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A 级
1. 下列方程中,是二元一次方程的是(
A.$ 3x - 6 = x $
B.$ 3x = 2y $
C.$ x - y^{2} = 0 $
D.$ 2x - 3y = xy $
1. 下列方程中,是二元一次方程的是(
B
).A.$ 3x - 6 = x $
B.$ 3x = 2y $
C.$ x - y^{2} = 0 $
D.$ 2x - 3y = xy $
答案
1. B
解析
【解析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，对各选项逐一分析：
选项A：$3x - 6 = x$只含一个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义；
选项B：$3x = 2y$含两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项C：$x - y^{2} = 0$中$y$的次数是2，不符合“未知数的项的次数都是1”的要求；
选项D：$2x - 3y = xy$中$xy$的次数是2，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的判定，需紧扣二元一次方程的核心条件：含两个未知数、未知数的项次数为1、整式方程，通过逐一排查选项即可得出正确结论。
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，对各选项逐一分析：
选项A：$3x - 6 = x$只含一个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义；
选项B：$3x = 2y$含两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项C：$x - y^{2} = 0$中$y$的次数是2，不符合“未知数的项的次数都是1”的要求；
选项D：$2x - 3y = xy$中$xy$的次数是2，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的判定，需紧扣二元一次方程的核心条件：含两个未知数、未知数的项次数为1、整式方程，通过逐一排查选项即可得出正确结论。
2. 下列方程组中,是二元一次方程组的是(
A.$\begin{cases}x + y = 4, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 9\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 5, \\ y + z = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1, \\ 3x - 2y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = xy, \\ x + y = 1\end{cases}$
C
).A.$\begin{cases}x + y = 4, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 9\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 5, \\ y + z = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1, \\ 3x - 2y = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = xy, \\ x + y = 1\end{cases}$
答案
2. C
解析
【解析】
根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组，对各选项逐一分析：
选项A：第二个方程$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9$不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义；
选项B：方程组含有三个未知数$x$、$y$、$z$，是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组含有两个未知数$x$、$y$，且每个方程都是整式方程，未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程$x-y=xy$中，$xy$的次数是2，不符合二元一次方程组的定义。
综上，答案是C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的定义，解题关键是准确把握定义的核心要点：含两个未知数、含未知数的项的次数为1且是整式方程组。
根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组，对各选项逐一分析：
选项A：第二个方程$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=9$不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义；
选项B：方程组含有三个未知数$x$、$y$、$z$，是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义；
选项C：方程组含有两个未知数$x$、$y$，且每个方程都是整式方程，未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程$x-y=xy$中，$xy$的次数是2，不符合二元一次方程组的定义。
综上，答案是C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题主要考查二元一次方程组的定义，解题关键是准确把握定义的核心要点：含两个未知数、含未知数的项的次数为1且是整式方程组。
3. 已知 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$ 是关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程 $ ax - 2y = 4 $ 的一组解,则 $ a $ 的值是( ).
A.$\dfrac{1}{3}$
B.3
C.1
D.-3
A.$\dfrac{1}{3}$
B.3
C.1
D.-3
答案
3. B
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入二元一次方程$ax - 2y = 4$中，可得：
$2a - 2×1 = 4$，
化简得$2a - 2 = 4$，
移项得$2a = 6$，
解得$a = 3$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查二元一次方程解的定义，通过代入已知解转化为一元一次方程求解参数，难度较低，关键是掌握方程解的含义，即能使方程左右两边相等的未知数的值。
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入二元一次方程$ax - 2y = 4$中，可得：
$2a - 2×1 = 4$，
化简得$2a - 2 = 4$，
移项得$2a = 6$，
解得$a = 3$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查二元一次方程解的定义，通过代入已知解转化为一元一次方程求解参数，难度较低，关键是掌握方程解的含义，即能使方程左右两边相等的未知数的值。
4. 方程 $ y = 1 - x $ 与 $ 3x + 2y = 5 $ 的公共解是(
A.$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -3, \\ y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -3, \\ y = -2\end{cases}$
C
).A.$\begin{cases}x = 3, \\ y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -3, \\ y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -3, \\ y = -2\end{cases}$
答案
4. C
解析
【解析】
将$y = 1 - x$代入$3x + 2y = 5$，得$3x + 2(1 - x) = 5$，去括号化简得$x + 2 = 5$，解得$x = 3$。把$x = 3$代入$y = 1 - x$，得$y = -2$，因此两个方程的公共解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，代入消元法是解二元一次方程组的常用基本方法，通过消元将二元方程转化为一元方程求解，需熟练掌握该方法的步骤。
将$y = 1 - x$代入$3x + 2y = 5$，得$3x + 2(1 - x) = 5$，去括号化简得$x + 2 = 5$，解得$x = 3$。把$x = 3$代入$y = 1 - x$，得$y = -2$，因此两个方程的公共解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，代入消元法是解二元一次方程组的常用基本方法，通过消元将二元方程转化为一元方程求解，需熟练掌握该方法的步骤。
5. 已知 $\begin{cases}x = 2, \\ y = m\end{cases}$ 是方程 $ 3x + 2y = 10 $ 的一组解,则 $ m $ 的值是 ______ .
答案
5. 2
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = m\end{cases}$代入方程$3x + 2y = 10$，可得$3×2 + 2m = 10$，即$6 + 2m = 10$，移项得$2m = 10 - 6$，化简得$2m = 4$，解得$m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题利用二元一次方程解的定义，将已知解代入方程转化为一元一次方程求解，计算过程简单，需注意移项及系数化为1的准确性。
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = m\end{cases}$代入方程$3x + 2y = 10$，可得$3×2 + 2m = 10$，即$6 + 2m = 10$，移项得$2m = 10 - 6$，化简得$2m = 4$，解得$m = 2$。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题利用二元一次方程解的定义，将已知解代入方程转化为一元一次方程求解，计算过程简单，需注意移项及系数化为1的准确性。
6. 若 $ |x + 3| + |x + y + 1| = 0 $ 成立,则 $ x = $
$-3$
, $ y = $2
.答案
6. $-3$ 2
解析
【解析】
根据绝对值的非负性：任何数的绝对值均为非负数，即$\vert a\vert≥0$。若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。
因此要使$\vert x + 3\vert + \vert x + y + 1\vert = 0$成立，需同时满足：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\x + y + 1 = 0\end{cases}$
由$x + 3 = 0$解得$x = -3$，将$x = -3$代入$x + y + 1 = 0$，得：
$-3 + y + 1 = 0$，解得$y = 2$。
【答案】
$x=-3$，$y=2$
【知识点】
绝对值的非负性、解方程组
【点评】
本题为基础题型，主要考查绝对值非负性的应用，解题关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”建立方程求解。
根据绝对值的非负性：任何数的绝对值均为非负数，即$\vert a\vert≥0$。若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。
因此要使$\vert x + 3\vert + \vert x + y + 1\vert = 0$成立，需同时满足：
$\begin{cases}x + 3 = 0 \\x + y + 1 = 0\end{cases}$
由$x + 3 = 0$解得$x = -3$，将$x = -3$代入$x + y + 1 = 0$，得：
$-3 + y + 1 = 0$，解得$y = 2$。
【答案】
$x=-3$，$y=2$
【知识点】
绝对值的非负性、解方程组
【点评】
本题为基础题型，主要考查绝对值非负性的应用，解题关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”建立方程求解。
7. 若方程 $ (m^{2} - 9)x^{2} + x - (m + 3)y = 0 $ 是关于 $ x $, $ y $ 的二元一次方程,则 $ m $ 的值为
3
.答案
7. 3
解析
【解析】
因为方程$(m^{2} - 9)x^{2} + x - (m + 3)y = 0$是关于$x$，$y$的二元一次方程，根据二元一次方程的定义：
1. 二次项系数必须为0，即$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$；
2. 含$y$的一次项系数不能为0，即$-(m + 3) ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
综上，$m$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，解题关键是既要保证二次项系数为0，又要保证两个未知数的一次项系数不为0，避免漏解或错解。
因为方程$(m^{2} - 9)x^{2} + x - (m + 3)y = 0$是关于$x$，$y$的二元一次方程，根据二元一次方程的定义：
1. 二次项系数必须为0，即$m^2 - 9 = 0$，解得$m = 3$或$m = -3$；
2. 含$y$的一次项系数不能为0，即$-(m + 3) ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
综上，$m$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
二元一次方程的定义
【点评】
本题考查二元一次方程的定义，解题关键是既要保证二次项系数为0，又要保证两个未知数的一次项系数不为0，避免漏解或错解。
8. 一瓶牛奶的营养成分中,碳水化合物的含量是蛋白质的 1.5 倍,碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为 $ x $ g, $ y $ g,则可列出方程为
$1.5x+x+y=30$
.答案
8. $1.5x+x+y=30$
解析
【解析】
已知蛋白质含量为$x$g，碳水化合物的含量是蛋白质的1.5倍，则碳水化合物含量为$1.5x$g，脂肪含量为$y$g，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，可列出方程：$1.5x+x+y=30$。
【答案】
$1.5x+x+y=30$
【知识点】
列方程解应用题、代数式表示数量关系
【点评】
本题关键是根据碳水化合物与蛋白质的倍数关系表示出碳水化合物的含量，再结合三者含量总和列出方程，考查对数量关系的理解与转化能力。
已知蛋白质含量为$x$g，碳水化合物的含量是蛋白质的1.5倍，则碳水化合物含量为$1.5x$g，脂肪含量为$y$g，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，可列出方程：$1.5x+x+y=30$。
【答案】
$1.5x+x+y=30$
【知识点】
列方程解应用题、代数式表示数量关系
【点评】
本题关键是根据碳水化合物与蛋白质的倍数关系表示出碳水化合物的含量，再结合三者含量总和列出方程，考查对数量关系的理解与转化能力。
9. 在二元一次方程 $ -\dfrac{1}{2}x + 3y = 2 $ 中,当 $ x = 4 $ 时, $ y = $
$\frac{4}{3}$
;当 $ y = -1 $ 时, $ x = $$-10$
.答案
9. $\frac{4}{3}$ $-10$
解析
【解析】
1. 当$x = 4$时，将$x = 4$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 3y = 2$，得：
$-\dfrac{1}{2}×4 + 3y = 2$，
化简得$-2 + 3y = 2$，
移项计算得$3y = 4$，
解得$y = \dfrac{4}{3}$。
2. 当$y = -1$时，将$y = -1$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 3y = 2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x + 3×(-1) = 2$，
化简得$-\dfrac{1}{2}x - 3 = 2$，
移项计算得$-\dfrac{1}{2}x = 5$，
解得$x = -10$。
【答案】
$\frac{4}{3}$；$-10$
【知识点】
二元一次方程代入求值
【点评】
本题考查二元一次方程的代入计算，通过代入已知未知数的值，将二元一次方程转化为一元一次方程求解，需熟练掌握解方程的基本步骤。
1. 当$x = 4$时，将$x = 4$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 3y = 2$，得：
$-\dfrac{1}{2}×4 + 3y = 2$，
化简得$-2 + 3y = 2$，
移项计算得$3y = 4$，
解得$y = \dfrac{4}{3}$。
2. 当$y = -1$时，将$y = -1$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 3y = 2$，得：
$-\dfrac{1}{2}x + 3×(-1) = 2$，
化简得$-\dfrac{1}{2}x - 3 = 2$，
移项计算得$-\dfrac{1}{2}x = 5$，
解得$x = -10$。
【答案】
$\frac{4}{3}$；$-10$
【知识点】
二元一次方程代入求值
【点评】
本题考查二元一次方程的代入计算，通过代入已知未知数的值，将二元一次方程转化为一元一次方程求解，需熟练掌握解方程的基本步骤。
10. 方程 $ 2x + y = 9 $ 的一组整数解为.
答案
10. $\begin{cases}x=1,\\y=7.\end{cases}$（答案不唯一）
解析
【解析】
二元一次方程$2x + y = 9$有无数组整数解，可给$x$取一个整数，代入方程求出$y$的值。例如令$x=1$，代入方程得$2×1 + y = 9$，解得$y=7$，从而得到一组整数解。（赋值合理即可）
【答案】
$\begin{cases}x=1,\\y=7.\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的整数解
【点评】
二元一次方程有无数组解，整数解也有无数组，通过给其中一个未知数合理赋值，就能求出对应另一个未知数的值，得到一组符合要求的整数解。
二元一次方程$2x + y = 9$有无数组整数解，可给$x$取一个整数，代入方程求出$y$的值。例如令$x=1$，代入方程得$2×1 + y = 9$，解得$y=7$，从而得到一组整数解。（赋值合理即可）
【答案】
$\begin{cases}x=1,\\y=7.\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的整数解
【点评】
二元一次方程有无数组解，整数解也有无数组，通过给其中一个未知数合理赋值，就能求出对应另一个未知数的值，得到一组符合要求的整数解。
