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段AB上移动,与x轴交于C,D两点,若A(-2,-3),B(4,-3),当四边形ABDC是矩形时,此时抛物线的表达式是
$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$
.答案
11. $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$ 解析:
∵四边形ABDC是矩形,
∴$AC⊥CD$,$BD⊥CD$.又
∵C,D两点在x轴上,$A(-2,-3)$,$B(4,-3)$,
∴$AC⊥x$轴,$BD⊥x$轴,$AB⊥y$轴,
∴$C(-2,0)$,$D(4,0)$,设抛物线表达式为$y=a(x+2)(x-4)$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$,
∴顶点坐标为$(1,-3)$,将点$(1,-3)$代入,得$-9a=-3$,
∴$a=\frac{1}{3}$,
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$.
∵四边形ABDC是矩形,
∴$AC⊥CD$,$BD⊥CD$.又
∵C,D两点在x轴上,$A(-2,-3)$,$B(4,-3)$,
∴$AC⊥x$轴,$BD⊥x$轴,$AB⊥y$轴,
∴$C(-2,0)$,$D(4,0)$,设抛物线表达式为$y=a(x+2)(x-4)$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$,
∴顶点坐标为$(1,-3)$,将点$(1,-3)$代入,得$-9a=-3$,
∴$a=\frac{1}{3}$,
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}(x+2)(x-4)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$.
12.（黄冈中考）当$a ≤ x ≤ a+1$时，函数$y = x^2 - 2x +1$的最小值为1，则$a$的值为
2或-1
。答案
12. 2或-1 解析:当$y=1$时,有$x^2-2x+1=1$,解得$x_1=0$,$x_2=2$.
∵当$a≤x≤a+1$时,函数有最小值1,借助图象解题,如图①②,
,∴$a=2$或$a+1=0$,
∴$a=2$或$a=-1$.
13. (厦门中考)已知点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2 - x - a$上,当$m ≥ -1$时,总有$n ≤ 1$成立,则$a$的取值范围是
$-\frac{1}{2}≤a＜0$
.答案
13. $-\frac{1}{2}≤a＜0$ 解析:根据已知条件,画出大致的函数图象,如图所示.
由已知,得$a＜0$,$-\frac{1}{2a}≤-1$且$a+1-a≤1$,解得$-\frac{1}{2}≤a＜0$.14.（荆门中考）如图，函数$y=\begin{cases}x^2 - 2x + 3&(x＜2),\\-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}&(x≥2)\end{cases}$的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线$y=m$（$m$为常数）相交于三个不同的点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$（$x_1＜x_2＜x_3$）.设$t=\dfrac{x_1y_1+x_2y_2}{x_3y_3}$，则$t$的取值范围是 ______ .
答案
14. $\frac{3}{5}＜t＜1$ 解析:由二次函数$y=x^2-2x+3(x＜2)$可知,函数图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,
∴当$x=1$时函数有最小值为2,$x_1+x_2=2$,由一次函数$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}(x≥2)$可知,当$x=2$时函数有最大值为3,当$y=2$时,$x=\frac{10}{3}$.
∵图象与直线$y=m$(m为常数)相交于三个不同的点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$($x_1＜x_2＜x_3$),
∴$y_1=y_2=y_3=m$,$2＜m＜3$,
∴$2＜x_3＜\frac{10}{3}$,
∴$t=\frac{x_1+x_2}{x_3}=\frac{2}{x_3}$,
∴$\frac{3}{5}＜t＜1$.
∴当$x=1$时函数有最小值为2,$x_1+x_2=2$,由一次函数$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}(x≥2)$可知,当$x=2$时函数有最大值为3,当$y=2$时,$x=\frac{10}{3}$.
∵图象与直线$y=m$(m为常数)相交于三个不同的点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)$($x_1＜x_2＜x_3$),
∴$y_1=y_2=y_3=m$,$2＜m＜3$,
∴$2＜x_3＜\frac{10}{3}$,
∴$t=\frac{x_1+x_2}{x_3}=\frac{2}{x_3}$,
∴$\frac{3}{5}＜t＜1$.
三、解答题(共58分)
15. (6分)已知抛物线$y=ax^2+2ax+3a^2-4$.
(1)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求抛物线的表达式;
(2)设点$M(m,y_1)$,$N(2,y_2)$在该抛物线上,若$y_1＞y_2$,求$m$的取值范围.
15. (6分)已知抛物线$y=ax^2+2ax+3a^2-4$.
(1)若该抛物线的顶点在$x$轴上,求抛物线的表达式;
(2)设点$M(m,y_1)$,$N(2,y_2)$在该抛物线上,若$y_1＞y_2$,求$m$的取值范围.
答案
15. (1)由题意知,顶点的横坐标为-1,又
∵抛物线的顶点在x轴上,
∴顶点坐标为$(-1,0)$,解得$a=-1$或$a=\frac{4}{3}$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x-1$或$y=\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}$.
(2)
∵对称轴为直线$x=-1$,
∴点$N(2,y_2)$关于直线$x=-1$的对称点为$N'(-4,y_2)$.
①当$a＞0$时,若$y_1＞y_2$,则$m＜-4$或$m＞2$;
②当$a＜0$时,若$y_1＞y_2$,则$-4＜m＜2$.
∵抛物线的顶点在x轴上,
∴顶点坐标为$(-1,0)$,解得$a=-1$或$a=\frac{4}{3}$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2-2x-1$或$y=\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}$.
(2)
∵对称轴为直线$x=-1$,
∴点$N(2,y_2)$关于直线$x=-1$的对称点为$N'(-4,y_2)$.
①当$a＞0$时,若$y_1＞y_2$,则$m＜-4$或$m＞2$;
②当$a＜0$时,若$y_1＞y_2$,则$-4＜m＜2$.
16. (8分)(2025·南阳模拟)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥,水面宽为6 m时,水面离桥孔顶部4 m.如图①,桥孔与水面交于A,B两点,以点A为坐标原点,AB所在水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图①所示的平面直角坐标系.
(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式.
(2)因降暴雨水位上升1.5 m,一艘装满货物的小船,露出水面部分的高为0.5 m,宽为4.5 m(横截面如图②),暴雨后,这艘小船能从这座石拱桥下通过吗?请说明理由.
(1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式.
(2)因降暴雨水位上升1.5 m,一艘装满货物的小船,露出水面部分的高为0.5 m,宽为4.5 m(横截面如图②),暴雨后,这艘小船能从这座石拱桥下通过吗?请说明理由.
答案
16. (1)由题意可得,该函数图象的顶点坐标为$(3,4)$,过点$(6,0)$,
设此抛物线对应的二次函数表达式为$y=a(x-3)^2+4$,
则$a×(6-3)^2+4=0$,解得$a=-\frac{4}{9}$,
∴此抛物线对应的二次函数表达式为$y=-\frac{4}{9}(x-3)^2+4$.
(2)暴雨后,这艘小船不能从这座石拱桥下通过.
理由:
∵该函数的顶点坐标为$(3,4)$,小船的宽为4.5 m,
∴当$x=3-4.5÷2=0.75$时,$y=-\frac{4}{9}×(0.75-3)^2+4=\frac{7}{4}$.
∵$1.5+0.5＞\frac{7}{4}$,
∴暴雨后,这艘小船不能从这座石拱桥下通过.
设此抛物线对应的二次函数表达式为$y=a(x-3)^2+4$,
则$a×(6-3)^2+4=0$,解得$a=-\frac{4}{9}$,
∴此抛物线对应的二次函数表达式为$y=-\frac{4}{9}(x-3)^2+4$.
(2)暴雨后,这艘小船不能从这座石拱桥下通过.
理由:
∵该函数的顶点坐标为$(3,4)$,小船的宽为4.5 m,
∴当$x=3-4.5÷2=0.75$时,$y=-\frac{4}{9}×(0.75-3)^2+4=\frac{7}{4}$.
∵$1.5+0.5＞\frac{7}{4}$,
∴暴雨后,这艘小船不能从这座石拱桥下通过.
