8. 某年级组建的跳绳兴趣小组共有 30 名学生，为便于教学的需要，现需要将其分为两个小组进行分层教学，为便于把基础相似的同学分到一个组，学校对 30 名学生进行了摸底测试，得到 30 名学生 1 min 跳绳的次数，从小到大排序如下：86，86，88，88，88，89，90，90，92，92，98，99，100，103，103，110，110，112，112，123，123，123，125，126，130，132，132，133，136，140.请根据你所学的统计学知识，提出合理的分组方案.

8. 将 30 个数据分为两组，根据“组内离差平方和最小”的原则进行分组，可得测试成绩不高于 103 的 15 人为一组，高于 103 的 15 人为一组比较合理

【分析】
要实现基础相似的同学分到一组，核心是让每组内的数据离散程度尽可能小，组间差异尽可能大，可依据统计学中“组内离差平方和最小”的原则来确定分组分界点。首先观察排序后的数据，30个数据分为两组，每组15人较为合理（保证两组人数相当），接着寻找数据中明显的分界区间，发现第15个数据103和第16个数据110之间存在明显间隔，以此为界分组能让组内数据更集中，符合基础相似的要求。
【解析】
1. 明确分组原则：为使基础相似的同学在一组，需遵循“组内离差平方和最小”的原则，即每组内的数据尽可能集中，离散程度小。
2. 观察数据分布：30个数据从小到大排序后，第15个数据为103，第16个数据为110，二者之间存在明显数值间隔，说明前后两部分数据的跳绳水平有较为清晰的分界。
3. 确定分组方案：将测试成绩不高于103的前15名学生（对应数据：86，86，88，88，88，89，90，90，92，92，98，99，100，103，103）分为一组；将测试成绩高于103的后15名学生（对应数据：110，110，112，112，123，123，123，125，126，130，132，132，133，136，140）分为另一组。该分组能保证组内学生跳绳水平更集中，基础更相似，便于分层教学。
【答案】
将测试成绩不高于103的15人为一组，高于103的15人为一组比较合理。
【知识点】
组内离差平方和最小原则、统计数据分组、数据分布特征分析
【点评】
本方案依据统计学中组内离差平方和最小的核心原则，结合数据的分布特征确定分界点，分组后两组内学生的跳绳水平集中程度高，组间差异明显，能很好地满足分层教学中“基础相似同学同组”的需求，分组科学合理。
【难度系数】
0.4

9. 我们可以根据“组内离差平方和最小”的原则对数据分组，也可以通过经验对一些特殊数据分组，如一组数据为 101，102，103，104，110，111，112，112，113，115，请根据你的经验将其分为两组，并通过计算进行检验.

9. 根据数据特征易知将 101，102，103，104 作为一组，其他作为一组，所得的组内离差平方和最小.检验略

将数据分为两组：第一组101，102，103，104；第二组110，111，112，112，113，115.
检验：
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{101+102+103+104}{4}=102.5$
组内离差平方和：$S_1=(101-102.5)^2+(102-102.5)^2+(103-102.5)^2+(104-102.5)^2=5$
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{110+111+112+112+113+115}{6}=112.17$（保留两位小数）
组内离差平方和：$S_2=(110-112.17)^2+(111-112.17)^2+(112-112.17)^2+(112-112.17)^2+(113-112.17)^2+(115-112.17)^2\approx16.83$（保留两位小数）
总离差平方和：$S=S_1+S_2\approx21.83$
（若尝试其他分组方式，如第一组101，102，103，104，110；第二组111，112，112，113，115，计算可得总离差平方和更大，故原分组组内离差平方和最小.）