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9. 一次函数$y=ax+b$和$y=bx+a$（$a、b$为常数且$a≠b$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
B
）答案
9. B 解析:若$a＞0,b＞0$,则直线$y=ax+b$与$y=bx+a$都经过第一、二、三象限;若$a＞0,b＜0$,则直线$y=bx+a$经过第一、二、四象限,直线$y=ax+b$经过第一、三、四象限;若$a＜0,b＞0$,则直线$y=ax+b$经过第一、二、四象限,直线$y=bx+a$经过第一、三、四象限;若$a＜0,b＜0$,则直线$y=ax+b$与$y=bx+a$都经过第二、三、四象限.结合各图象可知,只有B选项符合题意.
解析
【分析】
解题核心是利用一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）的图象与系数的对应关系：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限；$c$是直线与$y$轴的截距，$c＞0$时交$y$轴正半轴，$c＜0$时交$y$轴负半轴。本题中$y=ax+b$的斜率为$a$、截距为$b$，$y=bx+a$的斜率为$b$、截距为$a$，我们可以通过分类讨论$a$、$b$的正负，判断两个函数对应的图象特征，再和选项比对，也可以逐一验证选项中两条直线对应的$a$、$b$符号是否一致，矛盾的直接排除，即可找到正确答案。
【解析】
根据一次函数图象与系数的关系，分四种情况讨论：
① 若$a＞0,b＞0$：直线$y=ax+b$斜率为正、截距为正，经过第一、二、三象限；直线$y=bx+a$斜率为正、截距为正，也经过第一、二、三象限，所有选项均不符合该情况，排除。
② 若$a＞0,b＜0$：直线$y=ax+b$斜率为正、截距为负，经过第一、三、四象限；直线$y=bx+a$斜率为负、截距为正，经过第一、二、四象限，和选项B的图象特征完全一致。
③ 若$a＜0,b＞0$：直线$y=ax+b$经过第一、二、四象限，直线$y=bx+a$经过第一、三、四象限，无对应选项，排除。
④ 若$a＜0,b＜0$：两条直线斜率均为负、截距均为负，都经过第二、三、四象限，无对应选项，排除。
综上只有B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象的典型判断题，解题关键是理清两个一次函数的斜率、截距与参数$a、b$的对应关系，通过分类讨论或排除法均可快速得出答案，能有效考查对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）的图象与系数的对应关系：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限；$c$是直线与$y$轴的截距，$c＞0$时交$y$轴正半轴，$c＜0$时交$y$轴负半轴。本题中$y=ax+b$的斜率为$a$、截距为$b$，$y=bx+a$的斜率为$b$、截距为$a$，我们可以通过分类讨论$a$、$b$的正负，判断两个函数对应的图象特征，再和选项比对，也可以逐一验证选项中两条直线对应的$a$、$b$符号是否一致，矛盾的直接排除，即可找到正确答案。
【解析】
根据一次函数图象与系数的关系，分四种情况讨论：
① 若$a＞0,b＞0$：直线$y=ax+b$斜率为正、截距为正，经过第一、二、三象限；直线$y=bx+a$斜率为正、截距为正，也经过第一、二、三象限，所有选项均不符合该情况，排除。
② 若$a＞0,b＜0$：直线$y=ax+b$斜率为正、截距为负，经过第一、三、四象限；直线$y=bx+a$斜率为负、截距为正，经过第一、二、四象限，和选项B的图象特征完全一致。
③ 若$a＜0,b＞0$：直线$y=ax+b$经过第一、二、四象限，直线$y=bx+a$经过第一、三、四象限，无对应选项，排除。
④ 若$a＜0,b＜0$：两条直线斜率均为负、截距均为负，都经过第二、三、四象限，无对应选项，排除。
综上只有B选项符合题意。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象性质，一次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象的典型判断题，解题关键是理清两个一次函数的斜率、截距与参数$a、b$的对应关系，通过分类讨论或排除法均可快速得出答案，能有效考查对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 已知一次函数 $ y = (2m + 1)x + m - 3 $ 的图象不经过第二象限，则 $ m $ 的取值范围为 ______.
答案
10. $-\frac{1}{2}＜m≤3$ 解析:根据题意,得$\begin{cases} 2m+1＞0,\\ m-3≤0, \end{cases}$解得$-\frac{1}{2}＜m≤3.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象性质：图象经过的象限由$k$（斜率）和$b$（y轴截距）的符号共同决定。若图象不经过第二象限，有两种情况：经过第一、三、四象限，或仅经过第一、三象限，据此推导参数条件：
1. 首先斜率必须为正，即$k＞0$：只有直线从左往右上升，才有可能不经过第二象限，若$k＜0$直线下降，必然会经过第二象限，因此可得$2m+1＞0$；
2. 其次y轴截距不能为正，即$b≤0$：若截距为正，直线会和y轴正半轴相交，必然经过第二象限；当$b=0$时直线过原点，仅过第一、三象限，也满足不经过第二象限，因此可得$m-3≤0$。
最后联立两个不等式求解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据一次函数图象不经过第二象限的性质，列不等式组：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\m-3≤0\end{cases}$
解第一个不等式：
$2m+1＞0$，移项得$2m＞-1$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
解第二个不等式：
$m-3≤0$，解得$m≤3$。
联立两个不等式的解集，可得$m$的取值范围为$-\frac{1}{2}＜m≤3$。
【答案】
$-\frac{1}{2}＜m≤3$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查一次函数图象象限分布和系数的对应关系，解题时要注意“不经过第二象限”包含直线过原点的情况，不要遗漏$b≤0$的等号，避免解集范围缩小。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象性质：图象经过的象限由$k$（斜率）和$b$（y轴截距）的符号共同决定。若图象不经过第二象限，有两种情况：经过第一、三、四象限，或仅经过第一、三象限，据此推导参数条件：
1. 首先斜率必须为正，即$k＞0$：只有直线从左往右上升，才有可能不经过第二象限，若$k＜0$直线下降，必然会经过第二象限，因此可得$2m+1＞0$；
2. 其次y轴截距不能为正，即$b≤0$：若截距为正，直线会和y轴正半轴相交，必然经过第二象限；当$b=0$时直线过原点，仅过第一、三象限，也满足不经过第二象限，因此可得$m-3≤0$。
最后联立两个不等式求解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据一次函数图象不经过第二象限的性质，列不等式组：
$\begin{cases}2m+1＞0 \\m-3≤0\end{cases}$
解第一个不等式：
$2m+1＞0$，移项得$2m＞-1$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
解第二个不等式：
$m-3≤0$，解得$m≤3$。
联立两个不等式的解集，可得$m$的取值范围为$-\frac{1}{2}＜m≤3$。
【答案】
$-\frac{1}{2}＜m≤3$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查一次函数图象象限分布和系数的对应关系，解题时要注意“不经过第二象限”包含直线过原点的情况，不要遗漏$b≤0$的等号，避免解集范围缩小。
【难度系数】
0.65
11. 在函数$y=kx+b(k≠0)$的图象上，当$-1≤x≤2$时，$-2≤y≤1$，则这条直线的函数表达式为________.
答案
11. y=x-1或y=-x 解析:由题意可知,点$(-1,-2)$、$(2,1)$或点$(-1,1)$、$(2,-2)$在直线$y=kx+b$($k≠0$)的图象上,则有$\begin{cases} -k+b=-2,\\ 2k+b=1 \end{cases}$或$\begin{cases} -k+b=1,\\ 2k+b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1,\\ b=-1 \end{cases}$或$\begin{cases} k=-1,\\ b=0, \end{cases}$$\therefore$这条直线的函数表达式为$y=x-1$或$y=-x.$
解析
【分析】
一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定，题目未明确$k$的正负，因此需要分类讨论：①当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，此时$x$取最小值$-1$时$y$对应最小值$-2$，$x$取最大值$2$时$y$对应最大值$1$；②当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，此时$x$取最小值$-1$时$y$对应最大值$1$，$x$取最大值$2$时$y$对应最小值$-2$。将两种情况的两组$x、y$值分别代入函数解析式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k、b$的值，进而得到直线的函数表达式。
【解析】
解：由题意需分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，直线过点$(-1,-2)$、$(2,1)$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -k+b=-2\\ 2k+b=1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$，解得$b=-1$。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，直线过点$(-1,1)$、$(2,-2)$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -k+b=1\\ 2k+b=-2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k+b=1$，解得$b=0$。
综上可得直线的函数表达式。
【答案】
$y=x-1$或$y=-x$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题的易错点是忽略$k$的符号需要分类讨论，容易漏解，解题时要结合一次函数的增减性分析对应点的坐标，再用待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.6
一次函数$y=kx+b(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定，题目未明确$k$的正负，因此需要分类讨论：①当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，此时$x$取最小值$-1$时$y$对应最小值$-2$，$x$取最大值$2$时$y$对应最大值$1$；②当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，此时$x$取最小值$-1$时$y$对应最大值$1$，$x$取最大值$2$时$y$对应最小值$-2$。将两种情况的两组$x、y$值分别代入函数解析式，得到关于$k、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k、b$的值，进而得到直线的函数表达式。
【解析】
解：由题意需分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，直线过点$(-1,-2)$、$(2,1)$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -k+b=-2\\ 2k+b=1 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-k+b=-2$，解得$b=-1$。
2. 当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，直线过点$(-1,1)$、$(2,-2)$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -k+b=1\\ 2k+b=-2 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$-k+b=1$，解得$b=0$。
综上可得直线的函数表达式。
【答案】
$y=x-1$或$y=-x$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题的易错点是忽略$k$的符号需要分类讨论，容易漏解，解题时要结合一次函数的增减性分析对应点的坐标，再用待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.6
12. 已知一次函数$y=ax - a + 2$（$a$为常数，且$a≠0$），若当$-1≤x≤4$时，函数有最大值7，则$a$的值为________.
答案
12. $\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}$ 解析:$\because y=ax-a+2=a(x-1)+2$,$\therefore$该一次函数的图象恒过点$(1,2)$.①当$a＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,则当$x=4$时,$y$有最大值7,把$x=4,y=7$代入函数表达式,得$7=4a-a+2$,解得$a=\frac{5}{3}$;②当$a＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,则当$x=-1$时,$y$有最大值7,把$x=-1,y=7$代入函数表达式,得$7=-a-a+2$,解得$a=-\frac{5}{2}$.综上所述,$a$的值为$\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}.$
解析
【分析】
本题需要结合一次函数的增减性求解参数，解题思路如下：首先，一次函数的增减性由一次项系数a的符号决定，因此需要分a＞0和a＜0两种情况讨论；其次，根据增减性确定在给定x的取值范围内，函数取得最大值时对应的x的值；最后将x和最大值代入函数解析式，解方程即可求出a的值，注意验证求出的a是否符合对应的分类条件。
【解析】
先对函数解析式变形：$y=ax - a + 2 = a(x-1) + 2$，可知该一次函数图象恒过定点$(1,2)$。
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，结合$-1≤x≤4$的范围，当$x=4$时$y$取得最大值7。
将$x=4,y=7$代入解析式得：
$7=4a - a + 2$
$3a=5$
解得$a=\frac{5}{3}$，符合$a＞0$的条件。
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，结合$-1≤x≤4$的范围，当$x=-1$时$y$取得最大值7。
将$x=-1,y=7$代入解析式得：
$7=-a - a + 2$
$-2a=5$
解得$a=-\frac{5}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的最值；待定系数法求参数
【点评】
本题重点考查一次函数性质的应用，解题核心是根据一次项系数的符号分类讨论确定最值点，需要注意避免漏考虑a为负数的情况。
【难度系数】
0.6
本题需要结合一次函数的增减性求解参数，解题思路如下：首先，一次函数的增减性由一次项系数a的符号决定，因此需要分a＞0和a＜0两种情况讨论；其次，根据增减性确定在给定x的取值范围内，函数取得最大值时对应的x的值；最后将x和最大值代入函数解析式，解方程即可求出a的值，注意验证求出的a是否符合对应的分类条件。
【解析】
先对函数解析式变形：$y=ax - a + 2 = a(x-1) + 2$，可知该一次函数图象恒过定点$(1,2)$。
①当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，结合$-1≤x≤4$的范围，当$x=4$时$y$取得最大值7。
将$x=4,y=7$代入解析式得：
$7=4a - a + 2$
$3a=5$
解得$a=\frac{5}{3}$，符合$a＞0$的条件。
②当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，结合$-1≤x≤4$的范围，当$x=-1$时$y$取得最大值7。
将$x=-1,y=7$代入解析式得：
$7=-a - a + 2$
$-2a=5$
解得$a=-\frac{5}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$或$-\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数的最值；待定系数法求参数
【点评】
本题重点考查一次函数性质的应用，解题核心是根据一次项系数的符号分类讨论确定最值点，需要注意避免漏考虑a为负数的情况。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(1,1)、(4,1)、(2,3).若直线$y=kx(k≠0)$与$△ ABC$的三边有两个公共点,求k的取值范围.
答案
13. 当直线经过点A(1,1)时,k=1;当直线经过点C(2,3)时,3=2k,解得$k=\frac{3}{2}$;当直线经过点B(4,1)时,1=4k,解得$k=\frac{1}{4}$.结合图象可得,k的取值范围为$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}.$
解析
【分析】
直线$y=kx$是过原点的正比例函数，$k$的取值决定直线的倾斜程度。要确定直线与$△ ABC$三边有两个公共点的$k$的范围，可先找到直线刚好经过三角形三个顶点的临界位置，计算对应临界$k$值，再结合直线绕原点旋转的图像变化，判断不同$k$区间对应的交点个数，最终得到符合要求的取值范围。
【解析】
先分别计算直线$y=kx$经过$△ ABC$三个顶点时的$k$值：
1. 当直线过点$A(1,1)$时，将$x=1,y=1$代入$y=kx$，得$1=k×1$，解得$k=1$；
2. 当直线过点$C(2,3)$时，将$x=2,y=3$代入$y=kx$，得$3=k×2$，解得$k=\frac{3}{2}$；
3. 当直线过点$B(4,1)$时，将$x=4,y=1$代入$y=kx$，得$1=k×4$，解得$k=\frac{1}{4}$。
结合图像分析：当$k≤\frac{1}{4}$或$k≥\frac{3}{2}$时，直线与$△ ABC$最多只有1个公共点；当$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}$时，直线与$△ ABC$的两条边相交，共有两个公共点。
【答案】
$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}$
【知识点】
正比例函数性质，函数交点计算，数形结合思想
【点评】
本题核心是利用正比例函数过原点的特性，通过计算临界位置的$k$值，结合图像判断交点情况，解题时需注意临界值处直线仅与三角形有1个公共点，因此取值范围不包含端点。
【难度系数】
0.7
直线$y=kx$是过原点的正比例函数，$k$的取值决定直线的倾斜程度。要确定直线与$△ ABC$三边有两个公共点的$k$的范围，可先找到直线刚好经过三角形三个顶点的临界位置，计算对应临界$k$值，再结合直线绕原点旋转的图像变化，判断不同$k$区间对应的交点个数，最终得到符合要求的取值范围。
【解析】
先分别计算直线$y=kx$经过$△ ABC$三个顶点时的$k$值：
1. 当直线过点$A(1,1)$时，将$x=1,y=1$代入$y=kx$，得$1=k×1$，解得$k=1$；
2. 当直线过点$C(2,3)$时，将$x=2,y=3$代入$y=kx$，得$3=k×2$，解得$k=\frac{3}{2}$；
3. 当直线过点$B(4,1)$时，将$x=4,y=1$代入$y=kx$，得$1=k×4$，解得$k=\frac{1}{4}$。
结合图像分析：当$k≤\frac{1}{4}$或$k≥\frac{3}{2}$时，直线与$△ ABC$最多只有1个公共点；当$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}$时，直线与$△ ABC$的两条边相交，共有两个公共点。
【答案】
$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}$
【知识点】
正比例函数性质，函数交点计算，数形结合思想
【点评】
本题核心是利用正比例函数过原点的特性，通过计算临界位置的$k$值，结合图像判断交点情况，解题时需注意临界值处直线仅与三角形有1个公共点，因此取值范围不包含端点。
【难度系数】
0.7
14. 如图,一次函数$y=2x+b$经过点$(1,3)$,它的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$、$B$两点.
(1)求$△ AOB$的面积.
(2)将该直线绕点$A$顺时针旋转$45°$得到直线$l$,过点$B$作$BC ⊥ AB$交直线$l$于点$C$,求点$C$的坐标和直线$l$的函数表达式.
(1)求$△ AOB$的面积.
(2)将该直线绕点$A$顺时针旋转$45°$得到直线$l$,过点$B$作$BC ⊥ AB$交直线$l$于点$C$,求点$C$的坐标和直线$l$的函数表达式.
答案
14. (1)把(1,3)代入y=2x+b,得3=2+b,解得b=1,$\therefore y=2x+1$.令y=0,得$x=-\frac{1}{2}$;令x=0,得y=1,$\therefore A(-\frac{1}{2},0),B(0,1)$,$\therefore OA=\frac{1}{2},OB=1$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}.$ (2)如图
,过点C作CD$⊥$y轴于点D.$\because ∠ BAC=45°,BC⊥ AB$,$\therefore ∠ ACB=45°$,$\therefore AB=BC$.$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°=∠ ABO+∠ CBD$,$\therefore ∠ BAO=∠ CBD$.在$△ AOB$和$△ BDC$中,$\begin{cases} ∠ AOB=∠ BDC=90°,\\ ∠ BAO=∠ CBD,\\ AB=BC, \end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ BDC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BD=OA=\frac{1}{2},CD=OB=1$,$\therefore OD=OB-BD=\frac{1}{2}$,$\therefore$点C的坐标为$(1,\frac{1}{2})$.设直线l的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,把$A(-\frac{1}{2},0),C(1,\frac{1}{2})$代入,得$\begin{cases} -\frac{1}{2}m+n=0,\\ m+n=\frac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\frac{1}{3},\\ n=\frac{1}{6}, \end{cases}$$\therefore$直线l的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}.$解析
【分析】
(1) 要计算△AOB的面积，需先得到A、B两点的坐标：首先将点(1,3)代入一次函数解析式求出b的值，得到完整的函数表达式，再分别令y=0、x=0求出A、B两点坐标，最后利用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 由直线绕点A顺时针旋转45°、BC⊥AB，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB=BC。此时过点C作CD⊥y轴，可通过同角的余角相等推出∠BAO=∠CBD，进而证明△AOB≌△BDC，利用全等三角形对应边相等求出CD、BD的长度，即可得到点C坐标；再将A、C两点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法就能求出直线l的解析式。
【解析】
(1) 把点(1,3)代入$y=2x+b$，得$3=2×1+b$，解得$b=1$，因此一次函数解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，代入解析式得$0=2x+1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即点A坐标为$(-\frac{1}{2},0)$，$OA=\frac{1}{2}$；
令$x=0$，代入解析式得$y=1$，即点B坐标为$(0,1)$，$OB=1$。
△AOB为直角三角形，因此面积$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$。
(2) 过点C作CD⊥y轴于点D，如图。
∵直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l，
∴∠BAC=45°，
又
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，因此∠ACB=90°-45°=45°，即∠BAC=∠ACB，可得AB=BC。
在Rt△AOB中，∠BAO+∠ABO=90°，又
∵∠ABO+∠CBD=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAO=∠CBD。
在△AOB和△BDC中：
$\begin{cases} ∠AOB=∠BDC=90° \\ ∠BAO=∠CBD \\ AB=BC \end{cases}$
∴△AOB≌△BDC（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，得$BD=OA=\frac{1}{2}$，$CD=OB=1$。
因此$OD=OB-BD=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，点C在第一象限，横坐标为CD的长度1，纵坐标为OD的长度$\frac{1}{2}$，即$C(1,\frac{1}{2})$。
设直线l的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A(-\frac{1}{2},0)$、$C(1,\frac{1}{2})$代入解析式得：
$\begin{cases} -\frac{1}{2}m + n = 0 \\ m + n = \frac{1}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{3} \\ n=\frac{1}{6} \end{cases}$，因此直线l的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}$。
【答案】
14. (1)把(1,3)代入y=2x+b,得3=2+b,解得b=1,$\therefore y=2x+1$.令y=0,得$x=-\frac{1}{2}$;令x=0,得y=1,$\therefore A(-\frac{1}{2},0),B(0,1)$,$\therefore OA=\frac{1}{2},OB=1$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}.$ (2)如图,过点C作CD$⊥$y轴于点D.$\because ∠ BAC=45°,BC⊥ AB$,$\therefore ∠ ACB=45°$,$\therefore AB=BC$.$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°=∠ ABO+∠ CBD$,$\therefore ∠ BAO=∠ CBD$.在$△ AOB$和$△ BDC$中,$\begin{cases} ∠ AOB=∠ BDC=90°,\\ ∠ BAO=∠ CBD,\\ AB=BC, \end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ BDC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BD=OA=\frac{1}{2},CD=OB=1$,$\therefore OD=OB-BD=\frac{1}{2}$,$\therefore$点C的坐标为$(1,\frac{1}{2})$.设直线l的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,把$A(-\frac{1}{2},0),C(1,\frac{1}{2})$代入,得$\begin{cases} -\frac{1}{2}m+n=0,\\ m+n=\frac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\frac{1}{3},\\ n=\frac{1}{6}, \end{cases}$$\therefore$直线l的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}.$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 全等三角形的判定与性质
3. 一次函数几何应用
【点评】
本题结合一次函数与几何全等知识考查，既覆盖了一次函数的基础考点，也需要学生通过构造全等三角形解决旋转类几何问题，侧重对数形结合思想的应用，能有效考查学生对函数和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要计算△AOB的面积，需先得到A、B两点的坐标：首先将点(1,3)代入一次函数解析式求出b的值，得到完整的函数表达式，再分别令y=0、x=0求出A、B两点坐标，最后利用直角三角形面积公式计算即可。
(2) 由直线绕点A顺时针旋转45°、BC⊥AB，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB=BC。此时过点C作CD⊥y轴，可通过同角的余角相等推出∠BAO=∠CBD，进而证明△AOB≌△BDC，利用全等三角形对应边相等求出CD、BD的长度，即可得到点C坐标；再将A、C两点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法就能求出直线l的解析式。
【解析】
(1) 把点(1,3)代入$y=2x+b$，得$3=2×1+b$，解得$b=1$，因此一次函数解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，代入解析式得$0=2x+1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，即点A坐标为$(-\frac{1}{2},0)$，$OA=\frac{1}{2}$；
令$x=0$，代入解析式得$y=1$，即点B坐标为$(0,1)$，$OB=1$。
△AOB为直角三角形，因此面积$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$。
(2) 过点C作CD⊥y轴于点D，如图
。∵直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l，
∴∠BAC=45°，
又
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，因此∠ACB=90°-45°=45°，即∠BAC=∠ACB，可得AB=BC。
在Rt△AOB中，∠BAO+∠ABO=90°，又
∵∠ABO+∠CBD=90°，根据同角的余角相等，可得∠BAO=∠CBD。
在△AOB和△BDC中：
$\begin{cases} ∠AOB=∠BDC=90° \\ ∠BAO=∠CBD \\ AB=BC \end{cases}$
∴△AOB≌△BDC（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，得$BD=OA=\frac{1}{2}$，$CD=OB=1$。
因此$OD=OB-BD=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，点C在第一象限，横坐标为CD的长度1，纵坐标为OD的长度$\frac{1}{2}$，即$C(1,\frac{1}{2})$。
设直线l的解析式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A(-\frac{1}{2},0)$、$C(1,\frac{1}{2})$代入解析式得：
$\begin{cases} -\frac{1}{2}m + n = 0 \\ m + n = \frac{1}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{1}{3} \\ n=\frac{1}{6} \end{cases}$，因此直线l的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}$。
【答案】
14. (1)把(1,3)代入y=2x+b,得3=2+b,解得b=1,$\therefore y=2x+1$.令y=0,得$x=-\frac{1}{2}$;令x=0,得y=1,$\therefore A(-\frac{1}{2},0),B(0,1)$,$\therefore OA=\frac{1}{2},OB=1$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}.$ (2)如图
,过点C作CD$⊥$y轴于点D.$\because ∠ BAC=45°,BC⊥ AB$,$\therefore ∠ ACB=45°$,$\therefore AB=BC$.$\because ∠ ABO+∠ BAO=90°=∠ ABO+∠ CBD$,$\therefore ∠ BAO=∠ CBD$.在$△ AOB$和$△ BDC$中,$\begin{cases} ∠ AOB=∠ BDC=90°,\\ ∠ BAO=∠ CBD,\\ AB=BC, \end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ BDC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BD=OA=\frac{1}{2},CD=OB=1$,$\therefore OD=OB-BD=\frac{1}{2}$,$\therefore$点C的坐标为$(1,\frac{1}{2})$.设直线l的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,把$A(-\frac{1}{2},0),C(1,\frac{1}{2})$代入,得$\begin{cases} -\frac{1}{2}m+n=0,\\ m+n=\frac{1}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\frac{1}{3},\\ n=\frac{1}{6}, \end{cases}$$\therefore$直线l的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}.$【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 全等三角形的判定与性质
3. 一次函数几何应用
【点评】
本题结合一次函数与几何全等知识考查，既覆盖了一次函数的基础考点，也需要学生通过构造全等三角形解决旋转类几何问题，侧重对数形结合思想的应用，能有效考查学生对函数和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
