登录
14.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。例如：$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，所以4，12，20都是“神秘数”。下面各个数中，是“神秘数”的是（
A.60
B.62
C.66
D.88
A
）A.60
B.62
C.66
D.88
答案
14.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据“神秘数”的定义推导所有神秘数共有的特征。第一步先设出两个连续偶数，利用平方差公式计算它们的平方差，化简后得到神秘数的通用表达式，再根据表达式的特征逐一验证选项即可。
【解析】
设较小的连续偶数为$2n$（$n$为非负整数），则较大的连续偶数为$2n+2$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得神秘数的表达式为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=8n+4\\&=4×(2n+1)\end{aligned}$
由此可知，神秘数是4的倍数，且除以4后得到的结果是奇数。
逐一验证选项：
A. $60÷4=15$，15是奇数，符合神秘数特征；
B. $62÷4=15.5$，不是整数，不符合；
C. $66÷4=16.5$，不是整数，不符合；
D. $88÷4=22$，22是偶数，不符合。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整式化简，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先结合已知定义推导这类数的通用特征，再结合特征验证选项，能有效考查对平方差公式的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据“神秘数”的定义推导所有神秘数共有的特征。第一步先设出两个连续偶数，利用平方差公式计算它们的平方差，化简后得到神秘数的通用表达式，再根据表达式的特征逐一验证选项即可。
【解析】
设较小的连续偶数为$2n$（$n$为非负整数），则较大的连续偶数为$2n+2$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得神秘数的表达式为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=8n+4\\&=4×(2n+1)\end{aligned}$
由此可知，神秘数是4的倍数，且除以4后得到的结果是奇数。
逐一验证选项：
A. $60÷4=15$，15是奇数，符合神秘数特征；
B. $62÷4=15.5$，不是整数，不符合；
C. $66÷4=16.5$，不是整数，不符合；
D. $88÷4=22$，22是偶数，不符合。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整式化简，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先结合已知定义推导这类数的通用特征，再结合特征验证选项，能有效考查对平方差公式的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
15.如图所示的是一组有规律的图案，它是由若干个大小相同的圆片组成的。第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有
2n+2
个白色圆片。（用含n的代数式表示）答案
15.$(2n+2)$
解析
【分析】
我们要推导第n个图案的白色圆片数量，首先整理已知条件：第1个图案有4个白色圆片，第2个有6个，第3个有8个，第4个有10个。先观察相邻图案的白色圆片数量差，可发现后一个图案总比前一个多2个白色圆片，说明数量随序号n呈固定增量的变化规律。接下来我们把每个数量和对应序号n建立关联，尝试将数量表示为“n的倍数+常数”的形式，就能推导出通用表达式。
【解析】
观察已知图案的白色圆片数量：
第1个图案：白色圆片数为$4=2×1+2$；
第2个图案：白色圆片数为$6=2×2+2$；
第3个图案：白色圆片数为$8=2×3+2$；
第4个图案：白色圆片数为$10=2×4+2$；
……
依此规律，第n个图案的白色圆片数为$2× n+2=2n+2$。
【答案】
$(2n+2)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究题，解题核心是先观察相邻图案的数量变化确定固定增量，再将每个图案的数量和对应序号关联，即可推导出通用表达式，掌握从特殊到一般的归纳思路就能快速解题。
【难度系数】
0.8
我们要推导第n个图案的白色圆片数量，首先整理已知条件：第1个图案有4个白色圆片，第2个有6个，第3个有8个，第4个有10个。先观察相邻图案的白色圆片数量差，可发现后一个图案总比前一个多2个白色圆片，说明数量随序号n呈固定增量的变化规律。接下来我们把每个数量和对应序号n建立关联，尝试将数量表示为“n的倍数+常数”的形式，就能推导出通用表达式。
【解析】
观察已知图案的白色圆片数量：
第1个图案：白色圆片数为$4=2×1+2$；
第2个图案：白色圆片数为$6=2×2+2$；
第3个图案：白色圆片数为$8=2×3+2$；
第4个图案：白色圆片数为$10=2×4+2$；
……
依此规律，第n个图案的白色圆片数为$2× n+2=2n+2$。
【答案】
$(2n+2)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究题，解题核心是先观察相邻图案的数量变化确定固定增量，再将每个图案的数量和对应序号关联，即可推导出通用表达式，掌握从特殊到一般的归纳思路就能快速解题。
【难度系数】
0.8
16.先化简,再求值:$[5a^{4}· a^{2}-(3a^{6})^{2}÷ (a^{2})^{3}]÷ (-2a^{2})^{2}$,其中$a=-5$。
答案
16.解:原式$=(5a^6 -9a^{12}÷a^6)÷4a^4$
$=(5a^6 -9a^6)÷4a^4$
$=-4a^6÷4a^4$
$=-a^2$。
当$a=-5$时,原式$=-(-5)^2=-25$。
$=(5a^6 -9a^6)÷4a^4$
$=-4a^6÷4a^4$
$=-a^2$。
当$a=-5$时,原式$=-(-5)^2=-25$。
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题：首先明确整式混合运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”；第一步先依据幂的运算法则计算所有乘方、同底数幂乘除运算，第二步合并括号内的同类项，第三步计算括号外的除法得到最简整式，最后将a的取值代入最简式计算结果即可，计算时注意符号规则。
【解析】
解：按照运算顺序逐步化简：
原式$=(5a^{4+2} -9a^{12}÷a^6)÷4a^4$
$=(5a^6 -9a^{12-6})÷4a^4$
$=(5a^6 -9a^6)÷4a^4$
$=-4a^6÷4a^4$
$=-a^{6-4}=-a^2$
将$a=-5$代入化简后的式子：
原式$=-(-5)^2=-25$
【答案】
化简结果为$-a^2$，求值结果为$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
幂的运算、整式混合运算、化简求值
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，严格按运算顺序计算，代入求值时要注意负数平方的符号处理，避免因粗心出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的思路解题：首先明确整式混合运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”；第一步先依据幂的运算法则计算所有乘方、同底数幂乘除运算，第二步合并括号内的同类项，第三步计算括号外的除法得到最简整式，最后将a的取值代入最简式计算结果即可，计算时注意符号规则。
【解析】
解：按照运算顺序逐步化简：
原式$=(5a^{4+2} -9a^{12}÷a^6)÷4a^4$
$=(5a^6 -9a^{12-6})÷4a^4$
$=(5a^6 -9a^6)÷4a^4$
$=-4a^6÷4a^4$
$=-a^{6-4}=-a^2$
将$a=-5$代入化简后的式子：
原式$=-(-5)^2=-25$
【答案】
化简结果为$-a^2$，求值结果为$\boldsymbol{-25}$
【知识点】
幂的运算、整式混合运算、化简求值
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，严格按运算顺序计算，代入求值时要注意负数平方的符号处理，避免因粗心出现符号错误。
【难度系数】
0.8
17.已知$3x^2 -2x -3=0$，求$(x-1)^2 +x(x+\dfrac{2}{3})$的值。
答案
17.解:原式$=x^2-2x+1+x^2+\dfrac{2}{3}x=2x^2-\dfrac{4}{3}x+1$。
因为$3x^2-2x-3=0$,所以$x^2-\dfrac{2}{3}x=1$,
所以原式$=2(x^2-\dfrac{2}{3}x)+1=2×1+1=3$。
因为$3x^2-2x-3=0$,所以$x^2-\dfrac{2}{3}x=1$,
所以原式$=2(x^2-\dfrac{2}{3}x)+1=2×1+1=3$。
解析
【分析】
本题属于代数式求值类题目，无需先求解方程得到x的值（计算复杂且超出现阶段知识范围），正确解题思路如下：第一步先利用整式的运算法则将要求的代数式展开、合并同类项进行化简；第二步对已知的方程进行变形，得到和化简后代数式相关的整体式子；第三步将整体代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 +x(x+\frac{2}{3})&=x^2 - 2x +1 + x^2 + \frac{2}{3}x\\&=2x^2 - \frac{4}{3}x +1\end{aligned}$
已知$3x^2 - 2x - 3 = 0$，等式两边同时除以3，可得：
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$，即$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
观察化简后的式子，可变形为$2(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1$，将$x^2 - \frac{2}{3}x =1$代入得：
原式$=2×1 +1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算，整体代入求值，等式的性质
【点评】
本题是典型的代数式求值问题，核心技巧是整体代入，避免了求解未知数的复杂运算，要求熟练掌握整式运算的法则和等式变形的方法，体会整体思想在代数运算中的便捷性。
【难度系数】
0.7
本题属于代数式求值类题目，无需先求解方程得到x的值（计算复杂且超出现阶段知识范围），正确解题思路如下：第一步先利用整式的运算法则将要求的代数式展开、合并同类项进行化简；第二步对已知的方程进行变形，得到和化简后代数式相关的整体式子；第三步将整体代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 +x(x+\frac{2}{3})&=x^2 - 2x +1 + x^2 + \frac{2}{3}x\\&=2x^2 - \frac{4}{3}x +1\end{aligned}$
已知$3x^2 - 2x - 3 = 0$，等式两边同时除以3，可得：
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$，即$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
观察化简后的式子，可变形为$2(x^2 - \frac{2}{3}x) + 1$，将$x^2 - \frac{2}{3}x =1$代入得：
原式$=2×1 +1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
整式的混合运算，整体代入求值，等式的性质
【点评】
本题是典型的代数式求值问题，核心技巧是整体代入，避免了求解未知数的复杂运算，要求熟练掌握整式运算的法则和等式变形的方法，体会整体思想在代数运算中的便捷性。
【难度系数】
0.7
