登录
一、选择题
1. 一组数据 1，1，a，2，2 的总体离差平方和是 1，则 a 为(
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
1. 一组数据 1，1，a，2，2 的总体离差平方和是 1，则 a 为(
B
).A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
答案
1. B 提示：分为两组，第一组 1，1，2，2，第二组 a.利用 $ S^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2} $ 可得 $ S_{2}^{2}=0 $，进而得 $ a=1.5 $
解析
首先计算这组数据的平均数：$\bar{x}=\frac{1 + 1 + a + 2 + 2}{5}=\frac{6 + a}{5}$
总体离差平方和为各数据与平均数差的平方之和，已知总体离差平方和是1，可得：
$\begin{aligned}(1 - \bar{x})^2 + (1 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2&=1\\2(1 - \bar{x})^2 + 2(2 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2&=1\end{aligned}$
将$\bar{x}=\frac{6 + a}{5}$代入上式：
$\begin{aligned}2(1 - \frac{6 + a}{5})^2 + 2(2 - \frac{6 + a}{5})^2 + (a - \frac{6 + a}{5})^2&=1\\2(\frac{5 - 6 - a}{5})^2 + 2(\frac{10 - 6 - a}{5})^2 + (\frac{5a - 6 - a}{5})^2&=1\\2(\frac{-1 - a}{5})^2 + 2(\frac{4 - a}{5})^2 + (\frac{4a - 6}{5})^2&=1\\2\frac{(a + 1)^2}{25} + 2\frac{(4 - a)^2}{25} + \frac{(4a - 6)^2}{25}&=1\\2(a^2 + 2a + 1) + 2(a^2 - 8a + 16) + (16a^2 - 48a + 36)&=25\\2a^2 + 4a + 2 + 2a^2 - 16a + 32 + 16a^2 - 48a + 36&=25\\20a^2 - 60a + 70&=25\\20a^2 - 60a + 45&=0\\4a^2 - 12a + 9&=0\\(2a - 3)^2&=0\\a&=\frac{3}{2}=1.5\end{aligned}$
答案：B
总体离差平方和为各数据与平均数差的平方之和，已知总体离差平方和是1，可得：
$\begin{aligned}(1 - \bar{x})^2 + (1 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2&=1\\2(1 - \bar{x})^2 + 2(2 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2&=1\end{aligned}$
将$\bar{x}=\frac{6 + a}{5}$代入上式：
$\begin{aligned}2(1 - \frac{6 + a}{5})^2 + 2(2 - \frac{6 + a}{5})^2 + (a - \frac{6 + a}{5})^2&=1\\2(\frac{5 - 6 - a}{5})^2 + 2(\frac{10 - 6 - a}{5})^2 + (\frac{5a - 6 - a}{5})^2&=1\\2(\frac{-1 - a}{5})^2 + 2(\frac{4 - a}{5})^2 + (\frac{4a - 6}{5})^2&=1\\2\frac{(a + 1)^2}{25} + 2\frac{(4 - a)^2}{25} + \frac{(4a - 6)^2}{25}&=1\\2(a^2 + 2a + 1) + 2(a^2 - 8a + 16) + (16a^2 - 48a + 36)&=25\\2a^2 + 4a + 2 + 2a^2 - 16a + 32 + 16a^2 - 48a + 36&=25\\20a^2 - 60a + 70&=25\\20a^2 - 60a + 45&=0\\4a^2 - 12a + 9&=0\\(2a - 3)^2&=0\\a&=\frac{3}{2}=1.5\end{aligned}$
答案：B
2. 已知 10 个数据，按从小到大的顺序排列.前 4 个数据为一组，其平均数$\overline{x}_{1}=a$，平方和为 b；后 6 个数据为一组，其平均数$\overline{x}_{2}=c$，平方和为 d.这样分组后组内离差平方和为(
A.$b - 4a^{2}+d - 6c^{2}$
B.$b - 4a + c - 6d$
C.$b - 4a^{2}$
D.$c - 6d^{2}$
A
).A.$b - 4a^{2}+d - 6c^{2}$
B.$b - 4a + c - 6d$
C.$b - 4a^{2}$
D.$c - 6d^{2}$
答案
2. A
解析
组内离差平方和为前4个数据的离差平方和与后6个数据的离差平方和之和。
前4个数据的离差平方和：$\sum_{i=1}^{4}(x_i - \overline{x}_1)^2 = \sum_{i=1}^{4}x_i^2 - 4\overline{x}_1^2 = b - 4a^2$
后6个数据的离差平方和：$\sum_{i=5}^{10}(x_i - \overline{x}_2)^2 = \sum_{i=5}^{10}x_i^2 - 6\overline{x}_2^2 = d - 6c^2$
总离差平方和：$b - 4a^2 + d - 6c^2$
A
前4个数据的离差平方和：$\sum_{i=1}^{4}(x_i - \overline{x}_1)^2 = \sum_{i=1}^{4}x_i^2 - 4\overline{x}_1^2 = b - 4a^2$
后6个数据的离差平方和：$\sum_{i=5}^{10}(x_i - \overline{x}_2)^2 = \sum_{i=5}^{10}x_i^2 - 6\overline{x}_2^2 = d - 6c^2$
总离差平方和：$b - 4a^2 + d - 6c^2$
A
3. 一组数据$x_{1}$，$x_{2}$，…，$x_{n}$，平均数为$\overline{x}$.增加一个数后变为另一组数据$x_{1}$，$x_{2}$，…，$x_{n}$，$\overline{x}$，则对于变化后的数据下列说法一定正确的是(
A.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组内离差平方和变大
B.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组间离差平方和变小
C.总体离差平方和不变
D.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组间离差平方和变大
C
).A.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组内离差平方和变大
B.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组间离差平方和变小
C.总体离差平方和不变
D.按照“组内离差平方和最小”的原则分组，组间离差平方和变大
答案
3. C
解析
【分析】
要解决本题，需明确总体离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和的定义及三者的关系（总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和），同时结合平均数的性质分析各选项：
1. 先计算变化前后的总体离差平方和：原数据的总体离差平方和是各数据与原平均数的离差平方之和；新数据加入原平均数后，新平均数仍为原平均数，新增数据与平均数的离差平方为0，因此总体离差平方和不变。
2. 分析组内、组间离差平方和的变化：按照“组内离差平方和最小”的原则分组时，新增的原平均数可单独成组（组内离差平方和为0）或加入任意组，此时组内离差平方和不一定变大，结合总体离差平方和不变，组间离差平方和也不一定变大或变小，因此A、B、D选项的说法不一定正确。
【解析】
1. 计算总体离差平方和：
原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，其总体离差平方和为：
$S_{原}=\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
加入$\overline{x}$后，新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{n\overline{x}+\overline{x}}{n+1}=\overline{x}$
新数据的总体离差平方和为：
$S_{新}=\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 + (\overline{x}-\overline{x})^2 = S_{原}+0=S_{原}$
因此总体离差平方和不变，C选项正确。
2. 分析其他选项：
A选项：按照“组内离差平方和最小”的原则分组，可将新增的$\overline{x}$单独作为一组（该组离差平方和为0），此时组内离差平方和与原组内离差平方和相等，并非一定变大，故A错误。
B、D选项：由总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和，总体离差平方和不变，而组内离差平方和的变化不确定（可能不变或变化），因此组间离差平方和也无法确定一定变小或变大，故B、D错误。
【答案】
C
【知识点】
总体离差平方和，组内与组间离差平方和的关系，平均数的性质
【点评】
本题聚焦统计中离差平方和的核心概念，需准确把握三类离差平方和的关系及平均数对离差平方和的影响。解题关键是通过计算明确总体离差平方和的变化，同时结合最优分组的特点分析组内、组间离差平方和的不确定性，考查对统计概念的深度理解。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需明确总体离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和的定义及三者的关系（总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和），同时结合平均数的性质分析各选项：
1. 先计算变化前后的总体离差平方和：原数据的总体离差平方和是各数据与原平均数的离差平方之和；新数据加入原平均数后，新平均数仍为原平均数，新增数据与平均数的离差平方为0，因此总体离差平方和不变。
2. 分析组内、组间离差平方和的变化：按照“组内离差平方和最小”的原则分组时，新增的原平均数可单独成组（组内离差平方和为0）或加入任意组，此时组内离差平方和不一定变大，结合总体离差平方和不变，组间离差平方和也不一定变大或变小，因此A、B、D选项的说法不一定正确。
【解析】
1. 计算总体离差平方和：
原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，其总体离差平方和为：
$S_{原}=\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$
加入$\overline{x}$后，新数据的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{n\overline{x}+\overline{x}}{n+1}=\overline{x}$
新数据的总体离差平方和为：
$S_{新}=\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 + (\overline{x}-\overline{x})^2 = S_{原}+0=S_{原}$
因此总体离差平方和不变，C选项正确。
2. 分析其他选项：
A选项：按照“组内离差平方和最小”的原则分组，可将新增的$\overline{x}$单独作为一组（该组离差平方和为0），此时组内离差平方和与原组内离差平方和相等，并非一定变大，故A错误。
B、D选项：由总体离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和，总体离差平方和不变，而组内离差平方和的变化不确定（可能不变或变化），因此组间离差平方和也无法确定一定变小或变大，故B、D错误。
【答案】
C
【知识点】
总体离差平方和，组内与组间离差平方和的关系，平均数的性质
【点评】
本题聚焦统计中离差平方和的核心概念，需准确把握三类离差平方和的关系及平均数对离差平方和的影响。解题关键是通过计算明确总体离差平方和的变化，同时结合最优分组的特点分析组内、组间离差平方和的不确定性，考查对统计概念的深度理解。
【难度系数】
0.4
二、填空题
4. 一组数据 2，2，4，4，6，6，8，8，10，10，如果前 4 个数据为一组，后 6 个数据为一组，则组间离差平方和为
4. 一组数据 2，2，4，4，6，6，8，8，10，10，如果前 4 个数据为一组，后 6 个数据为一组，则组间离差平方和为
60
.答案
4. 60
解析
【分析】
要计算组间离差平方和，需遵循以下思路：首先计算所有数据的总均值，接着分别计算两组数据的组均值，最后根据组间离差平方和的公式（每组数据个数乘以该组均值与总均值差的平方，再将各组结果相加）进行计算。具体步骤为：先求总数据的总和与总均值，再求每组的总和与组均值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算总均值
这组数据共有10个，总和为：$2+2+4+4+6+6+8+8+10+10 = 60$
总均值$\bar{x} = \frac{60}{10} = 6$
步骤2：计算两组的组均值
第一组（前4个数据）：2,2,4,4，总和为$2+2+4+4=12$，组均值$\bar{x}_1 = \frac{12}{4}=3$
第二组（后6个数据）：6,6,8,8,10,10，总和为$6+6+8+8+10+10=48$，组均值$\bar{x}_2 = \frac{48}{6}=8$
步骤3：计算组间离差平方和
根据组间离差平方和公式$SS_{组间}=n_1(\bar{x}_1-\bar{x})^2 + n_2(\bar{x}_2-\bar{x})^2$（其中$n_1=4$，$n_2=6$）
代入得：
$SS_{组间}=4×(3-6)^2 + 6×(8-6)^2 = 4×9 + 6×4 = 36 + 24 = 60$
【答案】
60
【知识点】
组间离差平方和计算，均值计算
【点评】
本题考查组间离差平方和的计算，关键是掌握总均值、组均值的计算方法以及组间离差平方和的公式，步骤清晰，需注意数据个数与均值的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
要计算组间离差平方和，需遵循以下思路：首先计算所有数据的总均值，接着分别计算两组数据的组均值，最后根据组间离差平方和的公式（每组数据个数乘以该组均值与总均值差的平方，再将各组结果相加）进行计算。具体步骤为：先求总数据的总和与总均值，再求每组的总和与组均值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算总均值
这组数据共有10个，总和为：$2+2+4+4+6+6+8+8+10+10 = 60$
总均值$\bar{x} = \frac{60}{10} = 6$
步骤2：计算两组的组均值
第一组（前4个数据）：2,2,4,4，总和为$2+2+4+4=12$，组均值$\bar{x}_1 = \frac{12}{4}=3$
第二组（后6个数据）：6,6,8,8,10,10，总和为$6+6+8+8+10+10=48$，组均值$\bar{x}_2 = \frac{48}{6}=8$
步骤3：计算组间离差平方和
根据组间离差平方和公式$SS_{组间}=n_1(\bar{x}_1-\bar{x})^2 + n_2(\bar{x}_2-\bar{x})^2$（其中$n_1=4$，$n_2=6$）
代入得：
$SS_{组间}=4×(3-6)^2 + 6×(8-6)^2 = 4×9 + 6×4 = 36 + 24 = 60$
【答案】
60
【知识点】
组间离差平方和计算，均值计算
【点评】
本题考查组间离差平方和的计算，关键是掌握总均值、组均值的计算方法以及组间离差平方和的公式，步骤清晰，需注意数据个数与均值的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.4
5. 已知 10 个数据，按从小到大的顺序排列，前 4 个数据为一组，其平均数$\overline{x}_{1}=a$，后 6 个数据为一组，其平均数$\overline{x}_{2}=c$，则这种分组后组间离差平方和为
$ \frac{12}{5}(a-c)^{2} $
.答案
5. $ \frac{12}{5}(a-c)^{2} $
解析
【分析】
要计算分组后的组间离差平方和，需遵循以下思路：
1. 明确组间离差平方和的计算公式：组间离差平方和 = 每组频数×(组平均数 - 总平均数)²的和；
2. 先根据两组数据的平均数和频数，计算出10个数据的总平均数；
3. 分别代入前4个数据组、后6个数据组的频数、组平均数与总平均数的差值，代入公式计算求和，即可得到组间离差平方和。
【解析】
步骤1：计算10个数据的总平均数
前4个数据的总和为$4\overline{x}_1=4a$，后6个数据的总和为$6\overline{x}_2=6c$，
则10个数据的总总和为$4a+6c$，总平均数$\overline{x}_总=\frac{4a+6c}{10}=\frac{2a+3c}{5}$。
步骤2：计算组间离差平方和
根据组间离差平方和公式：$SS_组间 = n_1(\overline{x}_1-\overline{x}_总)^2 + n_2(\overline{x}_2-\overline{x}_总)^2$（其中$n_1=4$，$n_2=6$）：
计算前一组的离差平方项：
$\overline{x}_1-\overline{x}_总 = a - \frac{2a+3c}{5} = \frac{5a-2a-3c}{5} = \frac{3(a-c)}{5}$，
则$n_1(\overline{x}_1-\overline{x}_总)^2 = 4×(\frac{3(a-c)}{5})^2 = 4×\frac{9(a-c)^2}{25} = \frac{36(a-c)^2}{25}$。
计算后一组的离差平方项：
$\overline{x}_2-\overline{x}_总 = c - \frac{2a+3c}{5} = \frac{5c-2a-3c}{5} = \frac{2(c-a)}{5} = -\frac{2(a-c)}{5}$，
则$n_2(\overline{x}_2-\overline{x}_总)^2 = 6×(-\frac{2(a-c)}{5})^2 = 6×\frac{4(a-c)^2}{25} = \frac{24(a-c)^2}{25}$。
步骤3：求和得到组间离差平方和
$SS_组间 = \frac{36(a-c)^2}{25} + \frac{24(a-c)^2}{25} = \frac{60(a-c)^2}{25} = \frac{12}{5}(a-c)^2$。
【答案】
$\frac{12}{5}(a-c)^{2}$
【知识点】
组间离差平方和计算，平均数的应用
【点评】
本题考查组间离差平方和的计算，核心是掌握组间离差平方和的计算公式，关键是先求出总平均数，再代入公式分步计算。需要注意计算过程中分式的运算和平方的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.3
要计算分组后的组间离差平方和，需遵循以下思路：
1. 明确组间离差平方和的计算公式：组间离差平方和 = 每组频数×(组平均数 - 总平均数)²的和；
2. 先根据两组数据的平均数和频数，计算出10个数据的总平均数；
3. 分别代入前4个数据组、后6个数据组的频数、组平均数与总平均数的差值，代入公式计算求和，即可得到组间离差平方和。
【解析】
步骤1：计算10个数据的总平均数
前4个数据的总和为$4\overline{x}_1=4a$，后6个数据的总和为$6\overline{x}_2=6c$，
则10个数据的总总和为$4a+6c$，总平均数$\overline{x}_总=\frac{4a+6c}{10}=\frac{2a+3c}{5}$。
步骤2：计算组间离差平方和
根据组间离差平方和公式：$SS_组间 = n_1(\overline{x}_1-\overline{x}_总)^2 + n_2(\overline{x}_2-\overline{x}_总)^2$（其中$n_1=4$，$n_2=6$）：
计算前一组的离差平方项：
$\overline{x}_1-\overline{x}_总 = a - \frac{2a+3c}{5} = \frac{5a-2a-3c}{5} = \frac{3(a-c)}{5}$，
则$n_1(\overline{x}_1-\overline{x}_总)^2 = 4×(\frac{3(a-c)}{5})^2 = 4×\frac{9(a-c)^2}{25} = \frac{36(a-c)^2}{25}$。
计算后一组的离差平方项：
$\overline{x}_2-\overline{x}_总 = c - \frac{2a+3c}{5} = \frac{5c-2a-3c}{5} = \frac{2(c-a)}{5} = -\frac{2(a-c)}{5}$，
则$n_2(\overline{x}_2-\overline{x}_总)^2 = 6×(-\frac{2(a-c)}{5})^2 = 6×\frac{4(a-c)^2}{25} = \frac{24(a-c)^2}{25}$。
步骤3：求和得到组间离差平方和
$SS_组间 = \frac{36(a-c)^2}{25} + \frac{24(a-c)^2}{25} = \frac{60(a-c)^2}{25} = \frac{12}{5}(a-c)^2$。
【答案】
$\frac{12}{5}(a-c)^{2}$
【知识点】
组间离差平方和计算，平均数的应用
【点评】
本题考查组间离差平方和的计算，核心是掌握组间离差平方和的计算公式，关键是先求出总平均数，再代入公式分步计算。需要注意计算过程中分式的运算和平方的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.3
6. 一组数据分为两组，第一组 m 个数据$x_{1}$，$x_{2}$，…，$x_{m}$，平均数为 a，第二组$n - m$个数据$x_{m + 1}$，$x_{m + 2}$，…，$x_{n}$，平均数为 b，则组间离差平方和为
$ \frac{m(n-m)(a-b)^{2}}{n} $
.答案
6. $ \frac{m(n-m)(a-b)^{2}}{n} $
解析
组间离差平方和为$\frac{m(n - m)(a - b)^2}{n}$
三、解答题
7. 数据分组是统计学中一个重要的内容，在日常生活中也很常见，除了依据“组内离差平方和最小”的原则将数据分组外，还有很多方法，但数据分组通常都遵守如下的原则：相似性、互斥性、全面性、典型性、可比性、操作性.你还知道哪些数据分组的方法，请列举一二.
7. 数据分组是统计学中一个重要的内容，在日常生活中也很常见，除了依据“组内离差平方和最小”的原则将数据分组外，还有很多方法，但数据分组通常都遵守如下的原则：相似性、互斥性、全面性、典型性、可比性、操作性.你还知道哪些数据分组的方法，请列举一二.
答案
1. 等距分组法：将数据范围按固定间隔划分成若干组。
2. 不等距分组法（或异距分组法）：根据数据特点或研究需求，采用不同间隔划分组。
2. 不等距分组法（或异距分组法）：根据数据特点或研究需求，采用不同间隔划分组。
解析
【分析】
首先可从分组时组距是否固定的角度思考数据分组方法。当数据分布均匀时，适合组距固定的分组方式；若数据分布不均或有特定研究需求，则采用组距不固定的分组方式。这两种是统计学中最常见的分组方法，接下来具体列举说明。
【解析】
1. 等距分组法：将数据的取值范围按照固定间隔划分成若干组，该方法适用于数据分布相对均匀的场景，便于后续数据的比较与分析，操作简便。
2. 不等距分组法（又称异距分组法）：根据数据自身的分布特点或具体研究需求，采用不同间隔划分组别，能更好适配数据分布不均匀的情况，突出数据的关键特征。
【答案】
1. 等距分组法：将数据范围按固定间隔划分成若干组。
2. 不等距分组法（或异距分组法）：根据数据特点或研究需求，采用不同间隔划分组。
【知识点】
等距分组法、异距分组法、统计数据分组
【点评】
等距分组法和不等距分组法是统计学中基础且常用的数据分组方法。等距分组操作简单，适配数据分布均匀的情况，便于组间数据对比；不等距分组灵活性强，可针对性处理数据分布不均或特殊研究需求的场景，助力精准挖掘数据特征，是开展统计数据分析的基础内容。
【难度系数】
0.8
首先可从分组时组距是否固定的角度思考数据分组方法。当数据分布均匀时，适合组距固定的分组方式；若数据分布不均或有特定研究需求，则采用组距不固定的分组方式。这两种是统计学中最常见的分组方法，接下来具体列举说明。
【解析】
1. 等距分组法：将数据的取值范围按照固定间隔划分成若干组，该方法适用于数据分布相对均匀的场景，便于后续数据的比较与分析，操作简便。
2. 不等距分组法（又称异距分组法）：根据数据自身的分布特点或具体研究需求，采用不同间隔划分组别，能更好适配数据分布不均匀的情况，突出数据的关键特征。
【答案】
1. 等距分组法：将数据范围按固定间隔划分成若干组。
2. 不等距分组法（或异距分组法）：根据数据特点或研究需求，采用不同间隔划分组。
【知识点】
等距分组法、异距分组法、统计数据分组
【点评】
等距分组法和不等距分组法是统计学中基础且常用的数据分组方法。等距分组操作简单，适配数据分布均匀的情况，便于组间数据对比；不等距分组灵活性强，可针对性处理数据分布不均或特殊研究需求的场景，助力精准挖掘数据特征，是开展统计数据分析的基础内容。
【难度系数】
0.8
