4. 如图,一艘救生船在码头A接到小岛C处一艘渔船的求救信号后立即出发,沿北偏东
67°方向航行10 n mile到达小岛C处,将人员撤离到位于码头A正东方向的码头B,此
时测得小岛C位于码头B的北偏西53°方向,求码头A与码头B的距离(参考数据:
sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈
0.75).

解：
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
由题意得：∠CAB = 90° - 67° = 23°，∠CBA = 90° - 53° = 37°，AC = 10 n mile。
在Rt△ACD中，
AD = AC·cos23° ≈ 10×0.92 = 9.2，
CD = AC·sin23° ≈ 10×0.39 = 3.9。
在Rt△BCD中，
BD = $\frac{CD}{\tan37°}$ ≈ $\frac{3.9}{0.75}$ = 5.2。
∴ AB = AD + BD ≈ 9.2 + 5.2 = 14.4（n mile）。
答：码头A与码头B的距离约为14.4 n mile。

5. 如图,小明从建筑物AB的点A处测得点E处的仰角为37°,点C处的俯角为22°,从
点C处测得点E处的仰角为58°.已知点B、C、D在同一直线上,AB高为6.8 m.求建
筑物DE的高度(参考数据:tan37°≈$\frac{3}{4}$,tan22°≈$\frac{2}{5}$,tan58°≈$\frac{8}{5}$).

解：过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF=6.8m，AF=BD。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=22°，AB=6.8m，
∵tan22°=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{AB}{tan22°}$=6.8÷$\frac{2}{5}$=17m。
设EF=x m，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∠EAF=37°，
∵tan37°=$\frac{EF}{AF}$，
∴AF=$\frac{EF}{tan37°}$=x÷$\frac{3}{4}$=$\frac{4x}{3}$。
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠ECD=58°，DE=DF+EF=(6.8+x)m，
∵tan58°=$\frac{DE}{CD}$，
∴CD=$\frac{DE}{tan58°}$=(6.8+x)÷$\frac{8}{5}$=$\frac{5(6.8+x)}{8}$。
∵BD=BC+CD，且BD=AF，
∴$\frac{4x}{3}$=17+$\frac{5(6.8+x)}{8}$，
解得x=30。
∴DE=6.8+30=36.8m。
答：建筑物DE的高度为36.8m。

6. 如图,某海域有A、B两个海岛,海岛B位于海岛A的正南方向,这两个海岛之间有暗
礁.灯塔C位于海岛A的南偏东47.5°方向、海岛B的北偏东70°方向.一艘海轮从海
岛B出发,沿正南方向航行32 n mile到达D处,此时测得灯塔C在北偏东37°方向.求
海岛A、B之间的距离(结果保留整数.参考数据:tan37°≈0.75,tan47.5°≈1.09,
tan70°≈2.75).

解：过点C作CH⊥AD于点H，设CH = x n mile。
在Rt△CHD中，∠D = 37°，
∵ tan37° = $\frac{CH}{DH}$，
∴ DH = $\frac{CH}{tan37°}$ = $\frac{x}{0.75}$。
在Rt△CHB中，∠CBH = 70°，
∵ tan70° = $\frac{CH}{BH}$，
∴ BH = $\frac{CH}{tan70°}$ = $\frac{x}{2.75}$。
∵ DH = BD + BH，且BD = 32，
∴ $\frac{x}{0.75}$ = 32 + $\frac{x}{2.75}$，
解得x = 33。
在Rt△CHA中，∠A = 47.5°，
∵ tan47.5° = $\frac{CH}{AH}$，
∴ AH = $\frac{CH}{tan47.5°}$ = $\frac{33}{1.09}$ ≈ 30.3。
∵ BH = $\frac{33}{2.75}$ = 12，
∴ AB = AH + BH ≈ 30.3 + 12 = 42（n mile）。
答：海岛A、B之间的距离约为42 n mile。