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1. 面积为5的正方形,其边长等于 （
A.5 的平方根
B.5 的算术平方根
C.5 的立方根
D.$\pm\sqrt{5}$
B
）A.5 的平方根
B.5 的算术平方根
C.5 的立方根
D.$\pm\sqrt{5}$
答案
1.B
解析
【分析】
首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长，本质是求面积的正平方根，因为边长是正数，不可能为负数，所以要结合实际意义排除负的根，再区分平方根、算术平方根、立方根的概念，逐一判断选项即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
$a^2 = 5$，且边长$a＞0$。
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。因此$a$是5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
逐一分析选项：
A. 5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，包含负数，不符合边长为正的要求，错误；
B. 5的算术平方根是$\sqrt{5}$，符合边长的取值要求，正确；
C. 5的立方根是三次方运算的结果，和本题平方关系无关，错误；
D. $\pm\sqrt{5}$包含负数值，不符合实际意义，错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式、算术平方根的定义、平方根的概念
【点评】
本题考查算术平方根在实际问题中的应用，解题的关键是结合边长为正的实际意义，正确区分平方根和算术平方根的差异，避免误选包含负根的选项。
【难度系数】
0.8
首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，已知面积求边长，本质是求面积的正平方根，因为边长是正数，不可能为负数，所以要结合实际意义排除负的根，再区分平方根、算术平方根、立方根的概念，逐一判断选项即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得：
$a^2 = 5$，且边长$a＞0$。
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。因此$a$是5的算术平方根，即$a=\sqrt{5}$。
逐一分析选项：
A. 5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，包含负数，不符合边长为正的要求，错误；
B. 5的算术平方根是$\sqrt{5}$，符合边长的取值要求，正确；
C. 5的立方根是三次方运算的结果，和本题平方关系无关，错误；
D. $\pm\sqrt{5}$包含负数值，不符合实际意义，错误。
【答案】
B
【知识点】
正方形面积公式、算术平方根的定义、平方根的概念
【点评】
本题考查算术平方根在实际问题中的应用，解题的关键是结合边长为正的实际意义，正确区分平方根和算术平方根的差异，避免误选包含负根的选项。
【难度系数】
0.8
2.以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述,其中描述错误的是 （
甲:16 的平方根是$\pm 4$; 乙:$\sqrt{5}$的平方等于 5;
丙:$-1$的平方根是$\pm 1$; 丁:4 的算术平方根是 2.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）甲:16 的平方根是$\pm 4$; 乙:$\sqrt{5}$的平方等于 5;
丙:$-1$的平方根是$\pm 1$; 丁:4 的算术平方根是 2.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根的相关概念，解题时先明确核心定义：①若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②正数的正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0。接下来逐一判断四位同学的描述是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐个验证四人的说法：
1. 甲的描述：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，甲的说法正确；
2. 乙的描述：根据平方根的运算性质，对于非负数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$，因此$(\sqrt{5})^2=5$，乙的说法正确；
3. 丙的描述：任何实数的平方都是非负数，不可能等于负数，因此负数没有平方根，-1不存在平方根，丙的说法错误；
4. 丁的描述：4的正的平方根是2，因此4的算术平方根是2，丁的说法正确。
综上，描述错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确区分平方根和算术平方根的差异，牢记负数没有平方根这一易错点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根、算术平方根的相关概念，解题时先明确核心定义：①若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；②正数的正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0。接下来逐一判断四位同学的描述是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
我们逐个验证四人的说法：
1. 甲的描述：因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，甲的说法正确；
2. 乙的描述：根据平方根的运算性质，对于非负数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$，因此$(\sqrt{5})^2=5$，乙的说法正确；
3. 丙的描述：任何实数的平方都是非负数，不可能等于负数，因此负数没有平方根，-1不存在平方根，丙的说法错误；
4. 丁的描述：4的正的平方根是2，因此4的算术平方根是2，丁的说法正确。
综上，描述错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确区分平方根和算术平方根的差异，牢记负数没有平方根这一易错点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 若$\sqrt{a}=a$，则$a$的值为 （
A.$0$
B.$0,1$
C.$\pm1,0$
D.$1$
B
）A.$0$
B.$0,1$
C.$\pm1,0$
D.$1$
答案
3.B
解析
【分析】
解题首先要结合算术平方根的定义确定a的取值范围：算术平方根的被开方数必须是非负数，且算术平方根的结果也是非负数，由此可以先排除含有负数的错误选项。接下来对等式√a=a进行变形求解，最后验证求得的结果是否满足原等式，避免出错。
【解析】
第一步：确定a的取值范围
∵√a是算术平方根，被开方数需满足a≥0，
∴选项C中含-1，直接排除。
第二步：求解等式
已知√a=a，等式两边都是非负数，同时平方后等式仍然成立，可得：
$a=a^2$
整理得$a^2 - a = 0$，即$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
第三步：验证解
当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，符合原等式；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，符合原等式。
因此a的值为0和1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；等式的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查算术平方根的非负性，易错点是忽略算术平方根的非负性误选包含-1的选项，或漏记0的算术平方根是0导致漏解。
【难度系数】
0.8
解题首先要结合算术平方根的定义确定a的取值范围：算术平方根的被开方数必须是非负数，且算术平方根的结果也是非负数，由此可以先排除含有负数的错误选项。接下来对等式√a=a进行变形求解，最后验证求得的结果是否满足原等式，避免出错。
【解析】
第一步：确定a的取值范围
∵√a是算术平方根，被开方数需满足a≥0，
∴选项C中含-1，直接排除。
第二步：求解等式
已知√a=a，等式两边都是非负数，同时平方后等式仍然成立，可得：
$a=a^2$
整理得$a^2 - a = 0$，即$a(a-1)=0$，解得$a=0$或$a=1$。
第三步：验证解
当$a=0$时，$\sqrt{0}=0$，符合原等式；当$a=1$时，$\sqrt{1}=1$，符合原等式。
因此a的值为0和1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；等式的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查算术平方根的非负性，易错点是忽略算术平方根的非负性误选包含-1的选项，或漏记0的算术平方根是0导致漏解。
【难度系数】
0.8
4. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）.如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的烧杯中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为$50\ \mathrm{cm}^3$.由此，可估计该正方体物块的棱长的值位于哪两个相邻的整数之间？（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先根据题意明确：完全浸没的物块体积等于排出水的体积，因此可直接得到正方体物块的体积为$50\ \mathrm{cm}^3$；其次回忆正方体体积公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，即$V=a^3$，已知体积求棱长，本质就是求体积的立方根；最后要估算立方根$\sqrt[3]{50}$的范围，只需找到两个相邻整数，它们的立方分别小于和大于50，即可得到棱长的取值区间。
【解析】
解：由题意可知，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\ \mathrm{cm}^3$。
设正方体物块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得：
$a^3=50$，即$a=\sqrt[3]{50}$。
∵$3^3=27$，$4^3=64$，且$27＜50＜64$，
∴$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜a＜4$。
因此该正方体物块的棱长位于3和4两个相邻整数之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根的估算
【点评】
本题结合生活中的排水法场景，考查立方根估算的实际应用，解题的核心是建立体积和棱长的关系，再通过比较整数立方判断立方根范围，属于基础的知识应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题意明确：完全浸没的物块体积等于排出水的体积，因此可直接得到正方体物块的体积为$50\ \mathrm{cm}^3$；其次回忆正方体体积公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，即$V=a^3$，已知体积求棱长，本质就是求体积的立方根；最后要估算立方根$\sqrt[3]{50}$的范围，只需找到两个相邻整数，它们的立方分别小于和大于50，即可得到棱长的取值区间。
【解析】
解：由题意可知，正方体物块的体积等于溢出的水的体积，即$V=50\ \mathrm{cm}^3$。
设正方体物块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得：
$a^3=50$，即$a=\sqrt[3]{50}$。
∵$3^3=27$，$4^3=64$，且$27＜50＜64$，
∴$\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，即$3＜a＜4$。
因此该正方体物块的棱长位于3和4两个相邻整数之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根的估算
【点评】
本题结合生活中的排水法场景，考查立方根估算的实际应用，解题的核心是建立体积和棱长的关系，再通过比较整数立方判断立方根范围，属于基础的知识应用类题型。
【难度系数】
0.7
5. 下列各组数中互为相反数的是 （
A.$3$和$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-3$和$\sqrt[3]{-27}$
C.$-(-\sqrt{3})^2$和$3$
D.$-3$和$-\left|\sqrt[3]{-27}\right|$
C
）A.$3$和$\sqrt{(-3)^2}$
B.$-3$和$\sqrt[3]{-27}$
C.$-(-\sqrt{3})^2$和$3$
D.$-3$和$-\left|\sqrt[3]{-27}\right|$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题时需要先把每个选项中含有运算的数先化简，再对比两个数是否符合相反数的特征即可。
【解析】
我们先逐个化简每个选项中的数，再判断：
A选项：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，两个数都是3，是相等的数，不是相反数，排除；
B选项：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，两个数都是-3，是相等的数，不是相反数，排除；
C选项：$-(-\sqrt{3})^2=-[(\sqrt{3})^2]=-3$，-3和3只有符号不同，互为相反数，符合要求；
D选项：$-\left|\sqrt[3]{-27}\right|=-\left|-3\right|=-3$，两个数都是-3，是相等的数，不是相反数，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值运算
【点评】
本题考查相反数的判定，解题的关键是先按照运算顺序正确化简带乘方、根式、绝对值的数，再结合相反数定义判断，做题时要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个数是否互为相反数，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题时需要先把每个选项中含有运算的数先化简，再对比两个数是否符合相反数的特征即可。
【解析】
我们先逐个化简每个选项中的数，再判断：
A选项：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，两个数都是3，是相等的数，不是相反数，排除；
B选项：$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，两个数都是-3，是相等的数，不是相反数，排除；
C选项：$-(-\sqrt{3})^2=-[(\sqrt{3})^2]=-3$，-3和3只有符号不同，互为相反数，符合要求；
D选项：$-\left|\sqrt[3]{-27}\right|=-\left|-3\right|=-3$，两个数都是-3，是相等的数，不是相反数，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值运算
【点评】
本题考查相反数的判定，解题的关键是先按照运算顺序正确化简带乘方、根式、绝对值的数，再结合相反数定义判断，做题时要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
6. 如图,已知数轴上的5个点A,O,B,C,D分别表示数-1,0,1,2,3,则表示数$5-\sqrt{7}$的点P落在 （
A.线段AO上
B.线段CD上
C.线段BC上
D.线段OB上
B
）A.线段AO上
B.线段CD上
C.线段BC上
D.线段OB上
答案
6.B
解析
【分析】要判断点P的位置，首先需要估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再利用不等式的性质求出$5-\sqrt{7}$的取值范围，最后对照数轴上各线段对应的数的区间，即可确定点P所在的线段。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{7}$的范围
因为$4＜7＜9$，对三个数同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
第二步：推导$5-\sqrt{7}$的范围
对不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$；
再对不等式两边同时加5，得$5-3＜5-\sqrt{7}＜5-2$，即$2＜5-\sqrt{7}＜3$。
第三步：对照数轴判断位置
数轴上2对应点C，3对应点D，因此表示$5-\sqrt{7}$的点P落在线段CD上。
【答案】B
【知识点】无理数的估算；不等式的性质；数轴与实数的对应
【点评】本题属于基础常考题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围，再变形得到所求实数的范围，结合数轴即可快速得出结论。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：估算$\sqrt{7}$的范围
因为$4＜7＜9$，对三个数同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
第二步：推导$5-\sqrt{7}$的范围
对不等式$2＜\sqrt{7}＜3$两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$；
再对不等式两边同时加5，得$5-3＜5-\sqrt{7}＜5-2$，即$2＜5-\sqrt{7}＜3$。
第三步：对照数轴判断位置
数轴上2对应点C，3对应点D，因此表示$5-\sqrt{7}$的点P落在线段CD上。
【答案】B
【知识点】无理数的估算；不等式的性质；数轴与实数的对应
【点评】本题属于基础常考题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的范围，再变形得到所求实数的范围，结合数轴即可快速得出结论。
【难度系数】0.7
