6.若方程$\sin x=a$在$x\in[\dfrac{π}{6},π]$上有两个不同的解，则实数$a$的取值范围是。

6.$[\frac{1}{2},1)$ 函数$y=\sin x,x\in[\frac{π}{6},π]$的图象如图所示。
结合函数图象可知,当$a\in[\frac{1}{2},1)$时,函数$y=\sin x$与函数$y=a$的图象有两个交点,即方程$\sin x=a$在$x\in[\frac{π}{6},π]$上有两个不同的解。

7.画出函数$y=\sin x - 2$在区间$[0,2π]$上的图象.

7.解:按五个关键点列表:
| $x$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin x - 2$ | $-2$ | $-1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示。

8.函数$y=1-2\sin 3x,x\in(0,π)$的零点个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

8.C 令$y=0$,得$\sin 3x=\frac{1}{2}$。
因为$x\in(0,π)$,所以$3x\in(0,3π)$,
所以$3x=\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}$或$\frac{17π}{6}$,解得$x=\frac{π}{18}$或$\frac{5π}{18}$或$\frac{13π}{18}$或$\frac{17π}{18}$,所以零点个数是4。

9.已知函数$f(x)=\sin^2 x + a\sin x + \frac{1}{4}$在$[0,π]$上有4个不同的零点，则实数$a$的取值范围是（）

A.$(-2,-1)$
B.$(-2,-\frac{5}{4})$
C.$(-\frac{5}{4},-1)$
D.$(-\frac{5}{4},-1)\cup(1,+∞)$
10.不等式$\frac{1}{2} ＜ \sin x ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为.

9.C 令$t=\sin x,t\in[0,1]$,则$g(t)=t^2+at+\frac{1}{4}$。
要使得函数$f(x)$在$[0,π]$上有4个不同的零点,则函数$g(t)=t^2+at+\frac{1}{4}$在$t\in[0,1]$上有2个不同的零点,显然$g(0)=\frac{1}{4}≠0$,
所以$\begin{cases}\Delta=a^2-1＞0,\\0＜-\frac{a}{2}＜1,\\g(1)=a+\frac{5}{4}＞0,\end{cases}$ 解得$-\frac{5}{4}＜a＜-1$,故实数$a$的取值范围是$(-\frac{5}{4},-1)$。
10.$\{x∣ \frac{π}{6}+2kπ＜x≤\frac{π}{3}+2kπ\mathrm{ 或 }\frac{2π}{3}+2kπ≤ x＜\frac{5π}{6}+2kπ,k\in\mathbb{Z}\}$ 作出正弦函数$y=\sin x$在$[0,2π]$上的图象,及直线$y=\frac{1}{2}$和$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$,如图所示。
由图可知,在$[0,2π]$上,当$\frac{π}{6}＜x≤\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}≤ x＜\frac{5π}{6}$时,不等式$\frac{1}{2}＜\sin x≤\frac{\sqrt{3}}{2}$成立,
所以原不等式的解集为$\{x∣ \frac{π}{6}+2kπ＜x≤\frac{π}{3}+2kπ\mathrm{ 或 }\frac{2π}{3}+2kπ≤ x＜\frac{5π}{6}+2kπ,k\in\mathbb{Z}\}$。

11.已知函数$f(x)=1-2\sin x$.
(1)用“五点法”作出函数$f(x)$在$x\in[0,2π]$上的简图；
(2)若方程$f(x)=a$在$x\in[-\dfrac{2π}{3},\dfrac{5π}{6}]$上有两个实根，求$a$的取值范围.
答案 P56

11.解:(1)按五个关键点列表:
| $x$ | $0$ | $\frac{π}{2}$ | $π$ | $\frac{3π}{2}$ | $2π$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $f(x)$ | $1$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $1$ |
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示。
(2)因为方程$f(x)=a$在$x\in[-\frac{2π}{3},\frac{5π}{6}]$上有两个实根,
所以$y=\sin x$的图象与直线$y=\frac{1-a}{2}$在$x\in[-\frac{2π}{3},\frac{5π}{6}]$上有两个不同的交点。
$\sin(-\frac{2π}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin(-\frac{π}{2})=-1$,$\sin(\frac{5π}{6})=\frac{1}{2}$,$\sin\frac{π}{2}=1$。
作出函数$y=\sin x$在$x\in[-\frac{2π}{3},\frac{5π}{6}]$上的图象,及直线$y=\frac{1-a}{2}$,如图所示。
由图象可得,$-1＜\frac{1-a}{2}≤-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1}{2}≤\frac{1-a}{2}＜1$,
所以$a$的取值范围是$(-1,0]\cup[1+\sqrt{3},3)$。

10.不等式$\frac{1}{2} ＜ \sin x ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为。

解：
作出$y=\sin x$，$y=\frac{1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$在$x\in[0,2π]$上的图象：
1. 在$[0,2π]$内，满足$\sin x ＞ \frac{1}{2}$的$x$的范围为：$\frac{π}{6} ＜ x ＜ \frac{5π}{6}$
2. 在$[0,2π]$内，满足$\sin x ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}$的$x$的范围为：$0 ≤ x ≤ \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3} ≤ x ≤ 2π$
取两个范围的交集，得$[0,2π]$内不等式的解为：
$\frac{π}{6} ＜ x ≤ \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3} ≤ x ＜ \frac{5π}{6}$
结合正弦函数的周期为$2kπ\ (k\in\mathbb{Z})$，可得不等式的解集为：
$\{x∣ 2kπ+\frac{π}{6}＜x≤ 2kπ+\frac{π}{3} \mathrm{ 或 } 2kπ+\frac{2π}{3}≤ x＜2kπ+\frac{5π}{6},\ k\in\mathbb{Z}\}$