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11. (教材练习 T2 变式) 利用等式的性质解下列方程，并检验：
(1)$6 - \frac{3}{4}x = 9$； (2)$3x + 6 = 31 - 2x$。
(1)$6 - \frac{3}{4}x = 9$； (2)$3x + 6 = 31 - 2x$。
答案
11. 解:(1)方程两边减6,得$6-\frac{3}{4}x-6=9-6$.
化简,得$-\frac{3}{4}x=3$.
方程两边乘$-\frac{4}{3}$,得$x=-4$.
检验:当$x=-4$时,方程$6-\frac{3}{4}x=9$的左边$=6-\frac{3}{4}×(-4)=6+3=9$,
方程左、右两边的值相等,
所以$x=-4$是方程$6-\frac{3}{4}x=9$的解.
(2)方程两边加$2x-6$,得
$3x+6+2x-6=31-2x+2x-6$.
化简,得$5x=25$.
方程两边除以5,得$x=5$.
检验:当$x=5$时,方程$3x+6=31-2x$的左边$=3×5+6=21$,右边$=31-2×5=21$,
方程左、右两边的值相等,
所以$x=5$是方程$3x+6=31-2x$的解.
化简,得$-\frac{3}{4}x=3$.
方程两边乘$-\frac{4}{3}$,得$x=-4$.
检验:当$x=-4$时,方程$6-\frac{3}{4}x=9$的左边$=6-\frac{3}{4}×(-4)=6+3=9$,
方程左、右两边的值相等,
所以$x=-4$是方程$6-\frac{3}{4}x=9$的解.
(2)方程两边加$2x-6$,得
$3x+6+2x-6=31-2x+2x-6$.
化简,得$5x=25$.
方程两边除以5,得$x=5$.
检验:当$x=5$时,方程$3x+6=31-2x$的左边$=3×5+6=21$,右边$=31-2×5=21$,
方程左、右两边的值相等,
所以$x=5$是方程$3x+6=31-2x$的解.
解析
【分析】
解方程的核心是利用等式的性质将方程逐步变形为「x=常数」的形式，最后代入原方程检验解的正确性。对于第(1)题，首先利用等式性质1，两边同时减6消去左侧的常数项，得到仅含x的项等于常数的形式，再利用等式性质2，两边同时乘x系数的倒数，将x的系数化为1即可得到解。对于第(2)题，方程两侧都有含x的项和常数项，利用等式性质1，两边同时加(2x-6)，把含x的项移到左侧、常数项移到右侧，合并后再利用等式性质2将x的系数化为1得到解。检验时只需将求得的x值代入原方程，分别计算左右两边的值，若相等则为方程的解。
【解析】
(1)方程两边减6，得$6-\frac{3}{4}x-6=9-6$，
化简，得$-\frac{3}{4}x=3$，
方程两边乘$-\frac{4}{3}$，得$x=-4$。
检验：当$x=-4$时，方程$6-\frac{3}{4}x=9$的左边$=6-\frac{3}{4}×(-4)=6+3=9$，方程左、右两边的值相等，所以$x=-4$是方程$6-\frac{3}{4}x=9$的解。
(2)方程两边加$2x-6$，得$3x+6+2x-6=31-2x+2x-6$，
化简，得$5x=25$，
方程两边除以5，得$x=5$。
检验：当$x=5$时，方程$3x+6=31-2x$的左边$=3×5+6=21$，右边$=31-2×5=21$，方程左、右两边的值相等，所以$x=5$是方程$3x+6=31-2x$的解。
【答案】
(1)$x=-4$；(2)$x=5$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；方程的检验
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等式性质的理解与运用，求解时每一步变形都要严格遵循等式的性质，养成检验的习惯可以有效减少计算错误，也为后续学习复杂方程的求解打下基础。
【难度系数】
0.85
解方程的核心是利用等式的性质将方程逐步变形为「x=常数」的形式，最后代入原方程检验解的正确性。对于第(1)题，首先利用等式性质1，两边同时减6消去左侧的常数项，得到仅含x的项等于常数的形式，再利用等式性质2，两边同时乘x系数的倒数，将x的系数化为1即可得到解。对于第(2)题，方程两侧都有含x的项和常数项，利用等式性质1，两边同时加(2x-6)，把含x的项移到左侧、常数项移到右侧，合并后再利用等式性质2将x的系数化为1得到解。检验时只需将求得的x值代入原方程，分别计算左右两边的值，若相等则为方程的解。
【解析】
(1)方程两边减6，得$6-\frac{3}{4}x-6=9-6$，
化简，得$-\frac{3}{4}x=3$，
方程两边乘$-\frac{4}{3}$，得$x=-4$。
检验：当$x=-4$时，方程$6-\frac{3}{4}x=9$的左边$=6-\frac{3}{4}×(-4)=6+3=9$，方程左、右两边的值相等，所以$x=-4$是方程$6-\frac{3}{4}x=9$的解。
(2)方程两边加$2x-6$，得$3x+6+2x-6=31-2x+2x-6$，
化简，得$5x=25$，
方程两边除以5，得$x=5$。
检验：当$x=5$时，方程$3x+6=31-2x$的左边$=3×5+6=21$，右边$=31-2×5=21$，方程左、右两边的值相等，所以$x=5$是方程$3x+6=31-2x$的解。
【答案】
(1)$x=-4$；(2)$x=5$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法；方程的检验
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等式性质的理解与运用，求解时每一步变形都要严格遵循等式的性质，养成检验的习惯可以有效减少计算错误，也为后续学习复杂方程的求解打下基础。
【难度系数】
0.85
12. 如图37-G-2,天平两边托盘中标有相同字母的物体的质量相同.若A物体的质量为20克,当天平处于平衡状态时,B物体的质量为 （
A.10克
B.15克
C.20克
D.30克
A
）A.10克
B.15克
C.20克
D.30克
答案
12. A
解析
【分析】
天平平衡说明左右托盘内物体的总质量相等，我们可以根据这个等量关系列方程求解。首先分别写出左右两边的总质量表达式：左边有2个A和1个B，总质量为2×A的质量+B的质量；右边有1个A和3个B，总质量为1×A的质量+3×B的质量。已知A的质量为20克，设B的质量为未知数，根据两边质量相等列方程，再用等式的性质解方程即可得到B的质量。
【解析】
解：设B物体的质量为x克。
根据天平平衡时左右两边总质量相等，可列方程：
$2×20 + x = 20 + 3x$
计算得：$40 + x = 20 + 3x$
根据等式的性质1，两边同时减去x，得：$40 = 20 + 2x$
两边再同时减去20，得：$20 = 2x$
根据等式的性质2，两边同时除以2，得：$x = 10$
即B物体的质量为10克。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合天平平衡的生活化场景，考查利用等式性质解方程的能力，解题的核心是准确找到两边质量的等量关系列出方程，属于基础题型，掌握等式的基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
天平平衡说明左右托盘内物体的总质量相等，我们可以根据这个等量关系列方程求解。首先分别写出左右两边的总质量表达式：左边有2个A和1个B，总质量为2×A的质量+B的质量；右边有1个A和3个B，总质量为1×A的质量+3×B的质量。已知A的质量为20克，设B的质量为未知数，根据两边质量相等列方程，再用等式的性质解方程即可得到B的质量。
【解析】
解：设B物体的质量为x克。
根据天平平衡时左右两边总质量相等，可列方程：
$2×20 + x = 20 + 3x$
计算得：$40 + x = 20 + 3x$
根据等式的性质1，两边同时减去x，得：$40 = 20 + 2x$
两边再同时减去20，得：$20 = 2x$
根据等式的性质2，两边同时除以2，得：$x = 10$
即B物体的质量为10克。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合天平平衡的生活化场景，考查利用等式性质解方程的能力，解题的核心是准确找到两边质量的等量关系列出方程，属于基础题型，掌握等式的基本性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
13. 等式的性质在生活中广泛应用. 如图 37-G-3,$a ,b$分别表示两位同学的身高,$c$表示台阶的高度,左边同学比右边同学高5 cm,图中两人的对话体现的数学原理可表示为 (
图 37-G -3
A.若$a=b+5$,则$a+c=b+c+5$
B.若$a=b+c$,则$a+5=b+c+5$
C.若$a=b+5$,则$ac=(b+5)c$
D.若$a=b+5$,则$\frac{a}{c}=\frac{b+5}{c}$
A
)图 37-G -3
A.若$a=b+5$,则$a+c=b+c+5$
B.若$a=b+c$,则$a+5=b+c+5$
C.若$a=b+5$,则$ac=(b+5)c$
D.若$a=b+5$,则$\frac{a}{c}=\frac{b+5}{c}$
答案
13. A
解析
【分析】
解题时先从题干给出的身高差信息推导初始等式：已知左边同学身高a，右边同学身高b，左边比右边高5cm，因此可先得到$a = b + 5$。再观察后续变化：两人都站在高度为c的台阶上，相当于两人的总高度都增加了c，此时身高差仍为5cm，对应等式的性质1（等式两边同时加同一个数，等式仍然成立），对初始等式变形后匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据左图的身高关系，左边同学比右边同学高5cm，可得初始等式：$ a = b + 5 $。
第二步：右图中两人都站在高度为c的台阶上，此时两人的总高度分别为$ a + c $和$ b + c $，由此时男孩仍比女孩高5cm，可得变形后的等式：$ a + c = b + c + 5 $。
第三步：逐一分析选项：
选项A：变形符合上述推导，正确；
选项B：初始等式$ a = b + c $不符合题目的身高关系，错误；
选项C：是等式两边同时乘c，与题目中“同时加台阶高度c”的场景不符，错误；
选项D：是等式两边同时除以c，与题目场景不符，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质1；列数量关系
【点评】
本题结合生活场景考查等式性质的实际应用，解题核心是先准确梳理初始的等量关系，再结合变化过程匹配对应的等式变形规则，能很好地考查学生将实际问题转化为数学式子的能力。
【难度系数】
0.85
解题时先从题干给出的身高差信息推导初始等式：已知左边同学身高a，右边同学身高b，左边比右边高5cm，因此可先得到$a = b + 5$。再观察后续变化：两人都站在高度为c的台阶上，相当于两人的总高度都增加了c，此时身高差仍为5cm，对应等式的性质1（等式两边同时加同一个数，等式仍然成立），对初始等式变形后匹配选项即可。
【解析】
第一步：根据左图的身高关系，左边同学比右边同学高5cm，可得初始等式：$ a = b + 5 $。
第二步：右图中两人都站在高度为c的台阶上，此时两人的总高度分别为$ a + c $和$ b + c $，由此时男孩仍比女孩高5cm，可得变形后的等式：$ a + c = b + c + 5 $。
第三步：逐一分析选项：
选项A：变形符合上述推导，正确；
选项B：初始等式$ a = b + c $不符合题目的身高关系，错误；
选项C：是等式两边同时乘c，与题目中“同时加台阶高度c”的场景不符，错误；
选项D：是等式两边同时除以c，与题目场景不符，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质1；列数量关系
【点评】
本题结合生活场景考查等式性质的实际应用，解题核心是先准确梳理初始的等量关系，再结合变化过程匹配对应的等式变形规则，能很好地考查学生将实际问题转化为数学式子的能力。
【难度系数】
0.85
