1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$a$、$b$、$c$分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边.
(1) 三边的关系: ;
(2) 两个锐角的关系: ;
(3) 边角之间的关系: 、、.
(1) 三边的关系: ;
(2) 两个锐角的关系: ;
(3) 边角之间的关系: 、、.
答案
解：
(1) $a^2 + b^2 = c^2$
(2) $∠ A + ∠ B = 90°$
(3) $\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
(1) $a^2 + b^2 = c^2$
(2) $∠ A + ∠ B = 90°$
(3) $\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$∠ A=α$,$BD$是斜边$AC$上的高,下列结论中,成立的是().
A. $AC=BC· \sinα$
B. $AC=AB· \cosα$
C. $BC=AC· \tanα$
D. $CD=BD· \tanα$
A. $AC=BC· \sinα$
B. $AC=AB· \cosα$
C. $BC=AC· \tanα$
D. $CD=BD· \tanα$
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=α$，
对于选项A：
$\sinα=\frac{BC}{AC}$，则$AC=\frac{BC}{\sinα}$，故A错误；
对于选项B：
$\cosα=\frac{AB}{AC}$，则$AC=\frac{AB}{\cosα}$，故B错误；
对于选项C：
$\tanα=\frac{BC}{AB}$，则$BC=AB·\tanα$，故C错误；
对于选项D：
因为$BD$是斜边$AC$上的高，所以$∠ BDC=90°$，
又$∠ A+∠C=90°$，$∠ DBC+∠C=90°$，所以$∠ DBC=∠A=α$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$\tanα=\frac{CD}{BD}$，则$CD=BD·\tanα$，故D正确。
综上，答案为D。
对于选项A：
$\sinα=\frac{BC}{AC}$，则$AC=\frac{BC}{\sinα}$，故A错误；
对于选项B：
$\cosα=\frac{AB}{AC}$，则$AC=\frac{AB}{\cosα}$，故B错误；
对于选项C：
$\tanα=\frac{BC}{AB}$，则$BC=AB·\tanα$，故C错误；
对于选项D：
因为$BD$是斜边$AC$上的高，所以$∠ BDC=90°$，
又$∠ A+∠C=90°$，$∠ DBC+∠C=90°$，所以$∠ DBC=∠A=α$，
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$\tanα=\frac{CD}{BD}$，则$CD=BD·\tanα$，故D正确。
综上，答案为D。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$,根据下列所给条件,求这个三角形未知的边和角.
(1) $b=18$,$∠ A=45°$;
(2) $c=10$,$∠ B=45°$.
(1) $b=18$,$∠ A=45°$;
(2) $c=10$,$∠ B=45°$.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，故$a=b=18$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt{2}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，故$a=b$，
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，
$\therefore b=c·\sin45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，
$\therefore a=5\sqrt{2}$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=45°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，故$a=b=18$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt{2}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，故$a=b$，
$\because \sin B=\frac{b}{c}$，
$\therefore b=c·\sin45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，
$\therefore a=5\sqrt{2}$。
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{6}$.解这个直角三角形.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$；
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠B=30°$；
$∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$。
综上，$AC=\sqrt{2}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$；
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠B=30°$；
$∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$。
综上，$AC=\sqrt{2}$，$∠A=60°$，$∠B=30°$。
5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$∠ BAC$的平分线$AD=\dfrac{16}{3}\sqrt{3}$,求$∠ B$、$BC$的值.
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$AD=\dfrac{16}{3}\sqrt{3}$，
$\cos∠ CAD=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{8}{\dfrac{16}{3}\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD=30°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ CAD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$∠ B=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$，
$\tan∠ BAC=\dfrac{BC}{AC}$，
$\therefore BC=AC·\tan60°=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
答：$∠ B=30°$，$BC=8\sqrt{3}$。
$\cos∠ CAD=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{8}{\dfrac{16}{3}\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD=30°$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ CAD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
$∠ B=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$，
$\tan∠ BAC=\dfrac{BC}{AC}$，
$\therefore BC=AC·\tan60°=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
答：$∠ B=30°$，$BC=8\sqrt{3}$。
