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一、二次根式的相关概念
1. 形如$\_\_\_\_\_\_(a≥0)$的式子叫作二次根式.
2. 二次根式$\sqrt{a}$有意义时，$a$应满足的条件为________.
3. 二次根式满足如下两个条件:(1)被开方数不含________;(2)被开方数中不含________.满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.
1. 形如$\_\_\_\_\_\_(a≥0)$的式子叫作二次根式.
2. 二次根式$\sqrt{a}$有意义时，$a$应满足的条件为________.
3. 二次根式满足如下两个条件:(1)被开方数不含________;(2)被开方数中不含________.满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式.
答案
1.$\sqrt{a}$ 2.$a$为非负数 3.分母 能开得尽平方的因数或因式
解析
【分析】
本题考查二次根式相关的基础概念，解题时只需对应回忆教材中相关定义内容填写即可：第1题对应二次根式的定义形式，第2题对应二次根式有意义的前提要求，第3题对应最简二次根式的判定条件，均属于基础记忆类考点。
【解析】
1. 根据教材中二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$且要求被开方数$a≥0$的式子叫作二次根式，因此此处填$\sqrt{a}$；
2. 二次根式的被开方数不能为负数，因此要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，$a$需要满足$a≥0$，也就是$a$为非负数；
3. 最简二次根式需同时满足两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式，对应填写即可。
【答案】
1.$\sqrt{a}$ 2.$a$为非负数 3.分母；能开得尽平方的因数或因式
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，是二次根式章节的入门考点，熟练掌握相关概念是后续学习二次根式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式相关的基础概念，解题时只需对应回忆教材中相关定义内容填写即可：第1题对应二次根式的定义形式，第2题对应二次根式有意义的前提要求，第3题对应最简二次根式的判定条件，均属于基础记忆类考点。
【解析】
1. 根据教材中二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$且要求被开方数$a≥0$的式子叫作二次根式，因此此处填$\sqrt{a}$；
2. 二次根式的被开方数不能为负数，因此要使二次根式$\sqrt{a}$有意义，$a$需要满足$a≥0$，也就是$a$为非负数；
3. 最简二次根式需同时满足两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式，对应填写即可。
【答案】
1.$\sqrt{a}$ 2.$a$为非负数 3.分母；能开得尽平方的因数或因式
【知识点】
二次根式的定义；二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，是二次根式章节的入门考点，熟练掌握相关概念是后续学习二次根式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
二、二次根式的性质
1.$\sqrt{a}$ ______ $0(a≥0)$.
2.$(\sqrt{a})^{2}=\_\_\_\_\_\_(a≥0)$.
3.$\sqrt{a^{2}}=\_\_\_\_\_\_=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0).\end{cases}$
4.$\sqrt{a· b}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$.
5.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b＞0)$.
1.$\sqrt{a}$ ______ $0(a≥0)$.
2.$(\sqrt{a})^{2}=\_\_\_\_\_\_(a≥0)$.
3.$\sqrt{a^{2}}=\_\_\_\_\_\_=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0).\end{cases}$
4.$\sqrt{a· b}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$.
5.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b＞0)$.
答案
1.$≥$ 2.$a$ 3.$|a|$ 4.$\sqrt{a} · \sqrt{b}$ 5.$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的基本性质，解题时可结合算术平方根的定义逐一推导每个结论：1.首先明确$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，算术平方根的结果必然是非负的；2. 算术平方根是平方的逆运算，非负数的算术平方根再平方就等于它本身；3. 给$a$平方后开根号，结果必须保证非负，因此要借助绝对值表示，再根据$a$的正负去绝对值；4. 积的算术平方根可拆分两个非负数的算术平方根的乘积；5. 商的算术平方根可拆分为两个非负数的算术平方根的商，注意分母的算术平方根不能为0。
【解析】
1. 由于$\sqrt{a}$表示$a(a≥0)$的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{a}≥0(a≥0)$，填$≥$。
2. 对$a(a≥0)$的算术平方根再进行平方运算，逆运算后结果等于原数$a$，因此$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，填$a$。
3. $\sqrt{a^2}$的计算结果必须为非负数，和绝对值的非负性一致，因此$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据$a$的正负性去绝对值即可，填$|a|$。
4. 根据积的算术平方根的性质，两个非负数乘积的算术平方根等于两个数算术平方根的乘积，因此$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，填$\sqrt{a}·\sqrt{b}$。
5. 根据商的算术平方根的性质，非负数除以正数的商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根，因此$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，填$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
1.$≥$ 2.$a$ 3.$|a|$ 4.$\sqrt{a} · \sqrt{b}$ 5.$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式乘除性质
【点评】
本题是二次根式的核心基础知识点，是后续进行二次根式化简、运算的重要依据，学习时要牢记各性质的适用条件，避免忽略字母的取值范围出现运算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的基本性质，解题时可结合算术平方根的定义逐一推导每个结论：1.首先明确$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，算术平方根的结果必然是非负的；2. 算术平方根是平方的逆运算，非负数的算术平方根再平方就等于它本身；3. 给$a$平方后开根号，结果必须保证非负，因此要借助绝对值表示，再根据$a$的正负去绝对值；4. 积的算术平方根可拆分两个非负数的算术平方根的乘积；5. 商的算术平方根可拆分为两个非负数的算术平方根的商，注意分母的算术平方根不能为0。
【解析】
1. 由于$\sqrt{a}$表示$a(a≥0)$的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此$\sqrt{a}≥0(a≥0)$，填$≥$。
2. 对$a(a≥0)$的算术平方根再进行平方运算，逆运算后结果等于原数$a$，因此$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，填$a$。
3. $\sqrt{a^2}$的计算结果必须为非负数，和绝对值的非负性一致，因此$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据$a$的正负性去绝对值即可，填$|a|$。
4. 根据积的算术平方根的性质，两个非负数乘积的算术平方根等于两个数算术平方根的乘积，因此$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，填$\sqrt{a}·\sqrt{b}$。
5. 根据商的算术平方根的性质，非负数除以正数的商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根，因此$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，填$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
1.$≥$ 2.$a$ 3.$|a|$ 4.$\sqrt{a} · \sqrt{b}$ 5.$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式乘除性质
【点评】
本题是二次根式的核心基础知识点，是后续进行二次根式化简、运算的重要依据，学习时要牢记各性质的适用条件，避免忽略字母的取值范围出现运算错误。
【难度系数】
0.9
三、二次根式的加、减、乘、除等运算
1. 二次根式的乘法：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ (a≥0,b≥0)$。
2. 二次根式的除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_ (a≥0,b＞0)$。
3. 二次根式的加减法：先将二次根式化成________，再将________的二次根式进行合并。
4. 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用。
1. 二次根式的乘法：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_ (a≥0,b≥0)$。
2. 二次根式的除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_ (a≥0,b＞0)$。
3. 二次根式的加减法：先将二次根式化成________，再将________的二次根式进行合并。
4. 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用。
答案
1.$\sqrt{ab}$ 2.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 3.最简二次根式 被开方数相同
解析
【分析】
本题考查二次根式基本运算法则的记忆与理解，解题时只需回忆对应法则的内容，结合法则的适用条件填写即可：
1. 回忆二次根式乘法法则：两个非负二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘；
2. 回忆二次根式除法法则：两个二次根式相除（分母被开方数为正），根指数不变，被开方数相除；
3. 回忆二次根式加减法的运算步骤：先化简再合并同类二次根式，对应填写两步的要求即可。
【解析】
1. 根据二次根式乘法法则，当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
2. 根据二次根式除法法则，当$a≥0,b＞0$时，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$；
3. 二次根式加减法的运算步骤为：先将所有二次根式化成最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式），再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并，合并时仅系数相加减，被开方数和根指数保持不变。
【答案】
1.$\sqrt{ab}$ 2.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 3.最简二次根式 被开方数相同
【知识点】
二次根式的乘法法则；二次根式的除法法则；二次根式的加减法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，涉及的二次根式运算法则是二次根式相关运算的核心基础，需要准确记忆法则内容及适用条件，为后续复杂的二次根式混合运算、化简求值类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式基本运算法则的记忆与理解，解题时只需回忆对应法则的内容，结合法则的适用条件填写即可：
1. 回忆二次根式乘法法则：两个非负二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘；
2. 回忆二次根式除法法则：两个二次根式相除（分母被开方数为正），根指数不变，被开方数相除；
3. 回忆二次根式加减法的运算步骤：先化简再合并同类二次根式，对应填写两步的要求即可。
【解析】
1. 根据二次根式乘法法则，当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
2. 根据二次根式除法法则，当$a≥0,b＞0$时，$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$；
3. 二次根式加减法的运算步骤为：先将所有二次根式化成最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式），再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并，合并时仅系数相加减，被开方数和根指数保持不变。
【答案】
1.$\sqrt{ab}$ 2.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 3.最简二次根式 被开方数相同
【知识点】
二次根式的乘法法则；二次根式的除法法则；二次根式的加减法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，涉及的二次根式运算法则是二次根式相关运算的核心基础，需要准确记忆法则内容及适用条件，为后续复杂的二次根式混合运算、化简求值类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
