7. 国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52.5°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据: sin 52.5°≈ 0.79, cos 52.5° ≈ 0.61, tan 52.5°≈1.30) ()

A.7.6米
B.27.5米
C.30.5米
D.58.5米

7. C 解析:如图,延长 AB 交 ED 的延长线于 G,过 C 作 CF ⊥ ED 交 ED 的延长线于 F,
∴ GF=BC=5 米.
∵ 山坡 CD 的坡度为 1 : 0.75,
∴ 设 DF=3k 米,CF=4k 米,
∴ CD=5k 米=35 米,
∴ k=7,
∴ DF=21 米,BG=CF=28 米,
∴ EG=GF+DF+DE= 5+ 21 + 19 = 45 ( 米 ).
∵ ∠AED = 52. 5°,
∴ AG = EG · tan 52.5° ≈45×1.30 = 58.5( 米 ),
∴ AB = AG - BG = 58.5 - 28 = 30.5(米).即铁塔 AB 的高度约为 30.5 米.故选 C.

8. 如图,小明在距离地面 30 m 的 P 处测得 A 处的俯角为 $15°$,B 处的俯角为 $60°$.若斜面 AB 坡度为 $1:\sqrt{3}$,则斜坡 AB 的长为 ()

A.$10\sqrt{3}$ m
B.15 m
C.$20\sqrt{3}$ m
D.30 m

8. C 解析:如图,过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F.
∵ 斜面坡度为 1 : √3,
∴ tan∠ABF = $\dfrac{AF}{BF}$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ ∠ABF=30°.
∵ 在 P 处进行观测,测得 A 处的俯角为 15°,B 处的俯角为 60°,
∴ ∠HPB = 30°, ∠APB = 45°,
∴ ∠HBP = 60°,
∴ ∠PBA = 90°, ∠BAP = 45°,
∴ PB = AB.
∵ PH = 30 m, sin 60° = $\dfrac{PH}{PB}$ = $\dfrac{30}{PB}$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, 解得 PB=20√3,即 AB=20√3 m.

9. (2025·济南期末)如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6,现测得放水前的水面宽EF为1.2米,当水闸放水后,水渠内水面宽GH为2.1米,则放水后水面上升的高度是米.

9. 0.75 解析:如图,过点 E 作 EM ⊥ GH 于点 M.
∵ 水渠的横断面是等腰梯形,
∴ GM = $\dfrac{1}{2}$ × ( GH - EF ) = $\dfrac{1}{2}$ × ( 2.1 - 1.2 ) = 0.45(米).
∵ 斜坡 AD 的坡度为 1 : 0.6,
∴ EM : GM = 1 : 0.6, 即 $\dfrac{EM}{0.45}$ = $\dfrac{1}{0.6}$, 解得 EM = 0.75, 即放水后水面上升的高度为 0.75 米.

10.（烟台中考）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为$30°$，AC的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$米，钓竿AO的倾斜角是$60°$，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为$60°$，则浮漂B与河堤下端C之间的距离为米。

10. 1.5 解析:延长 OA 交 BC 的延长线于点 D.
∵ AO 的倾斜角是 60°,
∴ ∠ODB=60°.
∵ ∠ACD=30°,
∴ ∠CAD=180°-∠ODB-∠ACD=90°.在 Rt△ACD 中,AD=AC · tan∠ACD= $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ × $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ = 1.5 ( 米 ),
∴ CD = 2AD = 3 米. 又 ∠O = 60°,
∴ △BOD是等边三角形,
∴ BD = OD = OA + AD = 3 + 1.5 = 4.5(米),
∴ BC = BD - CD = 4.5 - 3 = 1.5(米).

11.（宁夏中考）神舟十三号载人飞船返回舱着陆过程中，某一时刻在观测点D测得返回舱底部C的仰角$∠ CDE=45°$，降落伞底面圆A点处的仰角$∠ ADE=46°12'$，如图.已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米.（精确到1米，参考数据：$\sin 46°12' \approx 0.72$，$\cos 46°12' \approx 0.69$，$\tan 46°12' \approx 1.04$）

11. 1 614 解析:在 Rt △AOB 中,由勾股定理得, OB = $\sqrt{AB^2-OA^2}$ = $\sqrt{50^2-14^2}$ = 48 (米),
∴ AF = OE = OB + BC + CE = 48 + 2 + CE.
∵ ∠CDE = 45°, ∠DEC = 90°,
∴ △CDE 是等腰直角三角形,
∴ DE = CE, 设 DE = CE = x 米, 则 AF = (50+x)米,DF=(x-14)米.
∵ ∠ADE=46°12',
∴ tan 46°12' = $\dfrac{AF}{DF}$ = $\dfrac{50+x}{x-14}$ ≈ 1.04, 解得 x ≈ 1 614,
∴ CE 约为 1 614 米.

12. (2025·陕西中考)小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽.测量示意图如图所示,他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD,测得河对岸点A的俯角α为$8.5°$,CD与BM的夹角β为$78.5°$,又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10 m.已知CD = 1.6 m,点A,B,C,D,M,N在同一平面上,点A,B,N在同一水平直线上,且$CD ⊥ AB$.求河宽AB.(精确到0.1 m,参考数据:$\sin 8.5° \approx 0.15,\cos 8.5° \approx 0.99,\tan 8.5° \approx 0.15,\sin 78.5° \approx 0.98,\cos 78.5° \approx 0.20,\tan 78.5° \approx 4.92$)

12. 如图,延长 DC 交 AN 于点 H,则 DH ⊥ AN,在 Rt△BCH 中, ∠BCH = ∠β = 78.5°,
∴ CH = CB · cos 78.5° ≈ 10×0.20 = 2( m ), BH = CB · sin 78.5° ≈ 10×0.98 = 9.8 ( m ),
∴ DH = CD + CH = 1.6 + 2 = 3.6 ( m ), 在 Rt △DAH 中, ∠DAH = ∠α = 8.5°,
∴ AH = $\dfrac{DH}{\tan 8.5°}$ ≈ $\dfrac{3.6}{0.15}$ = 24 ( m ),
∴ AB = AH - BH = 24 - 9.8 = 14.2( m ),
∴ 河宽 AB 约为 14.2 m.