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11. 将四个数 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 写成两行两列 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $，规定 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $。若 $ \begin{vmatrix} 2x - 2 & - 7 \\ x + 5 & 5 \end{vmatrix} = - 9 $，则 $ x = $ ______ 。
答案
11. $-2$
解析
由题意得：$(2x - 2) × 5 - (-7) × (x + 5) = -9$
$10x - 10 + 7x + 35 = -9$
$17x + 25 = -9$
$17x = -34$
$x = -2$
$10x - 10 + 7x + 35 = -9$
$17x + 25 = -9$
$17x = -34$
$x = -2$
12. 新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”。例如：方程 $ 2x = 6 $ 和 $ 3x + 9 = 0 $ 为“友好方程”。
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与方程 $ 2x - 6 = 4 $ 是“友好方程”，求 $ m $ 的值；
(2) 若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为 $ n $，求 $ n $ 的值；
(3) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 2x + 3y - 1 = 0 $ 和关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 3x - 5y + 2 = 0 $ 是“友好方程”，求 $ y $ 的值。
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3x + m = 0 $ 与方程 $ 2x - 6 = 4 $ 是“友好方程”，求 $ m $ 的值；
(2) 若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为 $ n $，求 $ n $ 的值；
(3) 若关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 2x + 3y - 1 = 0 $ 和关于 $ x $ 的一元一次方程 $ 3x - 5y + 2 = 0 $ 是“友好方程”，求 $ y $ 的值。
答案
12. 解：(1) 方程 $2x - 6 = 4$ 的解为 $x = 5$。
因为关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 与方程 $2x - 6 = 4$ 是“友好方程”，
所以关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 的解为 $x = -5$。
所以 $3×(-5) + m = 0$。
所以 $m = 15$。
(2) 因为某“友好方程”的一个解为 $n$，
所以“友好方程”的另一个解为 $-n$。
所以 $n - (-n) = 6$ 或 $-n - n = 6$。
所以 $n = 3$ 或 $n = -3$。
(3) 对于方程 $2x + 3y - 1 = 0$，解为 $x = \dfrac{-3y + 1}{2}$。
对于方程 $3x - 5y + 2 = 0$，解为 $x = \dfrac{5y - 2}{3}$。
由题意可知 $\dfrac{-3y + 1}{2} + \dfrac{5y - 2}{3} = 0$，
解得 $y = 1$。
因为关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 与方程 $2x - 6 = 4$ 是“友好方程”，
所以关于 $x$ 的方程 $3x + m = 0$ 的解为 $x = -5$。
所以 $3×(-5) + m = 0$。
所以 $m = 15$。
(2) 因为某“友好方程”的一个解为 $n$，
所以“友好方程”的另一个解为 $-n$。
所以 $n - (-n) = 6$ 或 $-n - n = 6$。
所以 $n = 3$ 或 $n = -3$。
(3) 对于方程 $2x + 3y - 1 = 0$，解为 $x = \dfrac{-3y + 1}{2}$。
对于方程 $3x - 5y + 2 = 0$，解为 $x = \dfrac{5y - 2}{3}$。
由题意可知 $\dfrac{-3y + 1}{2} + \dfrac{5y - 2}{3} = 0$，
解得 $y = 1$。
解析
【分析】
这是一道新定义结合一元一次方程的题目，解题核心是先牢牢抓住“友好方程”的定义：两个一元一次方程的解互为相反数。
第(1)问思路：先算出已知方程2x-6=4的解，根据友好方程定义得到另一个方程的解是它的相反数，把这个解代入3x+m=0就能求出m的值。
第(2)问思路：已知其中一个解是n，根据友好方程定义直接得到另一个解是-n，题目说两个解的差为6，因为没规定哪个解减哪个解，所以要分两种情况列方程求解，避免漏解。
第(3)问思路：两个都是关于x的一元一次方程，先分别把x用含y的代数式表示出来，再根据两个解互为相反数，也就是两个解相加等于0，得到关于y的一元一次方程，解出y即可。
【解析】
(1) 先解方程$2x - 6 = 4$：
移项得$2x=4+6$，合并同类项得$2x=10$，系数化为1得$x=5$。
因为两个方程是“友好方程”，所以方程$3x+m=0$的解是$x=-5$，
将$x=-5$代入$3x+m=0$，得$3×(-5)+m=0$，
计算得$-15+m=0$，解得$m=15$。
(2) 已知“友好方程”的一个解为$n$，根据定义可得另一个解为$-n$，
两个解的差为6，分两种情况：
① 当$n ＞ -n$时，$n - (-n)=6$，即$2n=6$，解得$n=3$；
② 当$-n ＞ n$时，$-n - n=6$，即$-2n=6$，解得$n=-3$；
因此$n$的值为3或-3。
(3) 先分别解两个关于x的方程：
对$2x + 3y - 1 = 0$，移项得$2x=-3y+1$，系数化为1得$x=\frac{-3y+1}{2}$；
对$3x - 5y + 2 = 0$，移项得$3x=5y-2$，系数化为1得$x=\frac{5y-2}{3}$；
因为两个方程是“友好方程”，两个解互为相反数，即两解之和为0：
$\frac{-3y+1}{2} + \frac{5y-2}{3}=0$，
两边同乘6去分母得：$3(-3y+1)+2(5y-2)=0$，
展开计算：$-9y+3+10y-4=0$，合并同类项得$y-1=0$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $m=15$；(2) $n=3$或$n=-3$；(3) $y=1$
【知识点】
一元一次方程求解，相反数性质，新定义运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考察一元一次方程的求解应用，只要准确理解“友好方程”的规则就能顺利解题，需要注意第(2)问中“两个解的差为6”没有限定顺序，要分两种情况讨论避免漏解，整体计算量小，侧重对定义的理解和分类讨论意识的考察。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义结合一元一次方程的题目，解题核心是先牢牢抓住“友好方程”的定义：两个一元一次方程的解互为相反数。
第(1)问思路：先算出已知方程2x-6=4的解，根据友好方程定义得到另一个方程的解是它的相反数，把这个解代入3x+m=0就能求出m的值。
第(2)问思路：已知其中一个解是n，根据友好方程定义直接得到另一个解是-n，题目说两个解的差为6，因为没规定哪个解减哪个解，所以要分两种情况列方程求解，避免漏解。
第(3)问思路：两个都是关于x的一元一次方程，先分别把x用含y的代数式表示出来，再根据两个解互为相反数，也就是两个解相加等于0，得到关于y的一元一次方程，解出y即可。
【解析】
(1) 先解方程$2x - 6 = 4$：
移项得$2x=4+6$，合并同类项得$2x=10$，系数化为1得$x=5$。
因为两个方程是“友好方程”，所以方程$3x+m=0$的解是$x=-5$，
将$x=-5$代入$3x+m=0$，得$3×(-5)+m=0$，
计算得$-15+m=0$，解得$m=15$。
(2) 已知“友好方程”的一个解为$n$，根据定义可得另一个解为$-n$，
两个解的差为6，分两种情况：
① 当$n ＞ -n$时，$n - (-n)=6$，即$2n=6$，解得$n=3$；
② 当$-n ＞ n$时，$-n - n=6$，即$-2n=6$，解得$n=-3$；
因此$n$的值为3或-3。
(3) 先分别解两个关于x的方程：
对$2x + 3y - 1 = 0$，移项得$2x=-3y+1$，系数化为1得$x=\frac{-3y+1}{2}$；
对$3x - 5y + 2 = 0$，移项得$3x=5y-2$，系数化为1得$x=\frac{5y-2}{3}$；
因为两个方程是“友好方程”，两个解互为相反数，即两解之和为0：
$\frac{-3y+1}{2} + \frac{5y-2}{3}=0$，
两边同乘6去分母得：$3(-3y+1)+2(5y-2)=0$，
展开计算：$-9y+3+10y-4=0$，合并同类项得$y-1=0$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $m=15$；(2) $n=3$或$n=-3$；(3) $y=1$
【知识点】
一元一次方程求解，相反数性质，新定义运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考察一元一次方程的求解应用，只要准确理解“友好方程”的规则就能顺利解题，需要注意第(2)问中“两个解的差为6”没有限定顺序，要分两种情况讨论避免漏解，整体计算量小，侧重对定义的理解和分类讨论意识的考察。
【难度系数】
0.7
13. 小明解关于 $ y $ 的一元一次方程 $ 3(y + a) = 2y + 4 $，在去括号时，将 $ a $ 漏乘了3，得到方程的解是 $ y = 3 $。
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求该方程正确的解。
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 求该方程正确的解。
答案
13. 解：(1) 根据题意知，$y = 3$ 是关于 $y$ 的方程 $3y + a = 2y + 4$ 的解，
所以 $9 + a = 6 + 4$，解得 $a = 1$。
(2) 把 $a = 1$ 代入原方程，得 $3(y + 1) = 2y + 4$，
所以 $3y + 3 = 2y + 4$，解得 $y = 1$。
因此，原方程正确的解是 $y = 1$。
所以 $9 + a = 6 + 4$，解得 $a = 1$。
(2) 把 $a = 1$ 代入原方程，得 $3(y + 1) = 2y + 4$，
所以 $3y + 3 = 2y + 4$，解得 $y = 1$。
因此，原方程正确的解是 $y = 1$。
解析
【分析】
这道题属于一元一次方程的错解复原类问题，解题思路可以分两步梳理：
1. 第一问求a的值：首先明确小明的错误操作是去括号时漏给a乘3，他实际求解的是写错后的方程$3y + a = 2y + 4$，题目给出的错误解$y=3$完全满足这个写错的方程，把$y=3$代入这个错误方程，就能直接计算出a的取值。
2. 第二问求正确解：把第一问算出的a的准确值代回原本的正确方程，按照解一元一次方程的标准步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 根据题意，小明去括号漏乘a的3后，得到的错误方程为：
$3y + a = 2y + 4$
已知该错误方程的解为$y=3$，将$y=3$代入上述方程：
$3×3 + a = 2×3 + 4$
化简得$9 + a = 10$，解得$a=1$。
(2) 将$a=1$代入原正确方程$3(y+a)=2y+4$，可得：
$3(y+1)=2y+4$
去括号得：$3y + 3 = 2y + 4$
移项合并同类项：$3y-2y=4-3$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) 原方程正确的解是$y=1$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的运算失误类方程题型，核心逻辑是“错误操作得到的方程，对应的错解一定满足该错误方程”，不需要纠结错误操作的不合理性，先利用错解求出未知参数，再代入原方程求解即可，同时也提醒学生去括号时要保证括号内所有项都和括号外系数相乘，避免漏乘失误。
【难度系数】
0.7
这道题属于一元一次方程的错解复原类问题，解题思路可以分两步梳理：
1. 第一问求a的值：首先明确小明的错误操作是去括号时漏给a乘3，他实际求解的是写错后的方程$3y + a = 2y + 4$，题目给出的错误解$y=3$完全满足这个写错的方程，把$y=3$代入这个错误方程，就能直接计算出a的取值。
2. 第二问求正确解：把第一问算出的a的准确值代回原本的正确方程，按照解一元一次方程的标准步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 根据题意，小明去括号漏乘a的3后，得到的错误方程为：
$3y + a = 2y + 4$
已知该错误方程的解为$y=3$，将$y=3$代入上述方程：
$3×3 + a = 2×3 + 4$
化简得$9 + a = 10$，解得$a=1$。
(2) 将$a=1$代入原正确方程$3(y+a)=2y+4$，可得：
$3(y+1)=2y+4$
去括号得：$3y + 3 = 2y + 4$
移项合并同类项：$3y-2y=4-3$，解得$y=1$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) 原方程正确的解是$y=1$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的运算失误类方程题型，核心逻辑是“错误操作得到的方程，对应的错解一定满足该错误方程”，不需要纠结错误操作的不合理性，先利用错解求出未知参数，再代入原方程求解即可，同时也提醒学生去括号时要保证括号内所有项都和括号外系数相乘，避免漏乘失误。
【难度系数】
0.7
