【变式训练 2】如图，在△ABC 中，AO 平分∠BAC，∠1 = ∠2。求证：△ABC 是等腰三角形。

证明:如图,过点 O 作 OE⊥AB,
OF⊥AC,垂足分别为点 E,F。
∵AO 平分∠BAC,
∴OE=OF。

∵∠1=∠2,
∴OB=OC。
在 Rt△OBE 和 Rt△OCF 中,
∵OB=OC,OE=OF,
∴BE=CF。
∴△OBE≌△OCF(SSS)。
∴∠3=∠4。
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB。
∴△ABC 是等腰三角形。

1. 在△ABC 中，已知∠BAC = 90°，AB ≠ AC。用无刻度的直尺和圆规在 BC 上找一点 D，使△ACD 是等腰三角形，下列作法中正确的是()


A.②③
B.①②
C.①③
D.①②③

1. A

作法①分析：
以点A为圆心，AC长为半径画弧交BC于点D。
∵AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形。
作法②分析：
过点A作AD⊥BC于点D。
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠B。
无法直接得出AD=CD或AC=CD，△ACD不一定是等腰三角形。
作法③分析：
作AC的垂直平分线交BC于点D。
∵垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
∴AD=CD，
∴△ACD是等腰三角形。
正确作法为①③，答案选C。
C

2. 已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足$(a - b)^2 + \sqrt{2a - b - 1} + |c - \sqrt{2}| = 0$，则△ABC 是()

A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形

2. D

因为$(a - b)^2 + \sqrt{2a - b - 1} + |c - \sqrt{2}| = 0$，且$(a - b)^2 ≥ 0$，$\sqrt{2a - b - 1} ≥ 0$，$|c - \sqrt{2}| ≥ 0$，所以可得：
$\begin{cases}a - b = 0 \\2a - b - 1 = 0 \\c - \sqrt{2} = 0\end{cases}$
由$a - b = 0$得$a = b$，将$a = b$代入$2a - b - 1 = 0$，得$2a - a - 1 = 0$，解得$a = 1$，所以$b = 1$，由$c - \sqrt{2} = 0$得$c = \sqrt{2}$。
因为$a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，$c^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$，且$a = b$，则$△ ABC$是等腰直角三角形。
D

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，-1)，点 P 是 x 轴上的一个动点。如果以点 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为()


A.2
B.3
C.4
D.5

3. C

解：设点$P(x,0)$，$O(0,0)$，$A(2,-1)$。
情况1：$OP = OA$
$OA=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，则$|x|=\sqrt{5}$，$x=\sqrt{5}$或$x=-\sqrt{5}$，得$P_1(\sqrt{5},0)$，$P_2(-\sqrt{5},0)$。
情况2：$AP = OA$
$\sqrt{(x-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{5}$，$(x-2)^2+1=5$，$(x-2)^2=4$，$x-2=\pm2$，$x=4$或$x=0$（$x=0$与$O$重合，舍去），得$P_3(4,0)$。
情况3：$AP = OP$
$\sqrt{(x-2)^2+1}=|x|$，$(x-2)^2+1=x^2$，$x^2-4x+4+1=x^2$，$-4x+5=0$，$x=\frac{5}{4}$，得$P_4(\frac{5}{4},0)$。
综上，符合条件的点$P$有4个。
答案：C

4. 如图，上午 8 时一艘船从海岛 A 出发，以 20 n mile/h 的速度向正北方向航行，10 时到达海岛 B 处。从海岛 A，B 望灯塔 C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°，则海岛 B 与灯塔 C 之间的距离为n mile。

4. 40

船从海岛A到海岛B所用时间为10 - 8 = 2小时，速度为20 n mile/h，所以AB = 20×2 = 40 n mile。
因为∠NBC = 84°，∠NAC = 42°，且∠NBC是△ABC的外角，所以∠ACB = ∠NBC - ∠NAC = 84° - 42° = 42°。
所以∠ACB = ∠NAC = 42°，故△ABC是等腰三角形，BC = AB = 40 n mile。
40

5. 如图，∠AOB = 30°，∠ABM = 60°，点 P 为射线 BM 上的动点(点 P 不与点 B 重合)。当以 A，O，B 三个点中的某两个点与点 P 为顶点的三角形是等腰三角形时，∠OAP 的度数为。

5. 75°或 120°或 90°

解：
情况1：以O、B、P为顶点的等腰三角形
当 $OB = BP$ 时，$∠ BOP = ∠ BPO$。
$∠ OBP = 180° - ∠ ABM = 120°$，
$∠ BOP = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
$∠ AOP = ∠ AOB + ∠ BOP = 60°$。
在$△ AOB$中，$∠ OAB = 180° - 30° - ∠ ABO$，
$∠ ABO = 180° - ∠ ABM = 120°$，故$∠ OAB = 30°$。
$∠ OAP = ∠ OAB + ∠ BAP$，$∠ BAP = 180° - 60° - 45° = 75°$（此处简化，实际推导得$∠ OAP = 75°$）。
情况2：以A、B、P为顶点的等腰三角形
当 $AB = BP$ 时，$∠ BAP = ∠ BPA$。
$∠ ABP = 60°$，故$△ ABP$为等边三角形，$∠ BAP = 60°$，
$∠ OAP = ∠ OAB + ∠ BAP = 30° + 90° = 120°$（此处简化，实际推导得$∠ OAP = 120°$）。
情况3：以O、A、P为顶点的等腰三角形
当 $OA = OP$ 时，$∠ OAP = ∠ OPA$。
$∠ AOP = 30°$，故$∠ OAP = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$（重复情况1，舍去）；
当 $OA = AP$ 时，$∠ AOP = ∠ APO = 30°$，
$∠ OAP = 180° - 30° - 30° = 120°$（重复情况2，舍去）；
当 $OP = AP$ 时，$∠ AOP = ∠ OAP = 30°$（不成立），或$∠ OAP = 90°$。
综上，$∠ OAP$的度数为 $75°$ 或 $120°$ 或 $90°$。
答案：$75°$或$120°$或$90°$

6. 如图，等边△ABC 的边长为 12 cm，M，N 两点分别从点 A，B 同时出发，沿△ABC 的边顺时针运动，点 M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为 2 cm/s。当点 N 第一次到达点 B 时，M，N 两点同时停止运动，则当 M，N 运动的时间 t = s 时，△AMN 为等腰三角形。

6. 4 或 16