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例 1 求下列各式的值.
(1)$\sqrt[3]{27}$. (2)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$. (3)$\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}$. (4)$\sqrt[3]{(-1)^{2}}$.
分析：1. 求一个数的立方根是一种运算——开立方运算. 开立方运算要借助于立方运算. 2. 如果是求一个开得尽方的数的立方根（如$\sqrt[3]{27}$），其结果可直接开出；如果是求一个开不尽方的数的立方根（如$\sqrt[3]{20}$），其结果用带三次根号的式子表示. 3. 求一个负数的立方根，先求其相反数的立方根，将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
解：(1)$\sqrt[3]{27}=3$.
(2)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$.
(3)$\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}=\dfrac{3}{5}$.
(4)$\sqrt[3]{(-1)^{2}}=1$.
(1)$\sqrt[3]{27}$. (2)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$. (3)$\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}$. (4)$\sqrt[3]{(-1)^{2}}$.
分析：1. 求一个数的立方根是一种运算——开立方运算. 开立方运算要借助于立方运算. 2. 如果是求一个开得尽方的数的立方根（如$\sqrt[3]{27}$），其结果可直接开出；如果是求一个开不尽方的数的立方根（如$\sqrt[3]{20}$），其结果用带三次根号的式子表示. 3. 求一个负数的立方根，先求其相反数的立方根，将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
解：(1)$\sqrt[3]{27}=3$.
(2)$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$.
(3)$\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}=\dfrac{3}{5}$.
(4)$\sqrt[3]{(-1)^{2}}=1$.
答案
(1)
解：因为$3^3 = 27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
(2)
解：因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}=-\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=-\frac{1}{4}$。
(3)
解：因为$(\frac{3}{5})^3=\frac{27}{125}$，所以$\sqrt[3]{\frac{27}{125}}=\frac{3}{5}$。
(4)
解：因为$(-1)^2 = 1$，且$1^3=1$，所以$\sqrt[3]{(-1)^{2}}=\sqrt[3]{1}=1$。
解：因为$3^3 = 27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$。
(2)
解：因为$(\frac{1}{4})^3=\frac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}=-\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=-\frac{1}{4}$。
(3)
解：因为$(\frac{3}{5})^3=\frac{27}{125}$，所以$\sqrt[3]{\frac{27}{125}}=\frac{3}{5}$。
(4)
解：因为$(-1)^2 = 1$，且$1^3=1$，所以$\sqrt[3]{(-1)^{2}}=\sqrt[3]{1}=1$。
变式：已知$x$为有理数，且$\sqrt[3]{x - 3}-\sqrt[3]{2x + 1}=0$，求$x^{2}+x + 15$的立方根.
答案
∵ $\sqrt[3]{x - 3} - \sqrt[3]{2x + 1} = 0$，
∴ $x - 3 = 2x + 1$．
解得 $x = - 4$．
∴ $x^{2} + x + 15 = 27$，$\sqrt[3]{27} = 3$．
