】
0.7
5. (2025·烟台中考)求一组数据方差的算式
为:$s^{2}=\dfrac{1}{n}×[(6-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(6-\overline{x})^{2}+(7-\overline{x})^{2}]$.则该组数据的众数为
为:$s^{2}=\dfrac{1}{n}×[(6-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(6-\overline{x})^{2}+(7-\overline{x})^{2}]$.则该组数据的众数为
6和8
,平均数为7
,方差为0.8
.答案
5. 6和8 7 0.8 解析:算式中差的平方项数为 5,对应数据个数 $n=5$.平均数 $\overline{x}=\dfrac{6+8+8+6+7}{5}=7$.数据中 6 和 8 均出现 2 次,次数最多,故众数为 6 和 8.代入得方差为 0.8.
解析
【分析】首先根据方差算式确定数据个数n=5，明确这组数据为6、8、8、6、7；接着利用平均数公式计算平均数；再根据众数定义找出出现次数最多的数；最后代入方差公式计算方差。
【解析】解：由方差算式可知，数据个数n=5，这组数据为6、8、8、6、7。
1. 计算平均数：$\overline{x}=\dfrac{6+8+8+6+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$；
2. 确定众数：数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8；
3. 计算方差：$s^2=\dfrac{1}{5}×[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\dfrac{1}{5}×(1+1+1+1+0)=\dfrac{4}{5}=0.8$。
【答案】6和8；7；0.8
【知识点】平均数、众数、方差
【点评】本题考查方差公式的理解及平均数、众数、方差的基本计算，属于基础题型，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】0.8
【解析】解：由方差算式可知，数据个数n=5，这组数据为6、8、8、6、7。
1. 计算平均数：$\overline{x}=\dfrac{6+8+8+6+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7$；
2. 确定众数：数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8；
3. 计算方差：$s^2=\dfrac{1}{5}×[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\dfrac{1}{5}×(1+1+1+1+0)=\dfrac{4}{5}=0.8$。
【答案】6和8；7；0.8
【知识点】平均数、众数、方差
【点评】本题考查方差公式的理解及平均数、众数、方差的基本计算，属于基础题型，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】0.8
6. (吉林中考)要从甲、乙两名同学中选出一名代表班级参加射击比赛,如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩.
(2)观察图形,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差$s_甲^2$、$s_乙^2$哪个大.
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩.
(2)观察图形,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差$s_甲^2$、$s_乙^2$哪个大.
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选
乙
参赛更合适;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该选甲
参赛更合适.答案
6. (1)乙的平均成绩是 $(8+9+8+8+7+8+9+8+8+7)÷10 = 8$(环).
(2)$s_甲^2$大. 解析:根据题图可知,甲的波动大于乙的波动,则 $s_甲^2＞s_乙^2$.
(3)乙 甲 解析:甲、乙的平均成绩都是 8 环,如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右,本班应该选乙参赛更合适,因为乙发挥更稳定;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右,本班应该选甲参赛更合适,因为甲更可能射击出较高的环数.
(2)$s_甲^2$大. 解析:根据题图可知,甲的波动大于乙的波动,则 $s_甲^2＞s_乙^2$.
(3)乙 甲 解析:甲、乙的平均成绩都是 8 环,如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右,本班应该选乙参赛更合适,因为乙发挥更稳定;如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右,本班应该选甲参赛更合适,因为甲更可能射击出较高的环数.
解析
【分析】
1. 第(1)问：需从折线统计图中提取乙10次射击的成绩，再利用平均数公式（总环数÷射击次数）计算乙的平均成绩。
2. 第(2)问：方差反映数据的波动程度，波动越大方差越大，观察折线图中甲乙成绩的波动差异，即可判断方差大小。
3. 第(3)问：当其他班级成绩在7环左右时，需选发挥更稳定（方差小）的选手；当其他班级成绩在9环左右时，需选更易打出高分的选手，结合两人成绩分布分析即可。
【解析】
(1) 从折线图中提取乙10次射击的成绩为：8环、9环、8环、8环、7环、8环、9环、8环、8环、7环。
乙的平均成绩 = (8+9+8+8+7+8+9+8+8+7)÷10 = 80÷10 = 8（环）。
(2) 观察折线图，甲的成绩波动幅度明显大于乙，根据方差的意义，波动越大方差越大，因此$s_甲^2$更大。
(3) 甲乙平均成绩均为8环，若其他班级成绩在7环左右，乙的成绩更稳定（波动小），选乙参赛更合适；若其他班级成绩在9环左右，甲多次打出9环、10环，更易获得高分，选甲参赛更合适。
【答案】
(1) 8环；(2)$s_甲^2$大；(3)乙；甲
【知识点】
平均数、方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查统计量的实际应用，核心是理解平均数、方差的意义，能从折线图中提取数据并分析波动情况，难度适中，是中考常见的统计类基础题型。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：需从折线统计图中提取乙10次射击的成绩，再利用平均数公式（总环数÷射击次数）计算乙的平均成绩。
2. 第(2)问：方差反映数据的波动程度，波动越大方差越大，观察折线图中甲乙成绩的波动差异，即可判断方差大小。
3. 第(3)问：当其他班级成绩在7环左右时，需选发挥更稳定（方差小）的选手；当其他班级成绩在9环左右时，需选更易打出高分的选手，结合两人成绩分布分析即可。
【解析】
(1) 从折线图中提取乙10次射击的成绩为：8环、9环、8环、8环、7环、8环、9环、8环、8环、7环。
乙的平均成绩 = (8+9+8+8+7+8+9+8+8+7)÷10 = 80÷10 = 8（环）。
(2) 观察折线图，甲的成绩波动幅度明显大于乙，根据方差的意义，波动越大方差越大，因此$s_甲^2$更大。
(3) 甲乙平均成绩均为8环，若其他班级成绩在7环左右，乙的成绩更稳定（波动小），选乙参赛更合适；若其他班级成绩在9环左右，甲多次打出9环、10环，更易获得高分，选甲参赛更合适。
【答案】
(1) 8环；(2)$s_甲^2$大；(3)乙；甲
【知识点】
平均数、方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查统计量的实际应用，核心是理解平均数、方差的意义，能从折线图中提取数据并分析波动情况，难度适中，是中考常见的统计类基础题型。
【难度系数】
0.6
