1. (1) 已知函数 $y=2(x+1)^{2}+1$,当$x＜$时,y随x的增大而减小;当$x＞$时,y随x的增大而增大;当$x=$时,y最小值为.
(2) 已知函数 $y=-2x^{2}+x-4$,当$x＜$时,y随x的增大而增大;当$x＞$时,y随x的增大而减小;当$x=$时,y最大值为.

解：
(1) 对于函数 $y=2(x+1)^{2}+1$，
∵ $a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线 $x=-1$，
∴ 当$x＜-1$时，y随x的增大而减小；
当$x＞-1$时，y随x的增大而增大；
当$x=-1$时，y的最小值为1。
(2) 对于函数 $y=-2x^{2}+x-4$，
$a=-2$，$b=1$，对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×(-2)}=\frac{1}{4}$，
∵ $a=-2＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$x＜\frac{1}{4}$时，y随x的增大而增大；
当$x＞\frac{1}{4}$时，y随x的增大而减小；
当$x=\frac{1}{4}$时，$y=-2×(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{4}-4=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}-4=-\frac{31}{8}$，即y的最大值为$-\frac{31}{8}$。

2. (1) 二次函数 $y=-x^{2}-2x$ 的图像的顶点坐标是,对称轴是过点且平行于轴的直线.
(2) 请选择一组你喜欢的a、b、c的值,使二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图像同时满足下列条件: ① 开口向下;② 当$x＜2$时,y随x的增大而增大;当$x＞2$时,y随x的增大而减小.这样的二次函数表达式可以是.

解：(1) $y=-x^2-2x=-(x^2+2x)=-(x+1)^2+1$
所以顶点坐标是$(-1,1)$，对称轴是过点$(-1,0)$且平行于$y$轴的直线。
(2) 由①开口向下，得$a＜0$；
由②知对称轴为直线$x=2$，即$-\frac{b}{2a}=2$。
取$a=-1$，则$-\frac{b}{2×(-1)}=2$，解得$b=4$，取$c=0$，
则二次函数表达式可以是$y=-x^2+4x$。（答案不唯一）

3. 已知二次函数 $y=x^{2}+x-a$ 的图像经过原点,求a的值.

解：
∵二次函数$y=x^{2}+x-a$的图像经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入函数解析式，得：
$0=0^{2}+0-a$，
解得$a=0$。

4. 分别写出下列函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标.
(1) $y=3x^{2}-2$; (2) $y=4(x-1)^{2}$;
(3) $y=x^{2}+x$; (4) $y=x(4-x)-6$.

解：
(1) $y=3x^{2}-2$
∵ $a=3＞0$，∴开口向上；
对称轴为直线$x=0$（或y轴）；
顶点坐标为$(0,-2)$。
(2) $y=4(x-1)^{2}$
∵ $a=4＞0$，∴开口向上；
对称轴为直线$x=1$；
顶点坐标为$(1,0)$。
(3) $y=x^{2}+x$
配方得：$y=x^{2}+x+(\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$
∵ $a=1＞0$，∴开口向上；
对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$；
顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$。
(4) $y=x(4-x)-6$
整理得：$y=-x^{2}+4x-6$
配方得：$y=-(x^{2}-4x)-6=-(x^{2}-4x+4-4)-6=-(x-2)^{2}-2$
∵ $a=-1＜0$，∴开口向下；
对称轴为直线$x=2$；
顶点坐标为$(2,-2)$。