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6.现定义运算“△”，对于任意有理数$a,b$，都有$a△b=a^2 - ab$。例如：$3△5=3^2 - 3×5=-6$。由此可知$(x-1)△(1+x)$等于（
A.$2x$
B.$2x - 2$
C.$-2x + 2$
D.$-2x$
C
）A.$2x$
B.$2x - 2$
C.$-2x + 2$
D.$-2x$
答案
6.C
解析
【分析】
解题首先要明确新定义运算“△”的规则：对任意有理数a、b，a△b的结果是第一个数a的平方减去a与b的乘积。接下来先确定待求式中对应规则的a和b，这里a是(x-1)，b是(1+x)，将其代入运算规则后转化为整式混合运算，再按整式乘法、去括号、合并同类项的步骤计算即可。
【解析】
根据新定义运算规则$a△b=a^2 - ab$，可得：
$a=x-1$，$b=1+x$，代入得：
$\begin{aligned}(x-1)△(1+x)&=(x-1)^2 - (x-1)(1+x)\\&=(x^2 - 2x +1) - (x^2 -1)\\&=x^2 -2x +1 -x^2 +1\\&=-2x +2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题属于新定义类基础计算题，核心是准确理解新运算的规则，代入数值后按整式运算的法则计算即可，易错点是去括号时容易弄错符号，计算时要注意核对符号变化。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确新定义运算“△”的规则：对任意有理数a、b，a△b的结果是第一个数a的平方减去a与b的乘积。接下来先确定待求式中对应规则的a和b，这里a是(x-1)，b是(1+x)，将其代入运算规则后转化为整式混合运算，再按整式乘法、去括号、合并同类项的步骤计算即可。
【解析】
根据新定义运算规则$a△b=a^2 - ab$，可得：
$a=x-1$，$b=1+x$，代入得：
$\begin{aligned}(x-1)△(1+x)&=(x-1)^2 - (x-1)(1+x)\\&=(x^2 - 2x +1) - (x^2 -1)\\&=x^2 -2x +1 -x^2 +1\\&=-2x +2\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、整式乘法、合并同类项
【点评】
本题属于新定义类基础计算题，核心是准确理解新运算的规则，代入数值后按整式运算的法则计算即可，易错点是去括号时容易弄错符号，计算时要注意核对符号变化。
【难度系数】
0.7
7.若$m^2 - n^2 = 6$，且$m - n = 3$，则$m + n =$
2
。答案
7.2
解析
【分析】
首先观察已知条件中的$m^2 - n^2$，符合平方差公式的结构特征，回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。我们可以先利用平方差公式对$m^2 - n^2$因式分解，分解后式子中会出现$m+n$和$m-n$两个因式，已知$m^2 - n^2$和$m-n$的数值，将已知量代入分解后的式子，通过简单除法运算就能求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
把$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 3$代入上式，得：
$6 = 3×(m + n)$
等式两边同时除以3，计算得：
$m + n = 6÷3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对已知式子正确变形后代入计算即可。
【难度系数】
0.85
首先观察已知条件中的$m^2 - n^2$，符合平方差公式的结构特征，回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。我们可以先利用平方差公式对$m^2 - n^2$因式分解，分解后式子中会出现$m+n$和$m-n$两个因式，已知$m^2 - n^2$和$m-n$的数值，将已知量代入分解后的式子，通过简单除法运算就能求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
把$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 3$代入上式，得：
$6 = 3×(m + n)$
等式两边同时除以3，计算得：
$m + n = 6÷3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对已知式子正确变形后代入计算即可。
【难度系数】
0.85
8.若$(x+2)(x-3)=x^2+mx+n$，则$mn=$
6
。答案
8.6
解析
【分析】
要计算mn的值，需先求出m和n的取值。已知等式左侧是两个一次二项式的乘积，我们可以先依据多项式乘多项式的法则将左侧展开并合并同类项，再根据等式两边恒等时同次项的系数对应相等的规则，就能得到m、n的具体数值，最后代入计算mn即可。
【解析】
1. 展开左侧多项式乘积
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，计算得：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x· (-3) + 2· x + 2×(-3)\\&=x^2 -3x +2x -6\\&=x^2 -x -6\end{aligned}$
2. 对比等式两边系数
已知$(x+2)(x-3)=x^2+mx+n$，因此$x^2 -x -6 = x^2 +mx +n$，等式两边同次项系数对应相等，可得：
一次项系数$m=-1$，常数项$n=-6$
3. 计算mn的值
$mn=(-1)×(-6)=6$
【答案】
6
【知识点】
多项式乘多项式；恒等式系数对应
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查整式乘法的计算能力和恒等式的基本性质，解题时需注意多项式乘法运算中的符号问题，避免因符号计算失误失分。
【难度系数】
0.8
要计算mn的值，需先求出m和n的取值。已知等式左侧是两个一次二项式的乘积，我们可以先依据多项式乘多项式的法则将左侧展开并合并同类项，再根据等式两边恒等时同次项的系数对应相等的规则，就能得到m、n的具体数值，最后代入计算mn即可。
【解析】
1. 展开左侧多项式乘积
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，计算得：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x· (-3) + 2· x + 2×(-3)\\&=x^2 -3x +2x -6\\&=x^2 -x -6\end{aligned}$
2. 对比等式两边系数
已知$(x+2)(x-3)=x^2+mx+n$，因此$x^2 -x -6 = x^2 +mx +n$，等式两边同次项系数对应相等，可得：
一次项系数$m=-1$，常数项$n=-6$
3. 计算mn的值
$mn=(-1)×(-6)=6$
【答案】
6
【知识点】
多项式乘多项式；恒等式系数对应
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查整式乘法的计算能力和恒等式的基本性质，解题时需注意多项式乘法运算中的符号问题，避免因符号计算失误失分。
【难度系数】
0.8
9.小兰在计算一个二项式的平方时,得到的正确结果是$x^2+■xy+9y^2$,但中间项的一部分不慎被墨汁污染了,则■处所对应的数是
6或-6
(写出所有可能的值)。答案
9.6或-6
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步回忆完全平方公式的两种形式，包括和的平方与差的平方；第二步对应已知多项式的首项和末项，确定公式中对应的a、b的值；第三步根据公式计算中间项的系数，注意要兼顾两种情况，避免漏掉负值。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知多项式为$x^2+■xy+9y^2$，其中首项$x^2=(x)^2$，末项$9y^2=(3y)^2$，即公式中$a=x$，$b=3y$。
因此中间项为$\pm 2× x×3y=\pm6xy$，所以■处所对应的数为6或-6。
【答案】
6或-6
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是牢记完全平方公式的两种形式，避免因忽略差的平方的情况导致漏解，是整式运算章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步回忆完全平方公式的两种形式，包括和的平方与差的平方；第二步对应已知多项式的首项和末项，确定公式中对应的a、b的值；第三步根据公式计算中间项的系数，注意要兼顾两种情况，避免漏掉负值。
【解析】
解：根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知多项式为$x^2+■xy+9y^2$，其中首项$x^2=(x)^2$，末项$9y^2=(3y)^2$，即公式中$a=x$，$b=3y$。
因此中间项为$\pm 2× x×3y=\pm6xy$，所以■处所对应的数为6或-6。
【答案】
6或-6
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题的关键是牢记完全平方公式的两种形式，避免因忽略差的平方的情况导致漏解，是整式运算章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
10.小明同学在学习了“多项式的乘法”“乘法公式”两节课后，发现这些学习内容是逐步特殊化的过程。请在图中的横线上填写适当的代数式，感受这种特殊化的学习过程。
答案
10.$-y$
解析
【分析】
已知多项式乘多项式的一般公式为$\boldsymbol{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$，要推导得到平方差公式$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，只需将两个式子的左边因式做对应：平方差公式的左边是$(x+y)(x-y)$，和一般式的$(x+a)(x+b)$结构完全一致，已知$a=y$，即可对应得到$b$的取值，代入验证后符合平方差公式的结果即可。
【解析】
将平方差公式左边的$(x+y)(x-y)$与多项式乘法公式$(x+a)(x+b)$对比：
两个因式的结构一一对应，其中$x+a=x+y$，$x+b=x-y$，已知$a=y$，因此可得$b=-y$。
代入一般式验证：$(x+y)(x+(-y))=x^2+(y+(-y))x+y×(-y)=x^2-y^2$，与平方差公式的结果一致，故横线处应填$-y$。
【答案】
$-y$
【知识点】
多项式乘法，平方差公式
【点评】
本题考查乘法公式的推导来源，帮助理解从一般到特殊的数学研究方法，只要掌握多项式乘法规则和平方差公式的结构即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
已知多项式乘多项式的一般公式为$\boldsymbol{(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$，要推导得到平方差公式$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，只需将两个式子的左边因式做对应：平方差公式的左边是$(x+y)(x-y)$，和一般式的$(x+a)(x+b)$结构完全一致，已知$a=y$，即可对应得到$b$的取值，代入验证后符合平方差公式的结果即可。
【解析】
将平方差公式左边的$(x+y)(x-y)$与多项式乘法公式$(x+a)(x+b)$对比：
两个因式的结构一一对应，其中$x+a=x+y$，$x+b=x-y$，已知$a=y$，因此可得$b=-y$。
代入一般式验证：$(x+y)(x+(-y))=x^2+(y+(-y))x+y×(-y)=x^2-y^2$，与平方差公式的结果一致，故横线处应填$-y$。
【答案】
$-y$
【知识点】
多项式乘法，平方差公式
【点评】
本题考查乘法公式的推导来源，帮助理解从一般到特殊的数学研究方法，只要掌握多项式乘法规则和平方差公式的结构即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
11. 利用乘法公式计算：
(1)$203^2$；
(2)$19\frac{2}{3} × 20\frac{1}{3}$。
(1)$203^2$；
(2)$19\frac{2}{3} × 20\frac{1}{3}$。
答案
11.(1)41 209。(2)$399\frac{8}{9}$。
解析
【分析】
(1) 计算$203^2$时，观察到203可拆为整百数200与3的和，刚好符合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，用公式展开计算比直接列竖式运算更简便。
(2) 计算带分数乘法时，观察到两个因数都接近20，可分别改写为$20-\frac{1}{3}$和$20+\frac{1}{3}$，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算可避免复杂的带分数乘法运算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}203^2&=(200+3)^2\\&=200^2 + 2×200×3 + 3^2\\&=40000 + 1200 + 9\\&=41209\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}19\frac{2}{3} × 20\frac{1}{3}&=(20 - \frac{1}{3})×(20 + \frac{1}{3})\\&=20^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=400 - \frac{1}{9}\\&=399\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{41209}$；(2) $\boxed{399\frac{8}{9}}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查乘法公式的简便应用，解题核心是根据数字的特征，将原式合理变形为符合乘法公式的结构，从而大幅降低计算量，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
(1) 计算$203^2$时，观察到203可拆为整百数200与3的和，刚好符合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，用公式展开计算比直接列竖式运算更简便。
(2) 计算带分数乘法时，观察到两个因数都接近20，可分别改写为$20-\frac{1}{3}$和$20+\frac{1}{3}$，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，代入公式计算可避免复杂的带分数乘法运算。
【解析】
(1) $\begin{aligned}203^2&=(200+3)^2\\&=200^2 + 2×200×3 + 3^2\\&=40000 + 1200 + 9\\&=41209\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}19\frac{2}{3} × 20\frac{1}{3}&=(20 - \frac{1}{3})×(20 + \frac{1}{3})\\&=20^2 - (\frac{1}{3})^2\\&=400 - \frac{1}{9}\\&=399\frac{8}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{41209}$；(2) $\boxed{399\frac{8}{9}}$
【知识点】
完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查乘法公式的简便应用，解题核心是根据数字的特征，将原式合理变形为符合乘法公式的结构，从而大幅降低计算量，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
12.计算：
(1)$(x-y+1)(x+y-1)$；
(2)$(x+2)(x-2)(x^2+4)$。
(1)$(x-y+1)(x+y-1)$；
(2)$(x+2)(x-2)(x^2+4)$。
答案
12.(1)$x^2 - y^2 + 2y -1$。(2)$x^4 -16$。
解析
【分析】
对于这两道整式乘法计算题，解题核心是观察式子结构，灵活运用乘法公式简化运算：
(1) 观察到两个因式中x的符号相同，y和1的符号相反，可将(y-1)看作一个整体，把原式变形为符合平方差公式的结构，先用平方差公式计算，再展开完全平方即可得到结果；
(2) 观察到前两个因式符合平方差公式的结构，先计算前两个因式的乘积，得到的结果再和第三个因式结合，又符合平方差公式的结构，连续两次用平方差公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) 先对原式变形，将$(y-1)$视为整体：
$\begin{aligned}(x-y+1)(x+y-1)&=[x-(y-1)][x+(y-1)]\\&=x^2-(y-1)^2 \quad \mathrm{（平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$）}\\&=x^2-(y^2-2y+1) \quad \mathrm{（完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）}\\&=x^2-y^2+2y-1\end{aligned}$
(2) 按从左到右的顺序，连续运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x+2)(x-2)(x^2+4)&=(x^2-4)(x^2+4) \quad \mathrm{（先算前两个因式，用平方差公式）}\\&=(x^2)^2-4^2 \quad \mathrm{（再次用平方差公式）}\\&=x^4-16\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2 - y^2 + 2y -1$；(2)$x^4 -16$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 完全平方公式 3. 整式乘法
【点评】
这两道题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是能够识别式子的结构特征，通过合理变形或调整运算顺序构造公式适用的条件，从而简化计算，降低出错概率，平时学习中要注意强化对公式结构特征的识别能力。
【难度系数】
0.7
对于这两道整式乘法计算题，解题核心是观察式子结构，灵活运用乘法公式简化运算：
(1) 观察到两个因式中x的符号相同，y和1的符号相反，可将(y-1)看作一个整体，把原式变形为符合平方差公式的结构，先用平方差公式计算，再展开完全平方即可得到结果；
(2) 观察到前两个因式符合平方差公式的结构，先计算前两个因式的乘积，得到的结果再和第三个因式结合，又符合平方差公式的结构，连续两次用平方差公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) 先对原式变形，将$(y-1)$视为整体：
$\begin{aligned}(x-y+1)(x+y-1)&=[x-(y-1)][x+(y-1)]\\&=x^2-(y-1)^2 \quad \mathrm{（平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$）}\\&=x^2-(y^2-2y+1) \quad \mathrm{（完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）}\\&=x^2-y^2+2y-1\end{aligned}$
(2) 按从左到右的顺序，连续运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(x+2)(x-2)(x^2+4)&=(x^2-4)(x^2+4) \quad \mathrm{（先算前两个因式，用平方差公式）}\\&=(x^2)^2-4^2 \quad \mathrm{（再次用平方差公式）}\\&=x^4-16\end{aligned}$
【答案】
(1)$x^2 - y^2 + 2y -1$；(2)$x^4 -16$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 完全平方公式 3. 整式乘法
【点评】
这两道题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的关键是能够识别式子的结构特征，通过合理变形或调整运算顺序构造公式适用的条件，从而简化计算，降低出错概率，平时学习中要注意强化对公式结构特征的识别能力。
【难度系数】
0.7
13.先化简,后求值:$(x-y)^2-(x+2y)(x-2y)-5y^2$,其中$x=1,y=-\dfrac{1}{2}$。
答案
13.解:原式$=x^2-2xy+y^2-x^2+4y^2-5y^2=-2xy$。
当$x=1,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-2×1×(-\dfrac{1}{2})=1$。
当$x=1,y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-2×1×(-\dfrac{1}{2})=1$。
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，首先分别利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，利用平方差公式展开$(x+2y)(x-2y)$，展开后遵循去括号的符号规则去掉括号，再合并同类项得到最简整式；第二步将给定的$x$、$y$的值代入化简后的整式，计算得出最终结果即可。
【解析】
解：先利用乘法公式展开各项：
原式$=(x^2-2xy+y^2)-(x^2-4y^2)-5y^2$
去括号：
$=x^2-2xy+y^2-x^2+4y^2-5y^2$
合并同类项：
$=-2xy$
将$x=1$，$y=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-2×1×(-\dfrac{1}{2})=1$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是正确运用乘法公式展开整式，注意去括号时符号的变化，合并同类项要彻底，化简完成后代值计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，首先分别利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，利用平方差公式展开$(x+2y)(x-2y)$，展开后遵循去括号的符号规则去掉括号，再合并同类项得到最简整式；第二步将给定的$x$、$y$的值代入化简后的整式，计算得出最终结果即可。
【解析】
解：先利用乘法公式展开各项：
原式$=(x^2-2xy+y^2)-(x^2-4y^2)-5y^2$
去括号：
$=x^2-2xy+y^2-x^2+4y^2-5y^2$
合并同类项：
$=-2xy$
将$x=1$，$y=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-2×1×(-\dfrac{1}{2})=1$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是正确运用乘法公式展开整式，注意去括号时符号的变化，合并同类项要彻底，化简完成后代值计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
