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1. 如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定$△ ABO ≌ △ DCO$的依据是 （
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
B
）A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
答案
1.B
解析
【分析】
要判定两个三角形全等，首先梳理题目给出的已知条件：第一，题目明确给出$OA=OD$，$OB=OC$，即两组对应边相等；第二，$AC$与$BD$相交于点$O$，根据对顶角的性质可得$∠ AOB=∠ DOC$，这个角恰好是两组相等对应边的夹角。对照全等三角形的判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，对应的判定依据就是SAS。
【解析】
已知$OA=OD$，$OB=OC$，
$\because AC$和$BD$交于点$O$，$\therefore ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）。
在$△ ABO$和$△ DCO$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ DCO$（SAS），因此判定依据为SAS。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是准确找到两个三角形对应相等的边和夹角，熟练掌握全等三角形各判定定理的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判定两个三角形全等，首先梳理题目给出的已知条件：第一，题目明确给出$OA=OD$，$OB=OC$，即两组对应边相等；第二，$AC$与$BD$相交于点$O$，根据对顶角的性质可得$∠ AOB=∠ DOC$，这个角恰好是两组相等对应边的夹角。对照全等三角形的判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，对应的判定依据就是SAS。
【解析】
已知$OA=OD$，$OB=OC$，
$\because AC$和$BD$交于点$O$，$\therefore ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）。
在$△ ABO$和$△ DCO$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ DCO$（SAS），因此判定依据为SAS。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是准确找到两个三角形对应相等的边和夹角，熟练掌握全等三角形各判定定理的适用条件即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图,在三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤,让它自然下垂.如果调整架身,使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是（
A.等腰三角形的三线合一
B.等角对等边
C.三角形具有稳定性
D.等边对等角
A
）A.等腰三角形的三线合一
B.等角对等边
C.三角形具有稳定性
D.等边对等角
答案
2.A
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，因此AD是等腰△ABC底边BC上的中线。重锤自然下垂时为竖直方向，若重锤线过点A，说明AD为竖直方向，要确认BC水平，就需要证明AD⊥BC。结合等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（三线合一），因此AD同时是BC边上的高，即AD⊥BC，竖直的AD垂直于BC，即可说明BC是水平的，对应原理就是等腰三角形三线合一，再排除其他不符合的选项即可。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，又因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线同时也是底边上的高，因此AD⊥BC。
重锤自然下垂时AD为竖直方向，竖直方向与水平方向互相垂直，因此BC处于水平位置。
该做法的依据是等腰三角形的三线合一，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形的定义
【点评】
本题将数学知识与生活中的测平工具相结合，考查等腰三角形性质的实际应用，解题的关键是抓住等腰三角形、底边中点这两个核心条件，对应三线合一的性质即可快速判断，体现了数学来源于生活、应用于生活的特点。
【难度系数】
0.85
首先梳理题目已知条件：AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，因此AD是等腰△ABC底边BC上的中线。重锤自然下垂时为竖直方向，若重锤线过点A，说明AD为竖直方向，要确认BC水平，就需要证明AD⊥BC。结合等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合（三线合一），因此AD同时是BC边上的高，即AD⊥BC，竖直的AD垂直于BC，即可说明BC是水平的，对应原理就是等腰三角形三线合一，再排除其他不符合的选项即可。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，又因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线同时也是底边上的高，因此AD⊥BC。
重锤自然下垂时AD为竖直方向，竖直方向与水平方向互相垂直，因此BC处于水平位置。
该做法的依据是等腰三角形的三线合一，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形的定义
【点评】
本题将数学知识与生活中的测平工具相结合，考查等腰三角形性质的实际应用，解题的关键是抓住等腰三角形、底边中点这两个核心条件，对应三线合一的性质即可快速判断，体现了数学来源于生活、应用于生活的特点。
【难度系数】
0.85
3. 如图，$△ ABC$的面积为12，$AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BD$于点$D$，则$△ ADC$的面积是（
A.10
B.8
C.6
D.4
C
）A.10
B.8
C.6
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
当遇到"角平分线+垂直于角平分线的线段"的几何模型时，我们可以通过延长垂线段构造全等三角形求解。本题中先延长BD交AC于点E，先证明△ABD与△AED全等得到BD=DE，再根据等底同高的三角形面积相等，即可推出△ADC的面积等于△ABC面积的一半。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中：
$\begin{cases}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{cases}$
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABD}=S_{△ AED}$，$S_{△ BDC}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ AED}+S_{△ EDC}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ AED}+S_{△ BDC}+S_{△ EDC})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12$，代入得：
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形综合题，核心是掌握“角平分线+垂直”模型的辅助线构造方法，再结合全等三角形性质和面积关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
当遇到"角平分线+垂直于角平分线的线段"的几何模型时，我们可以通过延长垂线段构造全等三角形求解。本题中先延长BD交AC于点E，先证明△ABD与△AED全等得到BD=DE，再根据等底同高的三角形面积相等，即可推出△ADC的面积等于△ABC面积的一半。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ABD和△AED中：
$\begin{cases}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{cases}$
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ ABD}=S_{△ AED}$，$S_{△ BDC}=S_{△ EDC}$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ AED}+S_{△ EDC}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ AED}+S_{△ BDC}+S_{△ EDC})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12$，代入得：
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形综合题，核心是掌握“角平分线+垂直”模型的辅助线构造方法，再结合全等三角形性质和面积关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.若一个三角形的两边长分别是2和3,第三边的长为奇数,则第三边的长为
3
.答案
4.3
解析
【分析】
要确定三角形第三边的长度，首先需根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合“第三边的长为奇数”这一限定条件，从取值范围内筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2 $
即$ 1 ＜ x ＜ 5 $
已知第三边的长为奇数，在$ 1 ＜ x ＜ 5 $的范围内的奇数只有3，因此第三边的长为3。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系；奇偶数判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时需先根据三边关系求出未知边的取值范围，再结合额外限制条件筛选最终结果，注意要牢记三角形三边的不等关系，避免范围计算错误。
【难度系数】
0.9
要确定三角形第三边的长度，首先需根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合“第三边的长为奇数”这一限定条件，从取值范围内筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2 $
即$ 1 ＜ x ＜ 5 $
已知第三边的长为奇数，在$ 1 ＜ x ＜ 5 $的范围内的奇数只有3，因此第三边的长为3。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系；奇偶数判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形三边关系的应用，解题时需先根据三边关系求出未知边的取值范围，再结合额外限制条件筛选最终结果，注意要牢记三角形三边的不等关系，避免范围计算错误。
【难度系数】
0.9
5.如图,直线$m// n,△ ABC$是等边三角形,顶点$B$在直线$n$上,直线$m$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$.若$∠ 1=140°$,则$∠ 2$的度数是________.
答案
5.$100°$
解析
【分析】
本题可按照以下思路求解：首先，根据等边三角形的性质得到∠A的度数；其次，利用邻补角的定义求出△AEF中∠AFE的度数，再结合三角形内角和定理算出∠AEF的度数；最后，根据对顶角相等和平行线的同旁内角互补的性质，即可计算得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵∠1与∠AFE互为邻补角，
∴∠AFE=180°-∠1=180°-140°=40°。
在△AEF中，由三角形内角和为180°得：
∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-60°-40°=80°。
∵∠BEM与∠AEF是对顶角，
∴∠BEM=∠AEF=80°。
又
∵直线$m// n$，
∴∠2 + ∠BEM = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2=180°-80°=100°。
【答案】
$100°$
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个基础几何性质推导角的数量关系，解题关键是准确识别对顶角、同旁内角等特殊位置关系的角。
【难度系数】
0.8
本题可按照以下思路求解：首先，根据等边三角形的性质得到∠A的度数；其次，利用邻补角的定义求出△AEF中∠AFE的度数，再结合三角形内角和定理算出∠AEF的度数；最后，根据对顶角相等和平行线的同旁内角互补的性质，即可计算得出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°。
∵∠1与∠AFE互为邻补角，
∴∠AFE=180°-∠1=180°-140°=40°。
在△AEF中，由三角形内角和为180°得：
∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-60°-40°=80°。
∵∠BEM与∠AEF是对顶角，
∴∠BEM=∠AEF=80°。
又
∵直线$m// n$，
∴∠2 + ∠BEM = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2=180°-80°=100°。
【答案】
$100°$
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合多个基础几何性质推导角的数量关系，解题关键是准确识别对顶角、同旁内角等特殊位置关系的角。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ B=38°$，$D$是边$AB$上一点，点$B$关于直线$CD$的对称点为$B'$，当$B'D// AC$时，$∠ BCD$的度数为________.
答案
6.$33°$
解析
【分析】
首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠A和∠ACB的度数；再由轴对称的性质可得∠CDB=∠CDB'；接着利用平行线的内错角相等得到∠ADB'=∠A=38°；最后结合平角的定义和三角形内角和定理，建立角的数量关系即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠B=38°$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠A=∠B=38°$，
∴$∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-38°×2=104°$。
∵点$B$与点$B'$关于直线$CD$对称，
∴$△ CDB≌△ CDB'$，即$∠CDB=∠CDB'$，$∠BCD=∠B'CD$。
设$∠BCD=x$，则$∠B'CD=x$，
在$△ CDB$中，$∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-38°-x=142°-x$，
∴$∠CDB'=142°-x$。
∵$B'D// AC$，
∴$∠A=∠ADB'=38°$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠CDB'=∠ADC + ∠ADB'$，且$∠ADC=180°-∠CDB$，
代入得：$142°-x = (180°-(142°-x)) + 38°$，
化简得：$142 - x = 76 + x$，
解得：$2x=66$，$x=33°$。
【答案】
$33°$
【知识点】
等腰三角形的性质；轴对称的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将等腰三角形、轴对称、平行线的性质结合考查，解题的核心是根据对称性质得到相等的角，再结合平行线的性质梳理出角之间的数量关系，通过简单的方程求解即可。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠A和∠ACB的度数；再由轴对称的性质可得∠CDB=∠CDB'；接着利用平行线的内错角相等得到∠ADB'=∠A=38°；最后结合平角的定义和三角形内角和定理，建立角的数量关系即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵$AC=BC$，$∠B=38°$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠A=∠B=38°$，
∴$∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-38°×2=104°$。
∵点$B$与点$B'$关于直线$CD$对称，
∴$△ CDB≌△ CDB'$，即$∠CDB=∠CDB'$，$∠BCD=∠B'CD$。
设$∠BCD=x$，则$∠B'CD=x$，
在$△ CDB$中，$∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-38°-x=142°-x$，
∴$∠CDB'=142°-x$。
∵$B'D// AC$，
∴$∠A=∠ADB'=38°$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠CDB'=∠ADC + ∠ADB'$，且$∠ADC=180°-∠CDB$，
代入得：$142°-x = (180°-(142°-x)) + 38°$，
化简得：$142 - x = 76 + x$，
解得：$2x=66$，$x=33°$。
【答案】
$33°$
【知识点】
等腰三角形的性质；轴对称的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将等腰三角形、轴对称、平行线的性质结合考查，解题的核心是根据对称性质得到相等的角，再结合平行线的性质梳理出角之间的数量关系，通过简单的方程求解即可。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$∠ B = ∠ C$,$AB = 20\ \mathrm{cm}$,$BC = 15\ \mathrm{cm}$,$E$ 为 $AB$ 的中点. 点 $P$ 在线段 $BC$ 上以 $5\ \mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $B$ 向点 $C$ 运动,同时,点 $Q$ 在线段 $CD$ 上由点 $C$ 向点 $D$ 运动. 若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度不相等,当点 $Q$ 的运动速度为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm/s}$ 时,能够使 $△ BPE$ 与 $△ CQP$ 全等.
答案
7.$\frac{20}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们先明确已知条件：E是AB中点，先算出BE的长度；再结合动点的运动速度和时间表示出各线段长度；由于∠B=∠C，两个三角形全等存在两种对应边匹配的情况，结合题目中“Q和P速度不相等”的限制排除不符合的情况，剩下的情况列方程求解即可得到Q的速度。
【解析】
解：
∵E为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$
设点P、Q的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$PC=BC-BP=(15-5t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=vt\ \mathrm{cm}$
∵$∠ B=∠ C$，$△ BPE$与$△ CQP$全等，分两种情况讨论：
1. 若$△ BPE≌△ CQP$，则对应边$BP=CQ$，$BE=CP$
此时$5t=vt$，可得$v=5$，与“点Q的运动速度与点P的运动速度不相等”矛盾，舍去该情况；
2. 若$△ BPE≌△ CPQ$，则对应边$BP=CP$，$BE=CQ$
先由$BP=CP$列方程：$5t=15-5t$，解得$t=1.5$
再将$t=1.5$代入$BE=CQ$得：$10=1.5v$，解得$v=\frac{10}{1.5}=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题解题的关键是对全等三角形的对应边进行分类讨论，同时要注意题目给出的速度不等的限制条件，排除不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们先明确已知条件：E是AB中点，先算出BE的长度；再结合动点的运动速度和时间表示出各线段长度；由于∠B=∠C，两个三角形全等存在两种对应边匹配的情况，结合题目中“Q和P速度不相等”的限制排除不符合的情况，剩下的情况列方程求解即可得到Q的速度。
【解析】
解：
∵E为AB的中点，$AB=20\ \mathrm{cm}$
∴$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$
设点P、Q的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$
由题意得：$BP=5t\ \mathrm{cm}$，$PC=BC-BP=(15-5t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=vt\ \mathrm{cm}$
∵$∠ B=∠ C$，$△ BPE$与$△ CQP$全等，分两种情况讨论：
1. 若$△ BPE≌△ CQP$，则对应边$BP=CQ$，$BE=CP$
此时$5t=vt$，可得$v=5$，与“点Q的运动速度与点P的运动速度不相等”矛盾，舍去该情况；
2. 若$△ BPE≌△ CPQ$，则对应边$BP=CP$，$BE=CQ$
先由$BP=CP$列方程：$5t=15-5t$，解得$t=1.5$
再将$t=1.5$代入$BE=CQ$得：$10=1.5v$，解得$v=\frac{10}{1.5}=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题解题的关键是对全等三角形的对应边进行分类讨论，同时要注意题目给出的速度不等的限制条件，排除不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
