2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线BC, $M(m,y_1)$,$N(m+2,y_2)$为二次函数$y=-x^2+2x+3$图象上两点.
(1)求直线BC对应函数的表达式.
(2)试判断是否存在实数m使得$y_1+2y_2=10$.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)已知P是二次函数$y=-x^2+2x+3$图象上一点(不与点M,N重合),且点P的横坐标为$1-m$,作$△ MNP$.若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且$△ MDE$与$△ MNP$的面积的比为1:4,请直接写出所有满足条件的m的值.

备用图

1. (1) 令x=0,则y=3,可得点C的坐标为(0,3).令y=0,则$-x^2+2x+3=0$,解得x=-1或x=3.故点B的坐标为(3,0).设直线BC的表达式为y=kx+b,则$\begin{cases}b=3,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3.\end{cases}$
∴直线BC对应函数的表达式为y=-x+3.
(2) 不存在实数m使得$y_1+2y_2=10$,理由如下:
方法一:把$M(m,y_1)$,$N(m+2,y_2)$代入二次函数$y=-x^2+2x+3$中,可得$y_1=-m^2+2m+3$,$y_2=-(m+2)^2+2(m+2)+3=-m^2-2m+3$,
∴$y_1+2y_2=-m^2+2m+3+2(-m^2-2m+3)=-3m^2-2m+9$,配方得$y_1+2y_2=-3(m+\dfrac{1}{3})^2+9\dfrac{1}{3}$.故当$m=-\dfrac{1}{3}$时,$y_1+2y_2$的最大值为$9\dfrac{1}{3}≠10$.故不存在实数m使得$y_1+2y_2=10$;
方法二:由方法一得$y_1+2y_2=-3m^2-2m+9$.当$y_1+2y_2=10$时,即$-3m^2-2m+9=10$,整理可得$3m^2+2m+1=0$.
∵$b^2-4ac=4-12=-8＜0$,
∴方程没有实数根,
∴不存在实数m使得$y_1+2y_2=10$.
(3) $m=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$或$m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
解析:如,作NH//y轴,交x轴于点H,交BC于点N',作PQ⊥NH,垂足为点Q,作MM'//y轴,交BC于点M',则MM'//NN'.当x=1-m时,$y=-(1-m)^2+2(1-m)+3=-m^2+4$,
∴点P的坐标为$(1-m,-m^2+4)$.
∵点N的坐标为$(m+2,-m^2-2m+3)$,
∴点Q的坐标为$(m+2,-m^2+4)$,点H的坐标为$(m+2,0)$,点N'的坐标为$(m+2,-m+1)$,
∴NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1|,
∴∠PNQ=∠BN'H=45°,
∴PN//BC,
∴△MDE∽△MNP,
∴$(\dfrac{MD}{MN})^2=\dfrac{1}{4}$,
∴$MD=\dfrac{1}{2}MN$,即MD=ND.
∵MM'//NN',
∴△MM'D∽△NN'D,
∴$\dfrac{MM'}{NN'}=\dfrac{MD}{ND}=\dfrac{1}{1}$,即MM'=NN'.
∵点M的坐标为$(m,-m^2+2m+3)$,
∴点M'的坐标为$(m,-m+3)$,
∴$|-m^2+2m+3-(-m+3)|=|-m^2-2m+3-(-m+1)|$,即$m^2-m-1=0$或-4m=-2,解得$m=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$或$m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$或$m=\dfrac{1}{2}$(此时P与M重合,舍去),故$m=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$或$m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

2. (2026·甘孜州中考)如图①,抛物线$y=a(x+12)(x-6)(a≠0)$与x轴负半轴交于点A,与y轴交于$B(0,6\sqrt{3})$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)将原点O、点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C、点D,连接CD,AD,作$∠OAD$的平分线交CD于点E.
①求点E的坐标;
②如图②,点F为直线AD左侧抛物线上一点,连接FE并延长交x轴于点G,连接DG交抛物线于点H,连接EH,当$∠DEH=∠DEF$时,求点H的横坐标.

3. (2025·济南中考)一次函数$y=2x+4$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,6)$,与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求m,k的值.
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m.
①如图①,若点D的横坐标为4,连接AD,E为线段AD上一点,且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$,求点E的坐标;
②如图②,M为线段OC上一点,且$CM=1$,四边形OMDN是平行四边形,连接AN,若$∠BAN=45°$,求点D的坐标.

2. (1)
∵抛物线$y=a(x+12)(x-6)(a≠0)$与y轴交于$B(0,6\sqrt{3})$,
∴$6\sqrt{3}=a×(0+12)×(0-6)$,解得$a=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}$,
∴$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}(x+12)(x-6)=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}x^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+6\sqrt{3}$,即$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}x^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+6\sqrt{3}$.
(2) ①:
∵抛物线$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}x^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+6\sqrt{3}$与x轴负半轴交于点A,
∴A(-12,0),对称轴为直线$x=-\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2×(-\dfrac{\sqrt{3}}{12})}=-3$.
∵原点O、点B关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C、点D,
∴C(-6,0),D(-6,6√3),
∴OC=6,AC=-6-(-12)=6,CD=6√3-0=6√3,
∴$\tan∠OAD=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$,
∴∠OAD=60°.
∵AE平分∠OAD,
∴$∠CAE=\dfrac{1}{2}∠OAD=30°$.
∵$\tan∠CAE=\dfrac{CE}{AC}=\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\dfrac{CE}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,解得$CE=2\sqrt{3}$,
∴E(-6,2√3).
②如,过点H作HM⊥CD于M,则MH//CG.设$H(h,-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+6\sqrt{3})$,则$M(-6,-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+6\sqrt{3})$,
∴MH=h-(-6)=h+6,$DM=6\sqrt{3}-(-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+6\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}h$,$ME=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+4\sqrt{3}$.
∵MH//CG,
∴△DMH∽△DCG,
∴$\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{MH}{CG}$,即$\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}h}{6\sqrt{3}}=\dfrac{h+6}{CG}$,解得$CG=\dfrac{72}{h}$.
∵∠DEH=∠DEF,∠DEF=∠CEG,
∴∠DEH=∠CEG,
∴tan∠DEH=tan∠CEG,
∴$\dfrac{MH}{ME}=\dfrac{CG}{CE}$,即$\dfrac{h+6}{-\dfrac{\sqrt{3}}{12}h^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}h+4\sqrt{3}}=\dfrac{\dfrac{72}{h}}{2\sqrt{3}}$,解得$h=3\sqrt{5}-3$或$h=-3\sqrt{5}-3$(不合题意,舍去),
∴点H的横坐标为$3\sqrt{5}-3$.
3. (1) 由题意可知,点A(m,6)在一次函数y=2x+4的图象上,则6=2m+4,解得m=1,
∵点A(1,6)在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$(x＞0)的图象上,
∴$6=\dfrac{k}{1}$,解得k=6,则m=1,k=6.
(2) ①过点A作AH⊥x轴交于点H,过点E作EM⊥AH于点M,过点D作DN⊥AH于点N,如.则∠AME=∠AND=90°,
∴ME//ND,
∴△MAE∽△NAD,
∴$\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{ME}{ND}=\dfrac{AE}{AD}$.
∵点D的横坐标为4,
∴点D的纵坐标为$y=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$.
∵$\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{1}{2}$,
∴$\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{1}{3}$,
∴$\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{ME}{ND}=\dfrac{1}{3}$.
∵$x_D=4$,$x_A=1$,
∴DN=3,则$\dfrac{ME}{3}=\dfrac{1}{3}$,解得ME=1,
∴$x_E=1+1=2$.
∵$y_A=6$,$y_D=\dfrac{3}{2}$,
∴$AN=6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$,
∴$\dfrac{AM}{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{1}{3}$,解得$AM=\dfrac{3}{2}$,则$y_E=6-\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$,那么点$E(2,\dfrac{9}{2})$.
②一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点C,令x=0,则y=4,
∴C(0,4).
∵CM=1,
∴M(0,3).过点C作CP⊥AB交AN于点P,过点P作PK⊥y轴于点K,过点A作AG⊥y轴于点G,如,则∠AGC=∠CKP=90°.
∵∠GAC+∠ACG=∠ACG+∠PCK=90°,
∴∠GAC=∠PCK.
∵∠BAN=45°,
∴△ACP为等腰直角三角形,
∴AC=CP,则△GAC≌△KCP.
∵点A(1,6),C(0,4),
∴AG=CK=1,CG=PK=2.
∵CM=1,
∴点M与点K重合,OM=3,
∴点P(2,3).设直线AN的表达式为$y=k_1x+b$($k_1≠0$),则$\begin{cases}3=2k_1+b,\\6=k_1+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-3,\\b=9,\end{cases}$
∴y=-3x+9.设点N(n,-3n+9),
∵四边形OMDN是平行四边形,
∴$x_D=0+n-0=n$,$y_D=3-3n+9=-3n+12$,则D(n,-3n+12).
∵D为反比例函数图象上的一点,
∴$-3n+12=\dfrac{6}{n}$,解得$n=2+\sqrt{2}$或$n=2-\sqrt{2}$.
∵点D的横坐标大于1,
∴$n=2+\sqrt{2}$,
∴$-3n+12=-3(2+\sqrt{2})+12=6-3\sqrt{2}$,故点$D(2+\sqrt{2},6-3\sqrt{2})$.