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9. 计算：$ 77^{\circ}42' + 32^{\circ}48' = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $。
答案
9. 110.5
解析
$77^{\circ}42' + 32^{\circ}48' = (77^{\circ} + 32^{\circ}) + (42' + 48') = 109^{\circ} + 90' = 109^{\circ} + 1^{\circ}30' = 110^{\circ}30' = 110.5^{\circ}$
110.5
110.5
10. 若 $ ∠ AOB = 50^{\circ} $，$ ∠ BOC = 30^{\circ} $，则 $ ∠ AOC $ 的度数为
$ 80^{\circ} $或$ 20^{\circ} $
。答案
10. $ 80^{\circ} $或$ 20^{\circ} $
解析
当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+30°=80°；当OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-30°=20°。故∠AOC的度数为80°或20°。
11. 已知点 $ C $ 是直线 $ AB $ 上一点。若线段 $ AB $ 的长度为 $ 6 \mathrm{ cm} $，$ BC = \frac{1}{2}AC $，则线段 $ BC $ 的长度为
6或2
$ \mathrm{cm} $。答案
11. 6或2
解析
当点$ C $在线段$ AB $上时，$ AB = AC + BC = 6\ \mathrm{cm} $，$ BC = \frac{1}{2}AC $，设$ BC = x\ \mathrm{cm} $，则$ AC = 2x\ \mathrm{cm} $，$ 2x + x = 6 $，解得$ x = 2 $；当点$ C $在线段$ AB $的延长线上时，$ AC = AB + BC = 6 + BC $，$ BC = \frac{1}{2}AC $，设$ BC = x\ \mathrm{cm} $，则$ AC = 2x\ \mathrm{cm} $，$ 2x = 6 + x $，解得$ x = 6 $。故线段$ BC $的长度为$ 6\ \mathrm{cm} $或$ 2\ \mathrm{cm} $。
12. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点 $ O $。
(1)比较大小：$ ∠ AOD $
(2)若 $ ∠ DOC = 30^{\circ}30' $，则 $ ∠ AOB $ 的度数是
(1)比较大小：$ ∠ AOD $
=
$ ∠ BOC $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)；(2)若 $ ∠ DOC = 30^{\circ}30' $，则 $ ∠ AOB $ 的度数是
$ 149.5^{\circ} $或$ 149^{\circ}30' $
。答案
12. (1)= (2)$ 149.5^{\circ} $或$ 149^{\circ}30' $
解析
【分析】
本题是三角板叠放的角度问题，核心是利用直角的性质和角的和差关系解题。第(1)问通过同角的余角相等比较角的大小；第(2)问将∠AOB拆分为两个直角的和减去重叠部分的∠DOC，从而计算度数。
【解析】
(1) 由题意知，两个三角板的直角顶点重合于O，因此∠AOC = ∠DOB = 90°。
因为∠AOD + ∠DOC = ∠AOC = 90°，∠BOC + ∠DOC = ∠DOB = 90°，根据“同角的余角相等”，可得∠AOD = ∠BOC，故填“=”。
(2) 观察图形可知，∠AOB = ∠AOC + ∠DOB - ∠DOC（∠DOC被重复计算，需减去一次）。
已知∠AOC = ∠DOB = 90°，∠DOC = 30°30′，代入得：
∠AOB = 90° + 90° - 30°30′ = 180° - 30°30′ = 149°30′，换算为小数形式是149.5°。
【答案】
(1)=；(2)149.5°（或149°30′）
【知识点】
余角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查基础的角的大小比较与和差运算，关键是利用直角的性质梳理角之间的关系，属于几何入门类基础题，难度较低。
【难度系数】
0.3
本题是三角板叠放的角度问题，核心是利用直角的性质和角的和差关系解题。第(1)问通过同角的余角相等比较角的大小；第(2)问将∠AOB拆分为两个直角的和减去重叠部分的∠DOC，从而计算度数。
【解析】
(1) 由题意知，两个三角板的直角顶点重合于O，因此∠AOC = ∠DOB = 90°。
因为∠AOD + ∠DOC = ∠AOC = 90°，∠BOC + ∠DOC = ∠DOB = 90°，根据“同角的余角相等”，可得∠AOD = ∠BOC，故填“=”。
(2) 观察图形可知，∠AOB = ∠AOC + ∠DOB - ∠DOC（∠DOC被重复计算，需减去一次）。
已知∠AOC = ∠DOB = 90°，∠DOC = 30°30′，代入得：
∠AOB = 90° + 90° - 30°30′ = 180° - 30°30′ = 149°30′，换算为小数形式是149.5°。
【答案】
(1)=；(2)149.5°（或149°30′）
【知识点】
余角的性质，角的和差计算
【点评】
本题考查基础的角的大小比较与和差运算，关键是利用直角的性质梳理角之间的关系，属于几何入门类基础题，难度较低。
【难度系数】
0.3
三、解答题（共 40 分）
13. （8 分）如图，点 $ M $，$ N $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ MB = 2AM $，点 $ N $ 是线段 $ AB $ 的中点。若 $ AM = 2 \mathrm{ cm} $，求线段 $ MN $ 的长度。
13. （8 分）如图，点 $ M $，$ N $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ MB = 2AM $，点 $ N $ 是线段 $ AB $ 的中点。若 $ AM = 2 \mathrm{ cm} $，求线段 $ MN $ 的长度。
答案
13. 解:因为$ AM = 2\ \mathrm{cm} $，$ MB = 2AM $，
所以$ MB = 2 × 2 = 4(\mathrm{cm}) $，
所以$ AB = AM + MB = 2 + 4 = 6(\mathrm{cm}) $。
因为点$ N $是线段$ AB $的中点，
所以$ AN = BN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 6 = 3(\mathrm{cm}) $。
所以$ MN = AN - AM $
$ = 3 - 2 = 1(\mathrm{cm}) $。
所以$ MB = 2 × 2 = 4(\mathrm{cm}) $，
所以$ AB = AM + MB = 2 + 4 = 6(\mathrm{cm}) $。
因为点$ N $是线段$ AB $的中点，
所以$ AN = BN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 6 = 3(\mathrm{cm}) $。
所以$ MN = AN - AM $
$ = 3 - 2 = 1(\mathrm{cm}) $。
解析
【分析】首先根据已知的AM长度和MB与AM的数量关系，求出MB的长度，进而计算线段AB的总长度；再利用点N是AB中点的条件，求出AN的长度；最后通过线段的差（AN - AM）计算出MN的长度，解题关键是理清各线段间的和差关系，以及线段中点的性质。
【解析】解：因为 $AM = 2\ \mathrm{cm}$，且 $MB = 2AM$，所以 $MB = 2×2 = 4(\mathrm{cm})$。
因此，线段 $AB$ 的长度为 $AB = AM + MB = 2 + 4 = 6(\mathrm{cm})$。
又因为点 $N$ 是线段 $AB$ 的中点，根据线段中点的定义，$AN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×6 = 3(\mathrm{cm})$。
所以，线段 $MN$ 的长度为 $MN = AN - AM = 3 - 2 = 1(\mathrm{cm})$。
【答案】$1\ \mathrm{cm}$
【知识点】线段的和差、线段中点的性质
【点评】本题是线段长度计算的基础题型，主要考查线段中点的性质和线段和差的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于几何入门的基础题目，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】解：因为 $AM = 2\ \mathrm{cm}$，且 $MB = 2AM$，所以 $MB = 2×2 = 4(\mathrm{cm})$。
因此，线段 $AB$ 的长度为 $AB = AM + MB = 2 + 4 = 6(\mathrm{cm})$。
又因为点 $N$ 是线段 $AB$ 的中点，根据线段中点的定义，$AN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×6 = 3(\mathrm{cm})$。
所以，线段 $MN$ 的长度为 $MN = AN - AM = 3 - 2 = 1(\mathrm{cm})$。
【答案】$1\ \mathrm{cm}$
【知识点】线段的和差、线段中点的性质
【点评】本题是线段长度计算的基础题型，主要考查线段中点的性质和线段和差的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于几何入门的基础题目，难度较低。
【难度系数】0.7
14. （10 分）如图，把一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形。
（1）求甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数；
（2）若这个圆的半径为 $ 1 \mathrm{ cm} $，求扇形丁的面积。
（1）求甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数；
（2）若这个圆的半径为 $ 1 \mathrm{ cm} $，求扇形丁的面积。
答案
14. 解:(1)扇形甲的圆心角为$ 360^{\circ} × 25\% = 90^{\circ} $。
扇形乙的圆心角为$ 360^{\circ} × 30\% = 108^{\circ} $。
扇形丙的圆心角为$ 360^{\circ} × 20\% = 72^{\circ} $。
(2)因为扇形丁所占的百分比为
$ 1 - 25\% - 30\% - 20\% = 25\% $，
这个圆的半径是$ 1\ \mathrm{cm} $，
所以扇形丁的面积为$ π × 1^{2} × 25\% = \dfrac{π}{4}(\mathrm{cm}^{2}) $。
扇形乙的圆心角为$ 360^{\circ} × 30\% = 108^{\circ} $。
扇形丙的圆心角为$ 360^{\circ} × 20\% = 72^{\circ} $。
(2)因为扇形丁所占的百分比为
$ 1 - 25\% - 30\% - 20\% = 25\% $，
这个圆的半径是$ 1\ \mathrm{cm} $，
所以扇形丁的面积为$ π × 1^{2} × 25\% = \dfrac{π}{4}(\mathrm{cm}^{2}) $。
解析
【分析】
本题考查扇形统计图的相关计算，解题思路如下：（1）整个圆的圆心角为360°，某扇形的圆心角度数等于360°乘以该扇形所占的百分比，据此可分别计算甲、乙、丙三个扇形的圆心角；（2）先通过1减去甲、乙、丙所占的百分比，得到丁扇形的占比，再结合圆的面积公式，用圆的面积乘以丁的占比，即可求出扇形丁的面积。
【解析】
（1）已知整个圆的圆心角为360°，则：
扇形甲的圆心角：$360°×25\% = 90°$；
扇形乙的圆心角：$360°×30\% = 108°$；
扇形丙的圆心角：$360°×20\% = 72°$。
（2）先计算扇形丁所占的百分比：
$1 - 25\% - 30\% - 20\% = 25\%$；
圆的半径为1cm，圆的面积为$π×1^2 = π(cm^2)$，因此扇形丁的面积：
$π×25\% = \frac{π}{4}(cm^2)$。
【答案】
（1）甲扇形圆心角为90°，乙扇形圆心角为108°，丙扇形圆心角为72°；（2）扇形丁的面积为$\frac{π}{4}cm^2$。
【知识点】
扇形圆心角计算、扇形面积计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题型，核心是掌握“扇形占比与圆心角、面积的关系”，计算过程简单，属于基础题，能较好地考查学生对扇形统计图基本公式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
本题考查扇形统计图的相关计算，解题思路如下：（1）整个圆的圆心角为360°，某扇形的圆心角度数等于360°乘以该扇形所占的百分比，据此可分别计算甲、乙、丙三个扇形的圆心角；（2）先通过1减去甲、乙、丙所占的百分比，得到丁扇形的占比，再结合圆的面积公式，用圆的面积乘以丁的占比，即可求出扇形丁的面积。
【解析】
（1）已知整个圆的圆心角为360°，则：
扇形甲的圆心角：$360°×25\% = 90°$；
扇形乙的圆心角：$360°×30\% = 108°$；
扇形丙的圆心角：$360°×20\% = 72°$。
（2）先计算扇形丁所占的百分比：
$1 - 25\% - 30\% - 20\% = 25\%$；
圆的半径为1cm，圆的面积为$π×1^2 = π(cm^2)$，因此扇形丁的面积：
$π×25\% = \frac{π}{4}(cm^2)$。
【答案】
（1）甲扇形圆心角为90°，乙扇形圆心角为108°，丙扇形圆心角为72°；（2）扇形丁的面积为$\frac{π}{4}cm^2$。
【知识点】
扇形圆心角计算、扇形面积计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题型，核心是掌握“扇形占比与圆心角、面积的关系”，计算过程简单，属于基础题，能较好地考查学生对扇形统计图基本公式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
