9. 甲、乙两名同学下棋,甲执圆子,乙执方子.如图,棋盘中心方子的位置用$(-1,0)$表示,右下角方子的位置用$(0,-1)$表示,甲将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形,甲放的位置是 （）



A.$(-2,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,0)$
D.$(-1,2)$

9. B

【分析】
解题时首先要根据题目给出的两个已知棋子的坐标，确定平面直角坐标系的x轴、y轴、原点位置，明确每个方格对应单位长度1；再回忆轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形；最后先排除明显错误的选项（已有棋子的位置不能放），再逐一验证剩余选项放入后是否满足轴对称图形的要求，即可得到正确答案。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：已知中心方子的坐标为$(-1,0)$，说明该点在x轴上；右下角方子的坐标为$(0,-1)$，说明该点在y轴负半轴上。由此可得：水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，两轴交点为原点$(0,0)$，每个方格的边长为单位长度1。
2. 初步排除错误选项：选项C的$(-1,0)$是已有方子的位置，不能放置圆子，直接排除。
3. 验证剩余选项：
放入A选项$(-2,1)$：找不到一条直线，使所有棋子沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，排除；
放入B选项$(-1,1)$：沿直线$x=-1$（过点$(-1,0)$的竖直线）折叠，直线两侧的棋子完全重合，构成轴对称图形，符合要求；
放入D选项$(-1,2)$：找不到一条直线，使所有棋子沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，排除。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系，轴对称图形识别，坐标确定位置
【点评】
本题解题的关键是先根据已知点的坐标准确定位坐标系，再结合轴对称图形的性质逐一验证选项，整体考查基础，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(4,4)$、$B(2,1)$、$C(5,2)$，沿某一直线作$△ ABC$的对称图形得到$△ A'B'C'$.若点$A$的对应点$A'$的坐标是$(3,5)$，则点$B$的对应点$B'$的坐标是 （）

A.$(0,3)$
B.$(1,2)$
C.$(0,2)$
D.$(4,1)$

10. A 解析:如图,点 B'的坐标为(0,3).

【分析】
要找到点B的对应点B'，首先需确定△ABC作轴对称变换的对称轴。根据轴对称的性质，对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，因此先利用已知的对应点A和A'求出对称轴，再根据对称点的坐标特征求出B关于该对称轴的对称点B'即可。
【解析】
1. 求对称轴解析式：
已知A(4,4)，对应点A'(3,5)，先计算线段AA'的中点坐标：
横坐标：$\frac{4+3}{2}=3.5$，纵坐标：$\frac{4+5}{2}=4.5$，即中点为$(3.5,4.5)$。
直线AA'的斜率为$\frac{5-4}{3-4}=-1$，因为对称轴是AA'的垂直平分线，所以对称轴的斜率为1（互相垂直的两条直线斜率乘积为-1）。
设对称轴解析式为$y=x+b$，将中点$(3.5,4.5)$代入得：
$4.5=3.5+b$，解得$b=1$，即对称轴为直线$y=x+1$。
2. 求B(2,1)关于直线$y=x+1$的对称点$B'(m,n)$：
根据轴对称的性质，① 线段BB'的中点在对称轴上；② 直线BB'与对称轴垂直。
由①得：$\frac{1+n}{2}=\frac{2+m}{2}+1$，整理得$n=m+3$；
由②得：直线BB'的斜率为$-1$，即$\frac{n-1}{m-2}=-1$，整理得$n=-m+3$。
联立两个方程$\begin{cases}n=m+3\\n=-m+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=0\\n=3\end{cases}$，即$B'$的坐标为$(0,3)$。
【答案】
A 解析:如图,点 B'的坐标为(0,3).
【知识点】
轴对称的性质；坐标与图形变换；一次函数解析式
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，解题核心是先通过已知对应点确定对称轴，再利用轴对称的性质求解未知对应点，解题时也可直接在网格中作图找对称点，更为直观。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中,$Rt△ ABC$的顶点$A$在$x$轴上,顶点$B$在$y$轴上,$∠ ACB=90°$,$OB// AC$,点$C$的坐标为$(4,8)$,点$D$和点$C$关于$AB$成轴对称,且$AD$交$y$轴于点$E$,则点$E$的坐标为________.

11. (0,3) 解析:
∵∠ACB=90°,OB//AC,
∴∠OBC=90°,又
∵∠BOA=90°,
∴四边形 BOAC 是矩形.
∵点 C 的坐标为(4,8),
∴AC=8,BC=4,
∴BD=BC=4,AD=AC=8.
∵点 D 和点 C 关于 AB 成轴对称,
∴∠CAB=∠DAB,又
∵OB//AC,
∴∠OBA=∠CAB,
∴∠OBA=∠DAB,
∴BE=AE. 令 BE=AE=x,则 DE=8-x. 在△BDE 中,BD²+DE²=BE²,即4²+(8-x)²=x²,解得 x=5,
∴BE=5,
∴OE=8-5=3,即点 E 的坐标为(0,3).

【分析】
解题时先从已知的直角和平行关系出发，先判断四边形BOAC的形状，结合点C的坐标得到AC、BC的长度；再利用轴对称的性质得到对应边、对应角相等，结合平行线的内错角相等推出AE=BE，将未知线段设为未知数，最后在直角三角形BDE中利用勾股定理列方程求解，即可算出OE的长度得到点E的坐标。
【解析】
∵∠ACB=90°，OB//AC，
∴∠OBC=90°，
又
∵∠BOA=90°，
∴四边形BOAC是矩形。
∵点C的坐标为(4,8)，
∴AC=OB=8，BC=OA=4，
∵点D和点C关于AB成轴对称，
∴BD=BC=4，AD=AC=8，∠CAB=∠DAB，
∵OB//AC，
∴∠OBA=∠CAB，
∴∠OBA=∠DAB，
∴BE=AE。
设BE=AE=x，则DE=AD-AE=8-x，
在Rt△BDE中，∠D=∠ACB=90°，由勾股定理得BD²+DE²=BE²，
即$4^2+(8-x)^2=x^2$，
展开得$16+64-16x+x^2=x^2$，
化简得$80-16x=0$，解得$x=5$，
∴BE=5，
∴OE=OB-BE=8-5=3，
∵点E在y轴上，
∴点E的坐标为(0,3)。
【答案】
(0,3)
【知识点】
矩形的判定与性质；轴对称的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了几何图形的基本性质与方程思想的运用，解题的关键是通过轴对称和平行线的性质推出相等线段，再利用勾股定理建立方程求解，能有效检验学生对几何综合知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6

12. 在平面直角坐标系中,对于平面内任一点$(m,n)$,规定以下两种变换:
(1)$f(m,n)=(m,-n)$,例如:$f(2,1)=(2,-1)$;
(2)$g(m,n)=(-m,-n)$,例如:$g(2,1)=(-2,-1)$.
按照以上变换,那么$g[f(-3,2)]=\underline{\hspace{3em}}$.

12. (3,2) 解析:g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2).

【分析】
本题是新定义下的复合坐标变换题，计算时遵循从内到外的运算顺序：第一步先根据变换f的规则计算内层f(-3,2)的结果，第二步再将第一步得到的坐标代入变换g，按照g的规则计算最终结果，计算时注意符号的变化即可。
【解析】
首先计算内层的f变换：
根据变换规则$f(m,n)=(m,-n)$，将$m=-3$，$n=2$代入得：
$f(-3,2)=(-3, -2)$
再计算外层的g变换：
根据变换规则$g(m,n)=(-m,-n)$，将$m=-3$，$n=-2$代入得：
$g(-3,-2)=(-(-3), -(-2))=(3,2)$
因此$g[f(-3,2)]=(3,2)$
【答案】
(3,2)
【知识点】
新定义运算、坐标变换、有理数符号运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解两种变换的规则，按照从内到外的顺序逐步计算，计算过程中需注意负号的处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8

13. 如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,现有A、B、C三点,其中点A的坐标为$(-4,1)$,点B的坐标为$(1,1)$.
(1)请根据点A、B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C的坐标为.
(2)依次连接A、B、C、A得到$△ ABC$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(3)若点C关于直线AB的对称点为D,则点D的坐标为.
(4)在y轴上找一点F,使$△ ABF$的面积等于$△ ABD$的面积,点F的坐标为.

13. (1)建立平面直角坐标系如图所示. (-3,3)
(2)△ABC 为直角三角形,理由如下:由网格图可知,AB²=(1+4)²=25,AC²=1²+2²=5,BC²=2²+4²=20,
∴BC²+AC²=AB²,
∴△ABC 为直角三角形.
(3)(-3,-1)
(4)(0,-1)或(0,3) 解析:
∵△ABF 的面积等于△ABD 的面积,
∴点 F、D 到直线 AB 的距离相等,则|y_F-1|=1-(-1)=2,解得 y_F=-1 或 y_F=3,又
∵点 F 在 y 轴上,
∴点 F 的坐标为(0,-1)或(0,3).

【分析】
(1) 已知点A(-4,1)、B(1,1)，两点纵坐标相同，说明直线AB为平行于x轴的直线y=1，据此可确定x轴在AB下方1个单位处，再根据A、B的横坐标确定y轴位置，建立坐标系后即可读取C点坐标。(2) 判断三角形形状可利用勾股定理逆定理，分别计算三边的平方，验证是否满足两边平方和等于第三边平方即可。(3) 直线AB为y=1，点关于直线AB对称时横坐标不变，纵坐标到直线AB的距离与原点点到直线的距离相等，方向相反，即可求出对称点D的坐标。(4) △ABF和△ABD同以AB为底，面积相等则高相等，即点F到直线AB的距离等于点D到AB的距离，结合F在y轴上横坐标为0，即可求出F的坐标。
【解析】
(1) 由A(-4,1)、B(1,1)的纵坐标均为1，可知AB在直线y=1上，将x轴建立在AB下方1个单位长度处，根据A的横坐标为-4、B的横坐标为1确定y轴位置，建立平面直角坐标系如图所示，可得点C坐标为$(-3,3)$。
(2) 计算△ABC三边的平方：
AB的长度为$1-(-4)=5$，故$AB^2=5^2=25$；
横向看AC的水平距离为$-3-(-4)=1$，纵向距离为$3-1=2$，故$AC^2=1^2+2^2=5$；
横向看BC的水平距离为$1-(-3)=4$，纵向距离为$3-1=2$，故$BC^2=4^2+2^2=20$。
因为$AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形。
(3) 直线AB的解析式为$y=1$，点C$(-3,3)$到直线AB的距离为$3-1=2$，则对称点D横坐标与C相同为-3，纵坐标为$1-2=-1$，即D坐标为$(-3,-1)$。
(4) △ABF与△ABD同底AB，面积相等则高相等，即点F到直线AB的距离等于点D到AB的距离$1-(-1)=2$，因此$|y_F-1|=2$，解得$y_F=3$或$y_F=-1$，又F在y轴上横坐标为0，故F的坐标为$(0,-1)$或$(0,3)$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系如图所示，$(-3,3)$
(2) △ABC为直角三角形，理由如下：由网格图可知，$AB^2=(1+4)^2=25$，$AC^2=1^2+2^2=5$，$BC^2=2^2+4^2=20$，$\therefore BC^2+AC^2=AB^2$，$\therefore△ABC$为直角三角形。
(3) $(-3,-1)$
(4) $(0,-1)$或$(0,3)$
【知识点】
平面直角坐标系，勾股定理的逆定理，轴对称的坐标变化
【点评】
本题综合考查了坐标系建立、勾股定理逆定理应用、对称点坐标规律及三角形面积的性质，解题核心是抓住同底三角形面积相等时高相等的特点，结合坐标特征简化计算。
【难度系数】
0.7