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B 级
11. 关于 $ x $, $ y $ 的方程组 $\begin{cases}x - ay = 1, \\ bx + y = 5\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1,\end{cases}$ 则 $ 2a + b $ 的值是 ______ .
11. 关于 $ x $, $ y $ 的方程组 $\begin{cases}x - ay = 1, \\ bx + y = 5\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 2, \\ y = 1,\end{cases}$ 则 $ 2a + b $ 的值是 ______ .
答案
11. 4
解析
【解析】
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}x - ay = 1, \\ bx + y = 5\end{cases}$：
1. 代入$x - ay = 1$得：$2 - a×1 = 1$，解得$a = 1$；
2. 代入$bx + y = 5$得：$2b + 1 = 5$，解得$b = 2$；
3. 计算$2a + b = 2×1 + 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组的解的应用；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义，关键是利用方程组的解代入原方程求出参数$a$、$b$的值，再计算代数式的值，难度较小，侧重基础知识点的考查。
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}x - ay = 1, \\ bx + y = 5\end{cases}$：
1. 代入$x - ay = 1$得：$2 - a×1 = 1$，解得$a = 1$；
2. 代入$bx + y = 5$得：$2b + 1 = 5$，解得$b = 2$；
3. 计算$2a + b = 2×1 + 2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组的解的应用；代数式求值
【点评】
本题考查二元一次方程组解的定义，关键是利用方程组的解代入原方程求出参数$a$、$b$的值，再计算代数式的值，难度较小，侧重基础知识点的考查。
12. 对于二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 10 & (1), \\ 3x - 4y = 9 & (2),\end{cases}$ 有下列说法:① 方程(1)有无数个解;② 方程(2)有无数个解;③ 方程组只有唯一一组解;④ 方程组的解是 $\begin{cases}x = 7, \\ y = 3.\end{cases}$ 其中正确的说法有 ______ .(填序号)
答案
12. ①②③④
解析
【解析】
1. 二元一次方程本身有无数个解，因为对于任意一个未知数的取值，都能求出对应的另一个未知数的值，所以①方程(1)是二元一次方程，有无数个解，说法正确；②方程(2)是二元一次方程，有无数个解，说法正确。
2. 该方程组中两个方程的系数不成比例（$\frac{1}{3}≠\frac{1}{-4}$），因此方程组只有唯一一组解，③说法正确。
3. 将$\begin{cases}x = 7, \\ y = 3\end{cases}$代入方程组：
代入方程(1)：左边$7+3=10$，等于右边，等式成立；
代入方程(2)：左边$3×7 - 4×3=21-12=9$，等于右边，等式成立，所以④说法正确。
综上，正确的说法有①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【点评】
本题需区分二元一次方程与二元一次方程组解的特点：单个二元一次方程有无数个解，系数不成比例的二元一次方程组有唯一解，同时要掌握验证方程组解的方法。
1. 二元一次方程本身有无数个解，因为对于任意一个未知数的取值，都能求出对应的另一个未知数的值，所以①方程(1)是二元一次方程，有无数个解，说法正确；②方程(2)是二元一次方程，有无数个解，说法正确。
2. 该方程组中两个方程的系数不成比例（$\frac{1}{3}≠\frac{1}{-4}$），因此方程组只有唯一一组解，③说法正确。
3. 将$\begin{cases}x = 7, \\ y = 3\end{cases}$代入方程组：
代入方程(1)：左边$7+3=10$，等于右边，等式成立；
代入方程(2)：左边$3×7 - 4×3=21-12=9$，等于右边，等式成立，所以④说法正确。
综上，正确的说法有①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【点评】
本题需区分二元一次方程与二元一次方程组解的特点：单个二元一次方程有无数个解，系数不成比例的二元一次方程组有唯一解，同时要掌握验证方程组解的方法。
13. 分别根据下列条件求二元一次方程 $ 2x + y = 3 $ 的解.
(1) $ x $ 的值与 $ y $ 的值相等.
(2) $ x $ 的值与 $ y $ 的值互为相反数.
(3) $ y $ 的值是 $ x $ 的值的 4 倍.
(1) $ x $ 的值与 $ y $ 的值相等.
(2) $ x $ 的值与 $ y $ 的值互为相反数.
(3) $ y $ 的值是 $ x $ 的值的 4 倍.
答案
13. (1)$\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=3,\\y=-3.\end{cases}$ (3)$\begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=2.\end{cases}$
解析
【解析】
(1) 因为$x$的值与$y$的值相等，即$y = x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + x = 3$，解得$x = 1$，则$y = x = 1$，所以方程的解为$\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$
(2) 因为$x$的值与$y$的值互为相反数，即$y = -x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + (-x) = 3$，解得$x = 3$，则$y = -x = -3$，所以方程的解为$\begin{cases}x=3,\\y=-3.\end{cases}$
(3) 因为$y$的值是$x$的值的4倍，即$y = 4x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + 4x = 3$，解得$x = \frac{1}{2}$，则$y = 4x = 2$，所以方程的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=3,\\y=-3.\end{cases}$ (3)$\begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程的解
【点评】
本题通过给定$x$与$y$的不同数量关系，考查利用代入消元法求解二元一次方程的特定解，将二元方程转化为一元方程求解，锻炼了转化思想与基本运算能力。
(1) 因为$x$的值与$y$的值相等，即$y = x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + x = 3$，解得$x = 1$，则$y = x = 1$，所以方程的解为$\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$
(2) 因为$x$的值与$y$的值互为相反数，即$y = -x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + (-x) = 3$，解得$x = 3$，则$y = -x = -3$，所以方程的解为$\begin{cases}x=3,\\y=-3.\end{cases}$
(3) 因为$y$的值是$x$的值的4倍，即$y = 4x$，将其代入方程$2x + y = 3$，得：
$2x + 4x = 3$，解得$x = \frac{1}{2}$，则$y = 4x = 2$，所以方程的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=3,\\y=-3.\end{cases}$ (3)$\begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程的解
【点评】
本题通过给定$x$与$y$的不同数量关系，考查利用代入消元法求解二元一次方程的特定解，将二元方程转化为一元方程求解，锻炼了转化思想与基本运算能力。
14. 甲、乙两人共同解方程组 $\begin{cases}ax + 5y = 15, & ① \\ 4x - by = -2, & ②\end{cases}$ 由于甲看错了方程①中的 $ a $,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = -3, \\ y = -1,\end{cases}$ 乙看错了方程②中的 $ b $,得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 5, \\ y = 4.\end{cases}$
(1) 求 $ a $, $ b $ 的值.
(2) 求 $ bx - 5ay = 15 $ 的非负整数解.
(1) 求 $ a $, $ b $ 的值.
(2) 求 $ bx - 5ay = 15 $ 的非负整数解.
答案
14. (1)$a=-1,b=10$。 (2)$\begin{cases}x=0,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=1,\\y=1.\end{cases}$
解析
【解析】
(1) 甲看错方程①中的$a$，其解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$适合方程②，代入②得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$，
解得$b=10$。
乙看错方程②中的$b$，其解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$适合方程①，代入①得：
$5a+5×4=15$，
解得$a=-1$。
(2) 将$a=-1$，$b=10$代入$bx - 5ay = 15$，得：
$10x -5×(-1)y=15$，
化简为$2x+y=3$。
求非负整数解：
当$x=0$时，$y=3$；
当$x=1$时，$y=1$；
当$x≥2$时，$y=3-2x＜0$，不符合非负整数要求。
故非负整数解为$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=10$；
(2) $\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；方程非负整数解
【点评】
本题考查二元一次方程组解的应用，需明确看错系数后所得解仍适合未看错的方程，据此求出正确系数，再通过化简方程求解非负整数解，注意非负整数的取值限制。
(1) 甲看错方程①中的$a$，其解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$适合方程②，代入②得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$，
解得$b=10$。
乙看错方程②中的$b$，其解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$适合方程①，代入①得：
$5a+5×4=15$，
解得$a=-1$。
(2) 将$a=-1$，$b=10$代入$bx - 5ay = 15$，得：
$10x -5×(-1)y=15$，
化简为$2x+y=3$。
求非负整数解：
当$x=0$时，$y=3$；
当$x=1$时，$y=1$；
当$x≥2$时，$y=3-2x＜0$，不符合非负整数要求。
故非负整数解为$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=10$；
(2) $\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；方程非负整数解
【点评】
本题考查二元一次方程组解的应用，需明确看错系数后所得解仍适合未看错的方程，据此求出正确系数，再通过化简方程求解非负整数解，注意非负整数的取值限制。
