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14. 下列说法错误的是 （
A.如果$(m^2 + 1)x = (m^2 + 1)y$，那么$x = y$
B.如果$\frac{x}{m^2 + 1} = \frac{y}{m^2 + 1}$，那么$x = y$
C.如果$(m^2 - 1)x = (m^2 - 1)y$，那么$x = y$
D.如果$\frac{x}{m^2 - 1} = \frac{y}{m^2 - 1}$，那么$x = y$
C
）A.如果$(m^2 + 1)x = (m^2 + 1)y$，那么$x = y$
B.如果$\frac{x}{m^2 + 1} = \frac{y}{m^2 + 1}$，那么$x = y$
C.如果$(m^2 - 1)x = (m^2 - 1)y$，那么$x = y$
D.如果$\frac{x}{m^2 - 1} = \frac{y}{m^2 - 1}$，那么$x = y$
答案
14. C
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题核心是牢记等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。首先我们知道任意数的平方都是非负数，据此可以先判断每个选项中等式两边同乘或同除的式子是否可能为0，再逐一判断选项说法是否正确。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，结合m²≥0的特点分析各选项：
A选项：m²≥0，因此m²+1≥1，恒不为0，等式两边同时除以(m²+1)，可得x=y，说法正确，不符合题意；
B选项：m²+1恒不为0（除数不为0），等式两边同时乘(m²+1)，可得x=y，说法正确，不符合题意；
C选项：当m=±1时，m²-1=0，此时等式变为0·x=0·y，即0=0，x和y不一定相等，不能直接推出x=y，说法错误，符合题意；
D选项：给出的除法式子成立，说明除数m²-1≠0，等式两边同时乘(m²-1)，可得x=y，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，偶次方的非负性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题时要特别注意：等式两边同时除以一个含字母的式子时，必须先确认这个式子的取值不可能为0，否则不能直接约分化简得到等式。
【难度系数】
0.6
本题考查等式性质的应用，解题核心是牢记等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。首先我们知道任意数的平方都是非负数，据此可以先判断每个选项中等式两边同乘或同除的式子是否可能为0，再逐一判断选项说法是否正确。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，结合m²≥0的特点分析各选项：
A选项：m²≥0，因此m²+1≥1，恒不为0，等式两边同时除以(m²+1)，可得x=y，说法正确，不符合题意；
B选项：m²+1恒不为0（除数不为0），等式两边同时乘(m²+1)，可得x=y，说法正确，不符合题意；
C选项：当m=±1时，m²-1=0，此时等式变为0·x=0·y，即0=0，x和y不一定相等，不能直接推出x=y，说法错误，符合题意；
D选项：给出的除法式子成立，说明除数m²-1≠0，等式两边同时乘(m²-1)，可得x=y，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，偶次方的非负性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题时要特别注意：等式两边同时除以一个含字母的式子时，必须先确认这个式子的取值不可能为0，否则不能直接约分化简得到等式。
【难度系数】
0.6
15. 若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a ＞ b $；若 $ a - b = 0 $，则 $ a = b $；若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a ＜ b $。这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小。
(1) 试比较代数式 $ 5m^2 - 4m + 2 $ 与 $ 4m^2 - 4m - 7 $ 的值的大小；
(2) 已知代数式 $ 3a + 2b $ 与 $ 2a + 3b $ 的值相等，试用等式的性质比较 $ a, b $ 的大小；
(3) 已知 $ \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m $，试用等式的性质比较 $ m, n $ 的大小。
(1) 试比较代数式 $ 5m^2 - 4m + 2 $ 与 $ 4m^2 - 4m - 7 $ 的值的大小；
(2) 已知代数式 $ 3a + 2b $ 与 $ 2a + 3b $ 的值相等，试用等式的性质比较 $ a, b $ 的大小；
(3) 已知 $ \frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m $，试用等式的性质比较 $ m, n $ 的大小。
答案
15. 解:(1)$(5m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)=5m^2-4m+2-4m^2+4m+7=m^2+9$.
因为不论$m$为何值,都有$m^2+9＞0$,
所以$5m^2-4m+2＞4m^2-4m-7$.
(2)等式两边减$(2a+3b)$,得$3a+2b-(2a+3b)=2a+3b-(2a+3b)$,
整理,得$a-b=0$,所以$a=b$.
(3)等式两边乘6,得$3m-2n-6=3n-2m$.
等式两边加$(2m-3n+6)$,得$3m-2n-6+(2m-3n+6)=3n-2m+(2m-3n+6)$.
化简,得$5m-5n=6$,
即$5(m-n)=6$.
所以$m-n＞0$.所以$m＞n$.
因为不论$m$为何值,都有$m^2+9＞0$,
所以$5m^2-4m+2＞4m^2-4m-7$.
(2)等式两边减$(2a+3b)$,得$3a+2b-(2a+3b)=2a+3b-(2a+3b)$,
整理,得$a-b=0$,所以$a=b$.
(3)等式两边乘6,得$3m-2n-6=3n-2m$.
等式两边加$(2m-3n+6)$,得$3m-2n-6+(2m-3n+6)=3n-2m+(2m-3n+6)$.
化简,得$5m-5n=6$,
即$5(m-n)=6$.
所以$m-n＞0$.所以$m＞n$.
解析
【分析】
本题可结合题干给出的作差法比较大小的规则，以及等式的性质逐步求解：①第(1)问直接对两个代数式作差，将差化简后判断正负，即可得到两个代数式的大小关系；②第(2)问先根据两个代数式相等列出等式，再利用等式性质对等式变形，整理出$a-b$的形式，根据差的取值判断$a、b$的大小；③第(3)问先利用等式性质给等式两边同乘分母的最小公倍数去分母，再移项整理得到$m-n$的表达式，判断差的正负即可比较$m、n$的大小。
【解析】
(1) 对两个代数式作差可得：
$\begin{aligned}&(5m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)\\=&5m^2-4m+2-4m^2+4m+7\\=&m^2+9\end{aligned}$
∵ 无论$m$取何值，都有$m^2≥0$，因此$m^2+9≥9＞0$
∴ $5m^2 - 4m + 2 ＞ 4m^2 - 4m -7$
(2) 由题意得$3a + 2b = 2a + 3b$，
等式两边同时减去$(2a + 3b)$，得：
$3a + 2b - (2a + 3b) = 2a + 3b - (2a + 3b)$
化简得：$a - b = 0$
∴ $a = b$
(3) 已知$\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m$，
等式两边同时乘6去分母，得：
$3m - 2n - 6 = 3n - 2m$
等式两边同时加上$(2m - 3n + 6)$，得：
$3m - 2n - 6 + 2m - 3n + 6 = 3n - 2m + 2m - 3n + 6$
化简得：$5m -5n = 6$，即$5(m-n)=6$
两边同时除以5得$m - n = \frac{6}{5} ＞ 0$
∴ $m ＞ n$
【答案】
(1) $5m^2 - 4m + 2 ＞ 4m^2 - 4m -7$；
(2) $a = b$；
(3) $m ＞ n$
【知识点】
作差法比较大小，等式的性质，整式的化简
【点评】
本题核心考查作差法比较大小的应用，同时结合了等式的性质与整式的加减运算，解题的关键是掌握作差后通过判断差的正负确定两个式子大小的逻辑，计算时注意去括号、移项的符号规则，为后续不等式相关知识的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.7
本题可结合题干给出的作差法比较大小的规则，以及等式的性质逐步求解：①第(1)问直接对两个代数式作差，将差化简后判断正负，即可得到两个代数式的大小关系；②第(2)问先根据两个代数式相等列出等式，再利用等式性质对等式变形，整理出$a-b$的形式，根据差的取值判断$a、b$的大小；③第(3)问先利用等式性质给等式两边同乘分母的最小公倍数去分母，再移项整理得到$m-n$的表达式，判断差的正负即可比较$m、n$的大小。
【解析】
(1) 对两个代数式作差可得：
$\begin{aligned}&(5m^2-4m+2)-(4m^2-4m-7)\\=&5m^2-4m+2-4m^2+4m+7\\=&m^2+9\end{aligned}$
∵ 无论$m$取何值，都有$m^2≥0$，因此$m^2+9≥9＞0$
∴ $5m^2 - 4m + 2 ＞ 4m^2 - 4m -7$
(2) 由题意得$3a + 2b = 2a + 3b$，
等式两边同时减去$(2a + 3b)$，得：
$3a + 2b - (2a + 3b) = 2a + 3b - (2a + 3b)$
化简得：$a - b = 0$
∴ $a = b$
(3) 已知$\frac{1}{2}m - \frac{1}{3}n - 1 = \frac{1}{2}n - \frac{1}{3}m$，
等式两边同时乘6去分母，得：
$3m - 2n - 6 = 3n - 2m$
等式两边同时加上$(2m - 3n + 6)$，得：
$3m - 2n - 6 + 2m - 3n + 6 = 3n - 2m + 2m - 3n + 6$
化简得：$5m -5n = 6$，即$5(m-n)=6$
两边同时除以5得$m - n = \frac{6}{5} ＞ 0$
∴ $m ＞ n$
【答案】
(1) $5m^2 - 4m + 2 ＞ 4m^2 - 4m -7$；
(2) $a = b$；
(3) $m ＞ n$
【知识点】
作差法比较大小，等式的性质，整式的化简
【点评】
本题核心考查作差法比较大小的应用，同时结合了等式的性质与整式的加减运算，解题的关键是掌握作差后通过判断差的正负确定两个式子大小的逻辑，计算时注意去括号、移项的符号规则，为后续不等式相关知识的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.7
