8. （南充）某工厂在生产过程中每消耗 1 万 $ kW · h $ 电可以产生产值 5.5 万元。电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过 16 万 $ kW · h $；月用电量不超过 4 万 $ kW · h $ 时，电价都是 1 万元/万 $ kW · h $；超过 4 万 $ kW · h $ 时，超过部分电量电价将按用电量进行调整，电价 $ y $ 与月用电量 $ x $ 的函数关系可以用如图来表示。（效益 $ = $ 产值 $ - $ 用电量 $ × $ 电价）
（1）设工厂的月效益为 $ z $（万元），写出 $ z $ 与月用电量 $ x $（万 $ kW · h $）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益。

8. 解: (1) 根据题意，电价 $y$ 与月用电量 $x$ 的函数关系式是分段函数. 当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，$y = 1$；当 $4 ＜ x ≤ 16$ 时，函数的图象过点 $(4,1)$ 和 $(8,1.5)$ 且该函数为一次函数. 设该一次函数的表达式为 $y = kx + b$，$\therefore \begin{cases}4k + b = 1, \\ 8k + b = 1.5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = \frac{1}{8}, \\ b = \frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 电价 $y$ 与月用电量 $x$ 的函数关系式为 $y = \begin{cases}1(0 ≤ x ≤ 4), \\ \frac{1}{8}x + \frac{1}{2}(4 ＜ x ≤ 16).\end{cases}$ $\therefore$ 月效益 $z$ 与月用电量 $x$ 之间的函数关系式为 $z = \begin{cases}5.5x - x × 1(0 ≤ x ≤ 4), \\ 5.5x - 4 × 1 - (x - 4)(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2})(4 ＜ x ≤ 16),\end{cases}$
即 $z = \begin{cases}\frac{9}{2}x(0 ≤ x ≤ 4), \\ -\frac{1}{8}x^2 + \frac{11}{2}x - 2(4 ＜ x ≤ 16).\end{cases}$
(2) 当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时，$z = \frac{9}{2}x$，$\because \frac{9}{2} ＞ 0$，$\therefore z$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，$\therefore$ 当 $x = 4$ 时，$z$ 有最大值，最大值为 $\frac{9}{2} × 4 = 18$；当 $4 ＜ x ≤ 16$ 时，$z = -\frac{1}{8}x^2 + \frac{11}{2}x - 2 = -\frac{1}{8}(x - 22)^2 + \frac{117}{2}$，
$\because -\frac{1}{8} ＜ 0$，$4 ＜ x ≤ 16$，$\therefore$ 当 $x = 16$ 时，$z$ 有最大值，最大值为 54，即工厂最大月效益为 54 万元.

1. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的关系：

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

2. 一元二次方程的图象解法：
二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴有交点时，交点的就是当 $ y = 0 $ 时自变量 $ x $ 的值，即一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的。

2. 横坐标 根

1. 抛物线 $ y = - 3x^{2} - x + 4 $ 与坐标轴的交点个数是()。

A.3
B.2
C.1
D.0

1. A

2. 小兰画了一个函数 $ y = x^{2} + ax + b $ 的图象如图，则关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + ax + b = 0 $ 的解是()。


A.无解
B.$ x = 1 $
C.$ x = - 4 $
D.$ x = - 1 $ 或 $ x = 4 $

2. D