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一、选择题
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，点$P$是$BC$边上的动点，则$AP$长不可能是 （
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$∠ B=30°$，点$P$是$BC$边上的动点，则$AP$长不可能是 （
D
）A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案
1. D
解析
【分析】
要判断AP长不可能的值，首先需要确定AP长度的取值范围。第一步，利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度；第二步，结合点P在BC边上的运动特征，根据垂线段最短的原理，明确AP的最短值为AC的长度，最长值为AB的长度；最后对比选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AB=2AC=2×3=6。
∵点P是BC边上的动点，
∴当点P与点C重合时，AP最短，此时AP=AC=3；
当点P与点B重合时，AP最长，此时AP=AB=6，
因此AP的取值范围为$3≤ AP≤ 6$。
对比选项：3.5、4.2、5.8均在取值范围内，7＞6，不在取值范围内，故AP长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质；垂线段最短；动点最值判断
【点评】
本题属于几何基础类题型，将直角三角形性质和动点最值问题相结合，解题的核心是准确找到动点线段的取值边界，明确最值对应的动点位置，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.75
要判断AP长不可能的值，首先需要确定AP长度的取值范围。第一步，利用直角三角形中30°角的性质求出斜边AB的长度；第二步，结合点P在BC边上的运动特征，根据垂线段最短的原理，明确AP的最短值为AC的长度，最长值为AB的长度；最后对比选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AB=2AC=2×3=6。
∵点P是BC边上的动点，
∴当点P与点C重合时，AP最短，此时AP=AC=3；
当点P与点B重合时，AP最长，此时AP=AB=6，
因此AP的取值范围为$3≤ AP≤ 6$。
对比选项：3.5、4.2、5.8均在取值范围内，7＞6，不在取值范围内，故AP长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形30°角性质；垂线段最短；动点最值判断
【点评】
本题属于几何基础类题型，将直角三角形性质和动点最值问题相结合，解题的核心是准确找到动点线段的取值边界，明确最值对应的动点位置，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.75
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC=10\ \mathrm{cm}$，$BC$边上的高$AD=6\ \mathrm{cm}$，则其面积为（
A.$96\ \mathrm{cm}^2$
B.$48\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$96\ \mathrm{cm}^2$
B.$48\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
2. B
解析
【分析】
首先明确△ABC是等腰三角形，已知腰长和底边上的高，要求面积需要先求出底边BC的长度。根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高AD同时是底边的中线，因此BD=CD，可先在直角三角形ABD中利用勾股定理求出BD的长度，进而得到BC的总长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ AB=AC，AD是BC边上的高
∴ AD⊥BC，且BD=CD（等腰三角形三线合一）
在Rt△ABD中，AB=10cm，AD=6cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$
∴ $BC=2BD=2×8=16\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD=\frac{1}{2}×16×6=48\ \mathrm{cm}^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到高平分底边，再结合勾股定理求出底边长度，考察的都是核心基础知识点，是等腰三角形相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
首先明确△ABC是等腰三角形，已知腰长和底边上的高，要求面积需要先求出底边BC的长度。根据等腰三角形三线合一的性质，底边上的高AD同时是底边的中线，因此BD=CD，可先在直角三角形ABD中利用勾股定理求出BD的长度，进而得到BC的总长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵ AB=AC，AD是BC边上的高
∴ AD⊥BC，且BD=CD（等腰三角形三线合一）
在Rt△ABD中，AB=10cm，AD=6cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$
∴ $BC=2BD=2×8=16\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD=\frac{1}{2}×16×6=48\ \mathrm{cm}^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到高平分底边，再结合勾股定理求出底边长度，考察的都是核心基础知识点，是等腰三角形相关计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列结论不一定成立的是（
A.$AB=AC$
B.$AB// CD$
C.$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AD=BC$
A
）A.$AB=AC$
B.$AB// CD$
C.$∠ BAD=∠ BCD$
D.$AD=BC$
答案
3. A
解析
【分析】
首先根据已知条件“对角线AC、BD相交于O，且OA=OC，OB=OD”，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形；再结合平行四边形的性质，逐一验证四个选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
解：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD。
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：
①对边平行且相等，因此AB//CD，AD=BC，故B、D选项结论一定成立；
②对角相等，因此∠BAD=∠BCD，故C选项结论一定成立；
对于A选项：AB是平行四边形的边，AC是平行四边形的对角线，平行四边形的边与对角线没有必然相等的关系，因此AB=AC不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先根据对角线的特征判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一判断选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件“对角线AC、BD相交于O，且OA=OC，OB=OD”，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形；再结合平行四边形的性质，逐一验证四个选项的结论是否一定成立，即可选出符合要求的答案。
【解析】
解：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD。
根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质：
①对边平行且相等，因此AB//CD，AD=BC，故B、D选项结论一定成立；
②对角相等，因此∠BAD=∠BCD，故C选项结论一定成立；
对于A选项：AB是平行四边形的边，AC是平行四边形的对角线，平行四边形的边与对角线没有必然相等的关系，因此AB=AC不一定成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先根据对角线的特征判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一判断选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在平行四边形ABCD中，$CE⊥ AB$且E为垂足.
如果$∠ A=125°$，则$∠ BCE=$（
A.$55°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
如果$∠ A=125°$，则$∠ BCE=$（
B
）A.$55°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A = 125°，
∴∠B = 180° - 125° = 55°，
又
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°，
在Rt△BEC中，∠B + ∠BCE = 90°，
∴∠BCE = 90° - 55° = 35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合平行四边形的性质和直角三角形的角度关系求解，掌握基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A = 125°，
∴∠B = 180° - 125° = 55°，
又
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°，
在Rt△BEC中，∠B + ∠BCE = 90°，
∴∠BCE = 90° - 55° = 35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合平行四边形的性质和直角三角形的角度关系求解，掌握基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 在对n个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数与频率之和分别等于 （
A.n，1
B.n，n
C.1，n
D.1，1
A
）A.n，1
B.n，n
C.1，n
D.1，1
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先回忆频数、频率的基本定义，再分别推导两者的总和：①频数是各组对应的数据个数，所有组的频数相加就是全部数据的总数量；②频率是频数与总数据数的比值，将各组频率求和时可结合频数总和推导结果，最后匹配选项即可。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 频数的含义：频数指的是各个小组内包含的数据的个数，因此所有组的频数之和就是参与统计的全部数据的总个数，本题总共有n个数据，所以各组频数之和为n。
2. 频率的含义：每个小组的频率 = 该小组的频数 ÷ 数据总数n，因此各组频率之和 = 各组频数之和 ÷ n = n ÷ n = 1。
综上，各组频数之和为n，频率之和为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
频数的定义；频率的定义；频率分布表性质
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考察对频数、频率基本概念的掌握，只要熟记相关定义就能快速得出答案，是统计模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆频数、频率的基本定义，再分别推导两者的总和：①频数是各组对应的数据个数，所有组的频数相加就是全部数据的总数量；②频率是频数与总数据数的比值，将各组频率求和时可结合频数总和推导结果，最后匹配选项即可。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 频数的含义：频数指的是各个小组内包含的数据的个数，因此所有组的频数之和就是参与统计的全部数据的总个数，本题总共有n个数据，所以各组频数之和为n。
2. 频率的含义：每个小组的频率 = 该小组的频数 ÷ 数据总数n，因此各组频率之和 = 各组频数之和 ÷ n = n ÷ n = 1。
综上，各组频数之和为n，频率之和为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
频数的定义；频率的定义；频率分布表性质
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考察对频数、频率基本概念的掌握，只要熟记相关定义就能快速得出答案，是统计模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
6. 用固定的速度向如右图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是 （
C
）答案
6. C
解析
【分析】
解决这类注水类的图像判断题，首先要抓住核心条件：注水速度固定，即单位时间内注入水的体积是恒定的。接下来结合容器形状分析横截面积的变化对水面上升速度的影响：容器的横截面积越大，相同体积的水注入后，水面上升的高度越小，也就是相同时间内水面高度增长越慢，对应图像的倾斜程度（斜率）就越小；反之横截面积越小，水面上升越快，图像倾斜程度越大。本题的杯子为下窄上宽的形状，越靠近杯口横截面积越大，因此水面上升速度会越来越慢，对应图像的倾斜程度会逐渐平缓，我们据此筛选选项即可。
【解析】
已知注水速度固定，因此单位时间内注入水的体积相等。
水面上升的高度和杯子横截面积的关系为：相同体积的水，注入横截面积越大的位置，水面上升的高度越小，即水面上升速度越慢，对应高度-时间图像的倾斜程度越小。
该杯子从底部到杯口横截面积逐渐增大，因此随着注水时间增加，水面上升的速度逐渐变慢，图像的倾斜程度逐渐平缓，只有选项C符合该特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图像判断，实际问题的变量关系
【点评】
本题属于函数图像的实际应用类基础题，主要考查结合生活场景分析变量变化规律的能力，不需要复杂计算，掌握容器粗细和水面上升速度的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决这类注水类的图像判断题，首先要抓住核心条件：注水速度固定，即单位时间内注入水的体积是恒定的。接下来结合容器形状分析横截面积的变化对水面上升速度的影响：容器的横截面积越大，相同体积的水注入后，水面上升的高度越小，也就是相同时间内水面高度增长越慢，对应图像的倾斜程度（斜率）就越小；反之横截面积越小，水面上升越快，图像倾斜程度越大。本题的杯子为下窄上宽的形状，越靠近杯口横截面积越大，因此水面上升速度会越来越慢，对应图像的倾斜程度会逐渐平缓，我们据此筛选选项即可。
【解析】
已知注水速度固定，因此单位时间内注入水的体积相等。
水面上升的高度和杯子横截面积的关系为：相同体积的水，注入横截面积越大的位置，水面上升的高度越小，即水面上升速度越慢，对应高度-时间图像的倾斜程度越小。
该杯子从底部到杯口横截面积逐渐增大，因此随着注水时间增加，水面上升的速度逐渐变慢，图像的倾斜程度逐渐平缓，只有选项C符合该特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图像判断，实际问题的变量关系
【点评】
本题属于函数图像的实际应用类基础题，主要考查结合生活场景分析变量变化规律的能力，不需要复杂计算，掌握容器粗细和水面上升速度的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 一个三角形三边的长分别是15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是
12 cm
.答案
7. 12 cm
解析
【分析】
首先观察三角形三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。再利用同一个三角形面积相等的原理（等面积法），分别用两直角边、斜边和斜边上的高表示三角形面积，建立等式即可求出最长边上的高。
【解析】
解：先判断三角形形状：
∵ $15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
且 $225 + 400 = 625$，即 $15^2 + 20^2 = 25^2$
∴ 该三角形是直角三角形，直角边长为15 cm、20 cm，最长边（斜边）长为25 cm。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
等式两边同时乘2消去分母，得：
$300 = 25h$
解得：$h = 12$
【答案】
12 cm
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式；等面积法求高
【点评】
本题是几何基础常考题，解题关键是先通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再灵活运用等面积法建立等式求解，掌握该方法可以快速解决直角三角形中已知三边求高类的问题。
【难度系数】
0.7
首先观察三角形三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，最长边为斜边。再利用同一个三角形面积相等的原理（等面积法），分别用两直角边、斜边和斜边上的高表示三角形面积，建立等式即可求出最长边上的高。
【解析】
解：先判断三角形形状：
∵ $15^2 = 225$，$20^2 = 400$，$25^2 = 625$
且 $225 + 400 = 625$，即 $15^2 + 20^2 = 25^2$
∴ 该三角形是直角三角形，直角边长为15 cm、20 cm，最长边（斜边）长为25 cm。
设最长边上的高为$h$ cm，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$
等式两边同时乘2消去分母，得：
$300 = 25h$
解得：$h = 12$
【答案】
12 cm
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积公式；等面积法求高
【点评】
本题是几何基础常考题，解题关键是先通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再灵活运用等面积法建立等式求解，掌握该方法可以快速解决直角三角形中已知三边求高类的问题。
【难度系数】
0.7
