7. 如图,弦$AB$、$CD$相交于$\odot O$内一点$P$.
求证:$PA· PB=PC· PD$.

证明：
连接AC、BD。
∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠D。
又∵∠APC=∠DPB（对顶角相等），
∴△APC∽△DPB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，
∴PA·PB=PC·PD。

类似于判定三角形全等的"SAS"方法,能不能通过两边及其夹角来判断两个三角形相似呢?

证明：
已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
求证：△ABC∽△A'B'C'。
在AB上截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
∵AD=A'B'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{A'C'}{AC}$，即AE=A'C'。
在△ADE和△A'B'C'中：
$\{\begin{array}{l}AD=A'B'\\∠A=∠A'\\AE=A'C'\end{array} $
∴△ADE≌△A'B'C'（SAS）。
∵△ADE∽△ABC，
∴△A'B'C'∽△ABC。
结论：能通过两边及其夹角判断两个三角形相似，判定方法为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

例1 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ A=120°$,$AB=7\ \mathrm{cm}$,$AC=14\ \mathrm{cm}$,$∠ A'=120°$,
$A'B'=3\ \mathrm{cm}$,$A'C'=6\ \mathrm{cm}$.判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.
解 $\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{7}{3}$,$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}$,
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$.
又$∠ A=∠ A'$,
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$.

解：
$\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{7}{3}$，$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{14}{6}=\dfrac{7}{3}$，
$\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，
又$\because ∠ A=∠ A'=120°$，
$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$。

例2 图6-10是用卡钳测量容器内径的示意图.现量得卡钳上$A$、$D$两个端点之间
的距离为5 cm,$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}=\dfrac{1}{2}$.求容器的内径$BC$.
解 在$△ AOD$和$△ BOC$中,
$\because ∠ AOD=∠ BOC$,$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}$,
$\therefore △ AOD ∽ △ BOC$.
$\therefore \dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{BO}$,
即$\dfrac{5}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore BC=2× 5=10(\mathrm{cm})$.
所以容器的内径$BC$为10 cm.

解：
在$△ AOD$和$△ BOC$中，
$\because ∠ AOD = ∠ BOC$，$\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore △ AOD ∽ △ BOC$。
$\therefore \dfrac{AD}{BC}=\dfrac{AO}{BO}$，
即$\dfrac{5}{BC}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore BC=2×5=10(\mathrm{cm})$。
答：容器的内径$BC$为10 cm。